Ó apotéma mnohoúhelníku je segment s koncovými body ve středu mnohoúhelníku a ve středu jedné ze stran. Tento segment svírá s příslušnou stranou mnohoúhelníku úhel 90°.
Pro výpočet míry apotému je nutné vzít v úvahu charakteristiky daného polygonu. V závislosti na geometrickém tvaru je možné sestavit vzorec pro získání tohoto měření. Důležitým pozorováním je, že míra apotému pravidelného mnohoúhelníku se rovná míře poloměru obvodu vepsaného do mnohoúhelníku.
Přečtěte si také: co je osa?
Shrnutí o apotému
Apotém je segment mnohoúhelníku, který spojuje střed (bod setkání kolmých os) se středem jedné ze stran.
Úhel mezi apotémou a příslušnou stranou mnohoúhelníku měří 90°.
Míra apotému pravidelného mnohoúhelníku se rovná míře poloměru kružnice vepsané do mnohoúhelníku.
Apotéma OM rovnostranného trojúhelníku o straně l je dáno vzorcem
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Apotéma OM čtverce o straně l je dáno vzorcem
\(OM = \frac{l}2\)
Apotéma OM pravidelného šestiúhelníku na jedné straně l je dáno vzorcem
\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)
Apothema pyramidy je segment, který spojuje vrchol se středem jednoho z okrajů základny a jeho míru lze získat pomocí Pythagorovy věty.
Příklady apotému
Abychom našli apotém mnohoúhelníku, musíme sestrojit úsečka spojující střed mnohoúhelníku se středem jedné ze stran. Pamatujte si, že střed mnohoúhelníku je místo, kde se setkávají osy.
V těchto příkladech byla apotéma uvažována v rovinných polygonech. Existuje však vesmírný objekt, který má jiný druh apotému: pyramida.
V pyramidě existují dva typy apotém: apotéma základny, což je apotéma mnohoúhelníku, který tvoří základnu pyramidy, a apotéma pyramidy, což je segment spojující vrchol se středem hrany základny (tj. je to výška boční plochy základny). pyramida).
V níže uvedeném příkladu čtvercové základny je segment OM apotém základny a segment VM je apotém pyramidy, přičemž M je střed BC.
Jaké jsou vzorce pro apotému?
Když známe vlastnosti mnohoúhelníku, zejména pravidelných mnohoúhelníků, můžeme vytvořit vzorce pro výpočet míry apotému. Podívejme se, jaké jsou tyto vzorce pro hlavní pravidelné polygony.
Rovnostranný trojúhelník apotémový vzorec
Na případ rovnostranného trojúhelníku, výška a medián vzhledem k dané straně jsou stejné. To znamená, že střed polygonu se shoduje s barycentrum trojúhelníku. Bod O tedy dělí výšku AM takto:
\(AO = \frac{2}3:00\) to je \(OM=\frac{1}3 AM\)
Pamatujte, že míra výška rovnostranného trojúhelníku l darováno:
\(Výška\ trojúhelník\ rovnostranný=\frac{l\sqrt3}2\)
Protože AM je výška rovnostranného trojúhelníku ABC a úsečka OM je apotémem trojúhelníku, můžeme vypracovat následující výraz pro míru OM, vezmeme-li v úvahu, že strana trojúhelníku měří l:
\(OM =\frac{1}3 AM = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Apotéma čtvercového vzorce
V případě náměstí, míra apotému odpovídá polovině délky strany. Je-li tedy O střed čtverce, M je střed jedné ze stran a l je délka strany čtverce, takže vzorec pro apotému OM je
\(OM=\frac{l}2\)
Pravidelný šestiúhelníkový apotémový vzorec
V pravidelném šestiúhelníku apotém odpovídá výšce rovnostranného trojúhelníku s vrcholy na dvou koncích jedné ze stran a ve středu mnohoúhelníku. V níže uvedeném příkladu je apotéma OM pravidelného šestiúhelníku výškou rovnostranného trojúhelníku OCD, kde M je střed CD.
Jak jsme již zmínili, výška rovnostranného trojúhelníku je známá. Pokud tedy měří strana pravidelného šestiúhelníku l, pak vzorec pro apotému OM je
\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)
Formule pyramidy Apothem
Míru apotému pyramidy lze získat pomocí Nápověda Pythagorovy věty. V níže uvedeném příkladu ve čtvercovém jehlanu je trojúhelník VOM obdélník s nohami VO a OM a přeponou VM. Všimněte si, že VO je výška pyramidy, OM je apotém základny a VM je apotém pyramidy.
Abychom tedy určili míru apotému pyramidy, musíme použít Pythagorovu větu:
\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)
Opatrně! VM je výška rovnoramenného trojúhelníku, nikoli rovnostranného trojúhelníku. Takže v tomto případě nemůžeme použít vzorec pro výšku rovnostranného trojúhelníku.
Jak se počítá apotém?
Pro výpočet apotému mnohoúhelníku nebo jehlanu můžeme použít sestrojené vzorce nebo přiřadit apotému k poloměru vepsané kružnice.
Příklad 1: Předpokládejme, že kruh o poloměru 3 cm je vepsán do rovnostranného trojúhelníku. Jaká je míra apotému tohoto trojúhelníku?
Protože apotéma mnohoúhelníku má stejnou míru jako poloměr vepsané kružnice, měří apotéma trojúhelníku 3 cm.
Příklad 2: Jaká je míra apotémy pravidelného šestiúhelníku o straně 4 cm?
Pomocí vzorce pro apotému pravidelného šestiúhelníku s \(l=4\) cm, musíme
\(Měření\ of\ apothem=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)
Přečtěte si také: Vše o významných bodech trojúhelníku
Vyřešená cvičení na apotému
Otázka 1
Pokud má pyramida 4 cm vysoká základní apotém 3 cm, pak je apotém pyramidy
a) 5 cm
b) 6 cm
c) 7 cm
d) 8 cm
e) 9 cm
Rozlišení:
V pyramidě můžeme sestrojit pravoúhlý trojúhelník, ve kterém je jedna noha apotéma základny, druhá noha je výška pyramidy a přepona je apotéma pyramidy. Když tedy použijeme Pythagorovu větu na přeponu míry x,
\(x^2=3^2+4^2\)
\(x = 5\ cm\)
Alternativa A.
otázka 2
Je-li apotéma čtverce y cm, pak strana čtverce je
) \(\frac{1}3 roky \) cm
b) \(\frac{1}2 roky \) cm
c) y cm
d) 2 roky cm
e) 3y cm
Rozlišení
Apotéma čtverce je polovina délky strany čtverce. Pokud tedy apotém měří y cm, čtverec měří 2y cm.
Alternativa D.
Autor: Maria Luiza Alves Rizzo
Učitel matematiky
