Ó standardní odchylka je míra disperze, stejně jako rozptyl a variační koeficient. Při určování směrodatné odchylky můžeme stanovit rozmezí kolem aritmetického průměru (rozdělení mezi součet čísel v seznamu a počet přidaných čísel), kde je soustředěna většina dat. Čím větší je hodnota směrodatné odchylky, tím větší je variabilita dat, tedy větší odchylka od aritmetického průměru.
Přečtěte si také: Modus, průměr a medián – hlavní měřítka centrálních tendencí
Shrnutí směrodatné odchylky
- Směrodatná odchylka je mírou variability.
- Zápis směrodatné odchylky je malé řecké písmeno sigma (σ) nebo písmeno s.
- Směrodatná odchylka se používá k ověření variability dat kolem průměru.
- Směrodatná odchylka určuje rozsah \(\left[\mu-\sigma,\mu+\sigma\right]\), kde se nachází většina dat.
- Abychom mohli vypočítat směrodatnou odchylku, musíme najít druhou odmocninu rozptylu:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
Co je standardní odchylka?
Směrodatná odchylka je a rozptylové opatření přijaté ve statistice. Jeho použití je spojeno s variační výklad, což je také míra rozptylu.
V praxi směrodatná odchylka určuje interval zaměřený na aritmetický průměr, ve kterém je soustředěna většina dat. Čím větší je tedy hodnota směrodatné odchylky, tím větší je nepravidelnost dat (více informací heterogenní) a čím menší je hodnota směrodatné odchylky, tím menší je nepravidelnost dat (více informací homogenní).
Jak vypočítat směrodatnou odchylku?
Chcete-li vypočítat směrodatnou odchylku souboru dat, musíme najít druhou odmocninu rozptylu. Vzorec pro výpočet směrodatné odchylky je tedy
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
- \(x_1,x_2,x_3,\ldots, x_N\) → zahrnutá data.
- μ → aritmetický průměr dat.
- N → množství dat.
- \( \sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2\ =\ \left (x_1-\mu\right)^2+\left (x_2-\mu\right) )^2+\vlevo (x_3-\mu\vpravo)^2+...+\vlevo (x_N-\mu\vpravo)^2 \)
Poslední položka, která odkazuje na čitatel radikandu, udává součet druhých mocnin rozdílu mezi každým datovým bodem a aritmetickým průměrem. Vezměte prosím na vědomí, že měrná jednotka pro směrodatnou odchylku je stejná měrná jednotka jako data X1,X2,X3,…,XNe.
Přestože je psaní tohoto vzorce trochu složité, jeho aplikace je jednodušší a přímější. Níže je uveden příklad použití tohoto výrazu k výpočtu směrodatné odchylky.
- Příklad:
Po dobu dvou týdnů byly ve městě zaznamenávány následující teploty:
Všední den |
Neděle |
Druhý |
Třetí |
Čtvrtý |
Pátý |
pátek |
sobota |
týden 1 |
29 °C |
30 °C |
31 °C |
31,5 °C |
28 °C |
28,5 °C |
29 °C |
týden 2 |
28,5 °C |
27 °C |
28 °C |
29 °C |
30 °C |
28 °C |
29 °C |
Ve kterém ze dvou týdnů zůstala teplota v tomto městě pravidelnější?
Rozlišení:
Abychom mohli analyzovat pravidelnost teplot, musíme porovnat směrodatné odchylky teplot zaznamenaných v týdnech 1 a 2.
- Nejprve se podívejme na směrodatnou odchylku pro týden 1:
Všimněte si, že průměr μ1 to je Ne1 oni jsou
\(\mu_1=\frac{29+30+31+31,5+28+28,5+29}{7}\cca29,57\)
\(N_1=7 \) (7 dní v týdnu)
Také musíme vypočítat druhou mocninu rozdílu mezi každou teplotou a průměrnou teplotou.
