A poměr zlatý neboli božská proporce je rovnost spojená s myšlenkami harmonie, krásy a dokonalosti. Euklides Alexandrijský, řecký matematik, který žil kolem roku 300 před naším letopočtem. C., byl jedním z prvních myslitelů, kteří formalizovali tento koncept, který dodnes přitahuje badatele z různých oblastí.
Důvodem tohoto zájmu je, že zlatý řez lze přibližným způsobem pozorovat v přírodě, včetně semen a listů rostlin a v lidském těle. V důsledku toho je zlatý řez předmětem studia různých odborníků, jako jsou biologové, architekti, umělci a designéři.
Přečtěte si také: Číslo pí — jedna z nejdůležitějších konstant v matematice
Shrnutí o zlatém řezu
Zlatý řez je poměr pro \(a>b>0\) takové, že
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Za těchto podmínek důvod TheB se nazývá zlatý řez.
Zlatý řez je spojen s pojetím rovnováhy, čistoty a dokonalosti.
Řecké písmeno ϕ (čti: fi) představuje zlaté číslo, což je konstanta získaná ze zlatého řezu.
Ve Fibonacciho posloupnosti se podíly mezi každým členem a jeho předchůdcem blíží zlatému číslu.
Zlatý obdélník je obdélník, jehož strany jsou ve zlatém řezu.
Co je zlatý řez?
Uvažujme úsečku rozdělenou na dvě části: větší z rozměrů The a nejmenší B. uvědomit si, že a+b je mírou celého segmentu.
zlatý řez je rovnost mezi důvody\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) to je \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), tj
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
V této souvislosti to říkáme The to je B jsou ve zlatém řezu.
Ale za jaké hodnoty The to je B máme zlatý řez? To uvidíme dále.
Jak vypočítat zlaté číslo?
Důvod \(\frac{a}b\)(nebo podobně, důvod \(\frac{a+b}a\)) vede ke konstantě zvané zlaté číslo a reprezentován řeckým písmenem ϕ. Tak je běžné psát
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)
Pro výpočet zlatého čísla uvažujme zlatý řez pro b = 1. Hodnotu tedy snadno zjistíme The a získat ϕ z rovnosti \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).
Všimněte si, že zlatý řez můžeme zapsat následovně pomocí vlastnosti křížového násobení:
\(a^2=b⋅(a+b)\)
Dosadíme-li b = 1, máme
\(a^2=1⋅(a+1)\)
\(a^2-a-1=0\)
Použití Bhaskarova vzorce pro tuto kvadratickou rovnici docházíme k závěru, že kladné řešení The é
\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)
Tak jako The je mírou segmentu, budeme ignorovat negativní řešení.
Tak jak \(\frac{a}b=ϕ\), Přesná hodnota zlatého čísla je:
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
Výpočtem kvocientu dostaneme Přibližná hodnota zlatého čísla:
\(ϕ≈1,618033989\)
Viz také: Jak řešit matematické operace se zlomky?
Zlatý řez a Fibonacciho posloupnost
A Fibonacciho posloupnost je seznam čísel kde každý člen, počínaje třetím, je roven součtu dvou předchůdců. Podívejme se na prvních deset členů této sekvence:
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(a_3=1+1=2\)
\(a_4=1+2=3\)
\(a_5=2+3=5\)
\(a_6=3+5=8\)
\(a_7=5+8=13\)
\(a_8=8+13=21\)
\(a_9=13+21=34\)
\(a_{10}=21+34=55\)
Jak počítáme kvocient mezi každým termínem a jeho předchůdcem ve Fibonacciho posloupnosti, blížíme se ke zlatému číslu ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1,5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1,6666…\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1,6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1,625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1,6153…\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1,61904…\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1,61764…\)
Zlatý řez a zlatý obdélník
Jeden obdélník kde nejdelší strana The a menší strana B jsou ve zlatém řezu říká se tomu zlatý obdélník. Příkladem zlatého obdélníku je obdélník, jehož strany měří 1 cm a \(\frac{1+\sqrt5}2\) cm.
