Vy komplexní čísla vyplývají z potřeby řešení rovnice které mají záporné číslo root, které do té doby nebylo možné vyřešit prací s reálnými čísly. Složitá čísla lze reprezentovat třemi způsoby: a algebraická forma (z = a + bi), složený ze skutečné části The a imaginární část B; The Geometrický tvar, zastoupená v komplexní rovině známé také jako Argand-Gaussova rovina; a vaše trigonometrická forma, také známý jako polární forma. Na základě jejich reprezentace, protože pracujeme s numerickou množinou, mají komplexní čísla dobře definované operace: sčítání, odčítání, násobení, dělení a potenciace.
Prostřednictvím geometrického vyjádření v komplexní rovině také definujeme modul (představovaný symbolem |z|) komplexního čísla - což je vzdálenost od bodu představujícího komplexní číslo k počátku - a jaký je argument a komplexní číslo - což je úhel vytvořený mezi vodorovnou osou a stopou, která spojuje počátek s bodem představujícím číslo komplex.
potřeba komplexních čísel
V matematice bylo rozšíření numerické množiny na novou množinu v historii něco zcela běžného. Ukázalo se, že v jejím průběhu se matematika vyvinula a poté také uspokojit potřeby časuBylo zjištěno, že existují čísla, která nepatří do numerické množiny, na kterou odkazovala. Tak to bylo se vznikem číselné množiny celá čísla, racionální, iracionální a reálná, a nebylo tomu jinak, když bylo potřeba rozšířit množinu reálných čísel na složitá čísla.
Když se snažíme vyřešit kvadratické rovnice, je zcela běžné, že najdeme druhá odmocnina záporného čísla, což je nemožné vyřešit v množině reálných čísel, proto je potřeba komplexních čísel. Na začátku studia těchto čísel byly příspěvky od důležitých matematiků, jako je Giralmo Cardono, ale jejich soubor formalizovali Gauss a Argand.
Přečtěte si také: Geometrické znázornění součtu komplexních čísel
algebraická forma komplexního čísla
Při pokusu o řešení kvadratické rovnice, jako je x² = –25, se často říkalo, že je neřešitelná. Ve snaze o algebrizaci však algebraická reprezentace, která umožňuje provádět operace s těmito čísly, i když nemůžete vypočítat druhou odmocninu záporného čísla.
Usnadnit řešení situací, ve kterých pracujete s odmocnina záporného čísla, imaginární jednotka.
Takže při analýze uvedené rovnice x² = -25 máme toto:
Řešení rovnice jsou tedy -5i e5i.
Chcete-li definovat algebraickou formu, dopis já, známý jako imaginární jednotka komplexního čísla. Komplexní číslo představuje:
z = The + Bi
O tom, co The a B jsou reálná čísla.
: skutečná část, označená a = Re (z);
B: imaginární část, označená Im (z);
i: imaginární jednotka.
Příklady
The) 2 + 3i
B) -1 + 4i
C) 5 – 0,2i
d) -1 – 3i
když skutečná část je nulová, číslo je známé jako čistě imaginárnínapříklad -5i a 5i jsou to čistí imagináři, protože nemají žádnou skutečnou část.
Když je imaginární část nulová, komplexní číslo je také reálné číslo.
Operace se složitými čísly
Jako každá číselná sada musí být operace dobře definované, proto je možné provádět čtyři základní operace komplexních čísel s přihlédnutím k prezentované algebraické formě.
Sčítání dvou komplexních čísel
Provést přidání dvou komplexních čísel z1 a z2, přidáme skutečnou část z1 a z2 a součet imaginární části.
Být:
z1 = a + bi
z2 = c + di
z1 +z2 = (a + c) + (b + d)i
Příklad 1
Realizace součtu z1 a z2.
z1 = 2 + 3i
z2 = 1 + 2i
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)i
z1 +z2= 3 + 5i
Příklad 2
Realizace součtu z1 a z2.
z1 = 5 – 2i
z2 = – 3 + 2i
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)i
z1+z2 = (5 – 3) + 0i
z1 +z2= 3 + 0i = 3
Podívejte se také: Geometrické znázornění součtu komplexních čísel
Odečtení dvou komplexních čísel
Než o tom mluvíme odčítání, musíme definovat, co je inverze komplexního čísla, tj. z = a + bi. Inverze k z, reprezentovaná –z, je komplexní číslo –z = –a –bi.