\(\left (29-29.57\right)^2=0.3249\)
\(\left (30-29.57\right)^2=0.1849\)
\(\left (31-29.57\right)^2=2.0449\)
\(\left (31,5-29,57\right)^2=3,7249\)
\(\left (28-29.57\right)^2=2.4649\)
\(\left (28,5-29,57\right)^2=1,1449\)
\(\left (29-29.57\right)^2=0.3249\)
Po sečtení výsledků máme, že čitatel radikandu ve vzorci směrodatné odchylky je
\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)
Takže standardní odchylka týdne 1 je
\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \cca 1,208\ °C\)
Poznámka: Tento výsledek znamená, že většina teplot 1. týdne je v intervalu [28,36 °C, 30,77 °C], tedy intervalu \(\left[\mu_1-\sigma_1,\mu_1+\sigma_1\right]\).
- Nyní se podívejme na standardní odchylku týdne 2:
Podle stejné úvahy máme
\(\mu_2=\frac{28,5+27+28+29+30+28+29}{7}=28,5\)
\(N_2=7\)
\(\left (28,5-28,5\right)^2=0\)
\(\left (27-28.5\right)^2=2.25\)
\(\left (28-28.5\right)^2=0.25\)
\(\left (29-28.5\right)^2=0.25\)
\(\levá (30-28.5\pravá)^2=2.25\)
\(\left (28-28.5\right)^2=0.25\)
\(\left (29-28.5\right)^2=0.25\)
\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)
Takže standardní odchylka týdne 2 je
\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \přibližně 0,89\ °C\)
Tento výsledek znamená, že většina teplot 2. týdne je v rozmezí \(\left[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\right]\), tedy rozsah \(\left[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\right]\).
uvědomit si, že \(\sigma_2, to znamená, že standardní odchylka týdne 2 je menší než standardní odchylka týdne 1. Týden 2 tedy představoval pravidelnější teploty než týden 1.
Jaké jsou typy směrodatné odchylky?
Typy směrodatné odchylky souvisí s typem organizace dat. V předchozím příkladu jsme pracovali se směrodatnou odchylkou neseskupených dat. Chcete-li vypočítat směrodatnou odchylku sady jinak uspořádaných dat (například seskupených dat), budete muset upravit vzorec.
Jaké jsou rozdíly mezi směrodatnou odchylkou a rozptylem?
směrodatná odchylka je druhá odmocnina z rozptylu:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}\)
Při použití rozptylu k určení variability souboru dat má výsledek umocněnou jednotku dat, což ztěžuje jeho analýzu. Směrodatná odchylka, která má stejnou jednotku jako data, je tedy možným nástrojem pro interpretaci výsledku rozptylu.
Vědět více:Absolutní frekvence — kolikrát se stejná odpověď objevila během sběru dat
Řešené úlohy na směrodatnou odchylku
Otázka 1
(FGV) Ve třídě 10 studentů byly známky studentů v hodnocení:
6 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
10 |
Standardní odchylka tohoto seznamu je přibližně
A) 0,8.
B) 0,9.
C) 1.1.
D) 1.3.
E) 1.5.
Rozlišení:
Alternativa C.
Podle prohlášení N = 10. Průměr tohoto seznamu je
\( \mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)
dále
\(\left (6-8\right)^2=4\)
\(\left (7-8\right)^2=1\)
\(\left (8-8\right)^2=0\)
\(\left (9-8\right)^2=1\)
\(\left (10-8\right)^2=4\)
\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)
Takže směrodatná odchylka tohoto seznamu je
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\left (x_i-8\right)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\cca 1,1\)
otázka 2
Zvažte níže uvedená tvrzení a ohodnoťte je jako T (pravda) nebo F (nepravda).
i. Druhá odmocnina rozptylu je směrodatná odchylka.
II. Směrodatná odchylka nemá žádný vztah s aritmetickým průměrem.
III. Rozptyl a standardní odchylka jsou příklady měření rozptylu.
Správné pořadí shora dolů je
A) V-V-F
B) F-F-V
C) F-V-F
D) F-F-F
E) V-F-V
Rozlišení:
E alternativa.
i. Druhá odmocnina rozptylu je směrodatná odchylka. (skutečný)
II. Směrodatná odchylka nemá žádný vztah s aritmetickým průměrem. (Nepravdivé)
Směrodatná odchylka označuje interval kolem aritmetického průměru, do kterého spadá většina dat.
III. Rozptyl a standardní odchylka jsou příklady měření rozptylu. (skutečný)
Autor: Maria Luiza Alves Rizzo
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/desvio-padrao.htm
