Procvičte si své znalosti o lineárních systémech, důležitém matematickém tématu, které zahrnuje studium simultánních rovnic. S mnoha praktickými aplikacemi se používají k řešení problémů zahrnujících různé proměnné.
Všechny otázky jsou řešeny krok za krokem, kde budeme používat různé metody, jako jsou: substituce, sčítání, eliminace, škálování a Cramerovo pravidlo.
Otázka 1 (substituční metoda)
Určete uspořádanou dvojici, která řeší následující soustavu lineárních rovnic.
Odezva:
Izolace x v první rovnici:
Dosazení x do druhé rovnice:
Dosazení hodnoty y do první rovnice.
Takže uspořádaná dvojice, která řeší systém, je:
Otázka 2 (metoda změny měřítka)
Řešením následující soustavy lineárních rovnic je:
Odpověď: x = 5, y = 1, z = 2
Systém je již v echelonové formě. Třetí rovnice má dva nulové koeficienty (y = 0 a x = 0), druhá rovnice má nulový koeficient (x = 0) a třetí rovnice nemá žádné nulové koeficienty.
V echelonovém systému řešíme „zdola nahoru“, to znamená, že začínáme třetí rovnicí.
Přejdeme k horní rovnici a dosadíme z = 2.
Nakonec dosadíme z = 2 a y = 1 v první rovnici, abychom dostali x.
Řešení
x = 5, y = 1, z = 2
Otázka 3 (Cramerovo pravidlo nebo metoda)
Vyřešte následující soustavu lineárních rovnic:
Odpověď: x = 4, y = 0.
Použití Cramerova pravidla.
Krok 1: určete determinanty D, Dx a Dy.
Matice koeficientů je:
Jeho determinant:
D = 1. 1 - 2. (-1)
D = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3
Pro výpočet Dx nahradíme sloupec členů x sloupcem nezávislých členů.
Dx = 4. 1 - 8. (-1)
Dx = 4 + 8 = 12
Pro výpočet Dy nahradíme členy y nezávislými členy.
Dy = 1. 8 - 2. 4
Dy = 8–8
Dy = 0
krok 2: určit x a y.
Abychom určili x, uděláme:
Abychom určili y, provedeme:
otázka 4
Prodejce triček a čepic na sportovní akci prodal 3 trička a 2 čepice, čímž získal celkem 220,00 R$. Další den prodal 2 košile a 3 čepice a získal 190,00 R$. Jaká by byla cena trička a cena kšiltovky?
a) Tričko: 60,00 BRL | Čepice: 40,00 BRL
b) Tričko: BRL 40,00 | Čepice: 60,00 BRL
c) Tričko: BRL 56,00 | Čepice: 26,00 BRL
d) Tričko: 50,00 BRL | Čepice: 70,00 BRL
e) Tričko: BRL 80,00 | Čepice: 30,00 BRL
Označme cenu triček c a cenu čepice b.
Na první den máme:
3c + 2b = 220
Na druhý den máme:
2c + 3b = 190
Sestavíme dvě rovnice se dvěma neznámými, c a b. Máme tedy systém 2x2 lineárních rovnic.
Rozlišení
Použití Cramerova pravidla:
1. krok: determinant matice koeficientů.
2. krok: determinant Dc.
Sloupec c nahradíme maticí nezávislých členů.
3. krok: determinant Db.
4. krok: určete hodnotu c a b.
Odezva:
Cena trička je 56,00 R$ a čepice 26,00 R$.
otázka 5
Kino účtuje 10,00 R$ za vstupenku pro dospělé a 6,00 R$ za vstupenku pro děti. Za jeden den se prodalo 80 vstupenek a celková sbírka byla 700,00 R$. Kolik vstupenek jednotlivých typů se prodalo?
a) Dospělí: 75 | Děti: 25
b) Dospělí: 40 | Děti: 40
c) Dospělí: 65 | Děti: 25
d) Dospělí: 30 | Děti: 50
e) Dospělí: 25 | Děti: 75
Pojmenujeme to jako The cena vstupenky pro dospělé a w pro děti.
V poměru k celkovému počtu vstupenek máme:
a + c = 80
Pokud jde o získanou hodnotu, máme:
10a + 6c = 700
Tvoříme soustavu lineárních rovnic se dvěma rovnicemi a dvěma neznámými, tedy soustavu 2x2.
Rozlišení
Použijeme substituční metodu.
Izolace a v první rovnici:
a = 80 - c
Dosazení a do druhé rovnice:
10.(80 - c) + 6c = 700
800-10c + 6c = 700
800 - 700 = 10c - 6c
100 = 4c
c = 100/4
c = 25
Dosazení c ve druhé rovnici:
6a + 10c = 700
6a+10. 25 = 700
6 let + 250 = 700
6a = 700 - 250
6a = 450
a = 450/6
a = 75
otázka 6
Obchod prodává trička, šortky a boty. První den se prodala 2 trička, 3 šortky a 4 páry bot v celkové hodnotě 350,00 R$. Druhý den se prodala 3 trička, 2 šortky a 1 pár bot v celkové hodnotě 200,00 R$. Třetí den se prodalo 1 tričko, 4 šortky a 2 páry bot v celkové hodnotě 320,00 R$. Kolik by stálo tričko, šortky a pár bot?
a) Tričko: BRL 56,00 | Bermudy: 24,00 R$ | Boty: 74,00 BRL
b) Tričko: BRL 40,00 | Bermudy: 50,00 R$ | Boty: 70,00 BRL
c) Tričko: BRL 16,00 | Bermudy: 58,00 R$ | Boty: 36,00 BRL
d) Tričko: BRL 80,00 | Bermudy: 50,00 R$ | Boty: 40,00 BRL
e) Tričko: BRL 12,00 | Bermudy: 26,00 R$ | Boty: 56,00 BRL
- c je cena košile;
- b je cena šortek;
- s je cena bot.
