Představte si, že si hrajete s kuličkami a tvoříte trojúhelníky. Nejprve můžete zvážit, že koule je jako malý trojúhelník:
•
Potom pod ně umístíte dvě kuličky a vytvoříte tři vrcholy a trojúhelník:
•
• •
Pokud pod ně umístíte další tři koule, vytvoří další trojúhelník:
•
• •
• • •
V každém kroku přidávání kuliček ve vztahu k množství dříve umístěného vždy dojde k vytvoření trojúhelníků. Podívejte se na trojúhelník vytvořený přidáním dalších čtyř kuliček:
•
• •
• • •
• • • •
Celkový počet kuliček v každém kroku charakterizuje třídu čísel zvanou trojúhelníková čísla. Matematik Karl Friedrich Gauss objevil vzorec k označení celkového množství v každém trojúhelníku, kde s1odpovídá prvnímu trojúhelníku, s2, do druhého trojúhelníku a tak dále. Částky popsané Gaussem začínaly A a, v každé fázi bylo přidáno číslo, které odpovídalo jedné jednotce nad posledním přidaným číslem:
s1 = 1
s2= 1 + 2 = 3
s3 = 1 + 2 + 3 = 6
s4= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
s5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Výsledkem těchto součtů byla trojúhelníková čísla: 1, 3, 6, 10, 15... Všimněte si, že v každém z těchto součtů existuje určitý vzorec. Při pozorném pohledu vidíme, že každý z nich je a
aritmetický postup z důvodu 1. Takže tady je gaussův součet, který stanoví, že v konstantním poměru, pokud přidáme první prvek k poslednímu, dostaneme stejný výsledek, jako bychom přidali druhý prvek k předposlednímu. Podívejme se, jak probíhá proces Gaussových součtů pro součty. s6 a s7:
Proces Gaussova součtu aplikovaný na součet trojúhelníkových čísel
Nepřestávej teď... Po reklamě je toho víc ;)
pokud zastavit s6 a s7 máme součty z obrázku výše, reprodukujme tento součet pro s8, S9, S10 a s11:
s8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
s9= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
s10= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
s11= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66
Můžeme zobecnit, abychom dostali součet za sNe:
sNe = n. (n+1), je-li n sudé
2
sNe = (n - 1).(n+1) + (n - 1) + 1, je-li n liché
2 2
stejně jako v číselná magie, můžeme ukázat další zajímavý fakt o trojúhelníkových číslech: součet následujících trojúhelníkových čísel vždy výsledkem jsou čísla, která lze klasifikovat jako dokonalé čtverce, tedy čísla, která mají odmocninu náměstí. Uvidíme:
s1 + S2 = 1 + 3 = 4
s2 + S3 = 3 + 6 = 9
s3 + S4 = 6 + 10 = 16
s4 + S5 = 10 + 15 = 25
s5 + S6 = 15 + 21 = 36
s6 + S7 = 21 + 28 = 49
s7 + S8 = 28 + 36 = 64
s8 + S9 = 36 + 45 = 81
s9 + S10 = 45 + 55 = 100
s10 + S11 = 55 + 66 = 121
Získané výsledky, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 a 121, jsou všechny dokonalé čtverce.
Autor: Amanda Gonçalves
Vystudoval matematiku
Chtěli byste odkazovat na tento text ve školní nebo akademické práci? Koukni se:
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Trojúhelníková čísla"; Brazilská škola. K dispozici v: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm. Zpřístupněno 27. července 2021.