Provedení odčítání mezi z1a -z2, a navíc uděláme odečtení mezi skutečnými částmi a mezi imaginárními částmi samostatně, ale je nutné pochopit, že -z2 je to inverzní funkce komplexního čísla, díky čemuž je nutné hrát znakovou hru.
Příklad 1
Provedení odečtení z1 a z2.
z1 = 2 + 3i
z2 = 1 + 2i
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)i
z1–z2= 1 + 1i = 1+ i
Příklad 2
Provedení odečtení z1 a z2.
z1= 5 – 2i
z2 = – 3 + 2i
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)i
z1–z2= (5 + 3) + (–4)i
z1 –z2= 8 + (–4)i
z1 –z2= 8 –4i
Imaginární pravomoci jednotek
Předtím, než mluvíme o násobení, musíme pochopit sílu imaginární jednotky. Při hledání metody pro výpočet mocnin iNe, je nutné si uvědomit, že tyto síly se chovají cyklicky. K tomu si některé vypočítáme potence v i.
Ukazuje se, že další mocnosti nejsou nic jiného než její opakování, všimněte si, že:
i 4 = i 2 · i 2 = (–1) (–1) = 1
i 5 = i 2 · i 3 = (–1) (–i) = i
Jak budeme pokračovat ve výpočtu mocnin, odpovědi budou vždy prvky množiny {1, i, –1, -i}, poté vyhledejte výkon jednotky iNe, vydělíme n (exponent) čísly 4 a zbytektéto divize (r = {0, 1, 2, 3}) bude novým exponentem i.
Příklad1
Výpočet i25
Když rozdělíme 25 na 4, bude podíl 6 a zbytek bude roven 1. Musíme tedy:
i 25 = i1 = i
Příklad 2
Výpočet i 403
Když vydělíme 403 číslem 4, bude podíl 100, protože 100 · 4 = 400 a zbytek bude 3, takže musíme:
i 403 =i 3 = -i
Násobení komplexních čísel
Chcete-li provést násobení dvou komplexních čísel, použijeme distribuční vlastnictví. Být:
z1= a + bi
z2= c + di, pak produkt:
z1 · z2 = (a + bi) (c + d.)i), použitím distribučního majetku,
z1 · z2 = ac + reklamai + cbi + bdi 2, ale jak jsme viděli, i ² = -1
z1 · z2 = ac + reklamai + cbjá - bd
z1 · z2= (stříd – bd) + (reklama + cb)i
Pomocí tohoto vzorce je možné najít součin libovolných dvou komplexních čísel, ale v a Obecně to není nutné zdobit, protože pro daný výpočet pouze použijeme vlastnost distribuční.
Příklad
Výpočet součinu (2 + 3i) (1 – 4i):
(2+3i) (1 – 4i) = 2 – 8i + 3i– 12i ², pamatuji si to i² = -1:
(2 + 3i) (1 – 4i) = 2 – 8i + 3i+ 12
(2 + 3i) (1 – 4i) = (2 + 12) + (– 8 + 3)i
(2+3i) (1 – 4i) = 14 – 5i
Také přístup: Sčítání, odečítání a násobení komplexních čísel
Konjugát komplexního čísla
Než mluvíme o dělení, musíme pochopit, co je konjugát komplexního čísla. Koncept je jednoduchý, najít konjugát komplexního čísla, prostě vyměnitmos znamení imaginární části.
dělení dvou komplexních čísel
Provést dělení dvou komplexních čísel, musíme vynásobit zlomek konjugátem jmenovatele, aby bylo dobře definováno, co je skutečná část a co imaginární část.
Příklad
Výpočet rozdělení (6 - 4i): (4 + 2i)
Podívejte se také: Opak, konjugát a rovnost komplexních čísel
Složité letadlo nebo Argand-Gaussovo letadlo
Známý jako komplexní plán nebo Plánrgand-gauss, dovoluje reprezentace v geometrické formě komplexního čísla je tento plán úpravou v Kartézské letadlo reprezentovat komplexní čísla. Vodorovná osa je známá jako osa reálného dílu Re (z), a svislá osa je známá jako osa imaginární části Im (z). Takže komplexní číslo představované a + bi generuje body v komplexní rovině tvořené uspořádanou dvojicí (a, b).