Za první den:
2c + 3b + 4s = 350
Na druhý den:
3c + 2b + s = 200
Na třetí den:
c + 4b + 2s = 320
Máme tři rovnice a tři neznámé, které tvoří soustavu lineárních rovnic 3x3.
Použití Cramerova pravidla.
Matice koeficientů je
Jeho determinant je D = 25.
Sloupcová matice odpovědí je:
Pro výpočet Dc nahradíme sloupcovou matici odpovědí prvním sloupcem v matici koeficientů.
DC = 400
Pro výpočet Db:
Db = 1450
Pro výpočet Ds:
Ds = 900
K určení c, b a s rozdělíme determinanty Dc, Db a Ds hlavním determinantem D.
otázka 7
Restaurace nabízí tři druhy jídel: maso, salát a pizzu. První den se prodalo 40 masových pokrmů, 30 salátových jídel a 10 pizz v celkové výši 700,00 R$. Druhý den se prodalo 20 masových pokrmů, 40 salátových jídel a 30 pizz v celkové výši 600,00 R$. Třetí den se prodalo 10 masových pokrmů, 20 salátových jídel a 40 pizz v celkové výši 500,00 R$. Kolik by stálo každé jídlo?
a) maso: 200,00 BRL | salát: R$ 15,00 | pizza: BRL 10,00
b) maso: 150,00 R$ | salát: 10,00 R$ | pizza: 60,00 BRL
c) maso: 100,00 BRL | salát: R$ 15,00 | pizza: 70,00 BRL
d) maso: 200,00 BRL | salát: R$ 10,00 | pizza: BRL 15,00
e) maso: 140,00 BRL | salát: R$ 20,00 | pizza: 80,00 BRL
Použitím:
- c pro maso;
- s na salát;
- p pro pizzu.
První den:
Druhý den:
Třetího dne:
Cenu každého pokrmu lze získat řešením systému:
Rozlišení
Použití eliminační metody.
Vynásobte 20c + 40s + 30p = 6000 2.
Odečtěte druhou maticovou rovnici získanou od první.
V matici výše nahradíme tuto rovnici druhou.
Třetí rovnici výše vynásobíme 4.
Odečtením třetí od první rovnice dostaneme:
Dosazení rovnice získané třetí rovnicí.
Odečtením rovnic dvě a tři dostaneme:
Ze třetí rovnice dostaneme p = 80.
Dosazení p ve druhé rovnici:
50 s + 50,80 = 5000
50 s + 4000 = 5000
50s = 1000
s = 1000/50 = 20
Dosazením hodnot s a p v první rovnici:
40c + 30,20 + 10,80 = 7000
40c + 600 + 800 = 7000
40c = 7000–600–800
40c = 5600
c = 5600 / 40 = 140
Řešení
p=80, s=20 a c=140
otázka 8
(UEMG) V plánu systém představuje dvojici čar
a) shoda okolností.
b) odlišné a paralelní.
c) souběžné čáry v bodě ( 1, -4/3 )
d) souběžné čáry v bodě ( 5/3, -16/9 )
Vynásobení první rovnice dvěma a sečtení dvou rovnic:
Dosazení x v rovnici A:
otázka 9
(PUC-MINAS) Jistá laboratoř odeslala do lékáren A, B a C 108 objednávek. Je známo, že počet objednávek odeslaných do lékárny B byl dvojnásobkem celkového počtu objednávek odeslaných do dvou dalších lékáren. Kromě toho byly do lékárny C odeslány tři objednávky přesahující polovinu částky zaslané do lékárny A.
Na základě těchto informací je SPRÁVNÉ uvést, že celkový počet objednávek odeslaných do lékáren B a C byl
a) 36
b) 54
c) 86
d) 94
Podle prohlášení máme:
A + B + C = 108.
Také, že množství B bylo dvakrát větší než množství A + C.
B = 2 (A + C)
Do lékárny C byly odeslány tři objednávky, do lékárny A byla odeslána více než polovina množství.
C = A/2 + 3
Máme rovnice a tři neznámé.
Použití substituční metody.
Krok 1: vyměňte třetí za druhý.
Krok 2: Dosaďte získaný výsledek a třetí rovnici do první.
Krok 3: Nahraďte hodnotu A, abyste určili hodnoty B a C.
B = 3A + 6 = 3,22 + 6 = 72
Pro C:
Krok 4: přidejte hodnoty B a C.
72 + 14 = 86
otázka 10
(UFRGS 2019) Tak, že systém lineárních rovnic možné a určité, je nutné a postačující, že
a) a ∈ R.
b) a = 2.
c) a = 1.
d) a ≠ 1.
c) a ≠ 2.
Jedním ze způsobů, jak klasifikovat systém jako možný a determinovaný, je Cramerova metoda.
Podmínkou toho je, že determinanty jsou jiné než nula.
Přizpůsobení determinantu D hlavní matice nule:
Chcete-li se dozvědět více o lineárních systémech:
- Lineární systémy: co jsou, typy a jak je řešit
- Systémy rovnic
- Měřítko lineárních systémů
- Cramerovo pravidlo
Pro další cvičení:
- Soustavy rovnic 1. stupně
ASTH, Rafael. Cvičení na řešené lineární soustavy.All Matter, [n.d.]. K dispozici v: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. Přístup na:
Viz také
- Lineární systémy
- Měřítko lineárních systémů
- Systémy rovnic
- 11 cvičení na násobení matic
- Rovnice druhého stupně
- Cvičení o nerovnosti
- 27 Základní matematická cvičení
- Cramerovo pravidlo