Vědět více: Co jsou přímo úměrné veličiny?
Aplikace zlatého řezu
Všimněte si, že až dosud jsme studovali zlatý řez pouze v abstraktních matematických kontextech. Dále uvidíme několik aplikovaných příkladů, ale je třeba opatrnosti: zlatý řez není uveden přesně v žádném z těchto případů. Co existuje, jsou analýzy různých kontextů, ve kterých zlaté číslo vypadá takpřibližný.
Zlatý poměr v architektuře
Některé studie tvrdí, že odhady počtu zlata jsou pozorovány v určitých poměrech rozměrů Cheopsovy pyramidy v Egyptě a budovy ústředí OSN v New Yorku.
Zlatý řez v lidském těle
Míry lidského těla se liší od jedné osoby k druhé a neexistuje žádný dokonalý typ těla. Přinejmenším od starověkého Řecka se však vedou debaty o matematicky ideálním těle (a ve skutečnosti zcela nedosažitelném), přičemž měření souvisí se zlatým řezem. V tomto teoretickém kontextu např. poměr výšky člověka ke vzdálenosti mezi jeho pupkem a zemí by byl zlatým číslem.
zlatý řez v umění
Existuje výzkum děl „Vitruviánský muž“ a „Mona Lisa“ od Itala Leonarda da Vinciho, které naznačují, použití zlatých obdélníků.
Zlatý řez v přírodě
Existují studie, které poukazují na a vztah mezi zlatým řezem a způsobem distribuce listů určitých rostlin na stopce. Toto uspořádání listů se nazývá fylotaxe.
Zlatý poměr v designu
Zlatý řez je také studován a používán v oblasti designu jako a nástroj pro sestavení projektu.
Vyřešená cvičení na zlatý řez
Otázka 1
(Enem) Úsečka je rozdělena na dvě části ve zlatém řezu, když je celek k jedné z částí ve stejném poměru, jako je tato část k druhé. Tato konstanta úměrnosti je běžně reprezentována řeckým písmenem ϕ a její hodnota je dána kladným řešením rovnice ϕ2 = ϕ+1.
Stejně jako síla \(ϕ^2\), vyšší mocniny ϕ lze vyjádřit ve tvaru \(aϕ+b\), kde aab jsou kladná celá čísla, jak ukazuje tabulka.
potence \(ϕ^7\), zapsaný ve tvaru aϕ+b (a a b jsou kladná celá čísla), je
a) 5ϕ+3
b) 7ϕ+2
c) 9ϕ+6
d) 11ϕ+7
e) 13ϕ+8
Rozlišení
Tak jako \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), Musíme
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
Použití distributivního,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
Tak jako \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
E alternativa.
otázka 2
Ohodnoťte každý níže uvedený výrok o zlatém čísle jako T (pravda) nebo F (nepravda).
i. Zlaté číslo ϕ je iracionální.
II. Kvocienty mezi každým členem a jeho předchůdcem ve Fibonacciho posloupnosti se blíží hodnotě ϕ.
III. 1,618 je zaokrouhlení zlatého čísla ϕ na tři desetinná místa.
Správné pořadí, shora dolů, je
a) V-V-V
b) F-V-F
c) V-F-V
d) F-F-F
e) F-V-V
Rozlišení
i. Skutečný.
II. Skutečný.
III. Skutečný.
Alternativa A.
Prameny
FRANCISCO, S.V. od L. Mezi fascinací a realitou zlatého řezu. Disertační práce (profesionální magisterský titul z matematiky v národní síti) – Institut biologických věd, dopisů a exaktních věd, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. São Paulo, 2017. K dispozici v: http://hdl.handle.net/11449/148903.
PRODEJ, J. od S. Zlatý řez přítomný v přírodě. Dokončení práce v kurzu (Stupeň z matematiky), Federální institut pro vzdělávání, vědu a techniku v Piauí. Piauí, 2022. K dispozici v http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/handle/123456789/1551.
Autor: Maria Luiza Alves Rizzo
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/proporcao-aurea.htm