Příklad
Zastoupení čísla 3 + 2i v geometrickém tvaru Z (3,2).
Modul a argument komplexního čísla
Modul komplexního čísla, geometricky, je vzdálenost od bodu (a, b) což představuje toto číslo v komplexní rovině k původu, tj. bod (0,0).
Jak vidíme, | z | je přepona z pravoúhlý trojuhelník, proto jej lze vypočítat použitím Pythagorova věta, takže musíme:
Příklad:
Výpočet modulu z = 1 + 3i
Ó Theargument komplexního čísla, geometricky, je úhel tvořené vodorovnou osou a | z |
Chcete-li zjistit hodnotu úhlu, musíme:
Cílem je najít úhel θ = arg z.
Příklad:
Najděte argument komplexního čísla: z = 2 + 2i:
Protože a a b jsou kladné, víme, že tento úhel je v prvním kvadrantu, takže pojďme vypočítat | z |.
Známe-li z, je možné vypočítat sinus a kosinus.
Vzhledem k tomu, že v tomto případě jsou a a b rovny 2, pak při výpočtu sinθ najdeme stejné řešení pro kosinus.
Znát hodnoty sinθ a cosθ podle tabulky pozoruhodných úhlů a vědět to θ patří do prvního kvadrantu, takže θ lze nalézt ve stupních nebo radiánech, takže usuzujeme co:
Trigonometrická nebo polární forma
Reprezentace komplexního čísla v trigonometrická forma je to možné až poté, co pochopíme koncept modulu a argumentu. Na základě této reprezentace jsou vyvinuty důležité koncepty pro studium komplexních čísel na pokročilejší úrovni. Abychom provedli trigonometrickou reprezentaci, zapamatujeme si její algebraickou formu z = a + bi, ale při analýze komplexní roviny musíme:
Nahrazením hodnot a = | z | v algebraické formě cos θ a b = | z | sen θ, musíme:
z = a + bi
Se z = | z | cos θ + | z | senθ já, uvedení | z | v důkazu jsme dospěli k vzorci trigonometrické formy:
z = | z | (cos θ + i · Hřích θ) |
Příklad: Napište číslo v trigonometrické formě
Abychom mohli psát v trigonometrické formě, potřebujeme argument a modul z.
1. krok - Výpočet | z |
Známe-li z, je možné najít hodnotu θ podle tabulky pozoruhodných úhlů.
Nyní je možné zapsat číslo z ve své trigonometrické formě s úhlem ve stupních nebo s úhlem měřeným v radiánech.
Přečtěte si také: Záření komplexních čísel v trigonometrické formě
Cvičení vyřešena
Otázka 1 - (UFRGS) Vzhledem ke komplexním číslům z1 = (2, –1) a z2 = (3, x), je známo, že součin mezi z1 a z2 je skutečné číslo. Takže x se rovná:
a) -6
b) -3/2
c) 0
d) 3/2
e) 6
Řešení
Alternativa D.
Aby byl produkt reálným číslem, pak se imaginární část rovná nule.
Psaním těchto čísel v algebraické formě musíme:
z1 = 2 – 1i a z2 = 3 + xi
z1 · Z2 = (2 – 1i) (3 + x.)i)
z1 · Z2 = 6 + 2xi –3já - Xi ²
z1 · Z2 = 6 + 2xi –3i + X
z1 · Z2 = 6+ x + (2x - 3)i
Jelikož nás zajímá, aby se imaginární část rovnala nule, budeme řešit pro 2x - 3 = 0
Otázka 2 - (UECE) Pokud i je komplexní číslo, jehož čtverec se rovná -1, pak hodnota 5i 227 + i 6 – i 13 je to stejné jako:
The) i + 1
b) 4i –1
c) -6i –1
d) -6i
Řešení
Alternativa C.
K vyřešení tohoto výrazu je nutné najít zbytek každého z čísel v dělení 4.
227: 4 má za následek podíl 56 a zbytek 3.
i 227 = i 3 = –i
6: 4 má za následek podíl 1 a zbytek 2.
i 6 = i 2 = –1
13: 4 má za následek podíl 3 a zbytek 1.
i 13 = i1 = i
Musíme tedy:
5i 227 + i 6 – i 13
5 (–i) + (–1) – i
–5i –1 – i
–6i – 1
Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm