Pascalův trojúhelník: co to je, funkce, vlastnosti

Ó Pascalův trojúhelník je to docela starý matematický nástroj. V průběhu historie získalo několik jmen, ale dnes jsou nejvíce přijata aritmetický trojúhelník a Pascalův trojúhelník. Druhé jméno je poctou matematikovi, který několikrát přispěl ke studiu tohoto trojúhelníku. znamená, že trojúhelník vynalezl on, ale byl to on, kdo to hlouběji prostudoval nářadí.

Z vlastností Pascalova trojúhelníku je možné jej logicky sestrojit. Také vynikne vaše vztah s kombinace studováno v kombinatorické analýze. Členy Pascalova trojúhelníku také odpovídají binomickým koeficientům, a proto je velmi užitečný pro výpočet jakéhokoli Newtonova binomu.

Přečtěte si také: Briot-Ruffiniho přístroj - metoda dělení polynomů

Konstrukce Pascalova trojúhelníku

Pascalův trojúhelník vzniká z výsledku kombinací, nicméně existuje praktická metoda, která usnadňuje cestu k jeho vybudování. První řádek a první sloupec se počítají jako řádek nula a sloupec nula. Můžeme použít tolik řádků, kolik potřebujeme v této konstrukci proto trojúhelník může mít nekonečné čáry. Zdůvodnění vypracování řádků je vždy stejné. Koukni se:

instagram story viewer

Víme, že trojúhelníkové pojmy jsou kombinace, studoval v kombinatorická analýza. Pro nahrazení Pascalova trojúhelníku číselnými hodnotami víme, že kombinace čísla s nulou a čísla se sebou samým jsou vždy rovny 1. Proto jsou první a poslední hodnoty vždy 1.

Abychom našli ostatní, začneme na řádku 2, protože řádek 0 a řádek 1 jsou již kompletní. V řádku 2, abychom našli kombinaci 2 ku 1, v řádku výše, tedy v řádku 1, přidejte výraz nad ním do stejného sloupce a výraz nad ním do předchozího sloupce, jak je znázorněno na obrázku :

Po vybudování linky 2 je možné postavit linku 3 stejným postupem.

Pokračováním tohoto postupu najdeme všechny termíny – v tomto případě do řádku 5 – ale je možné postavit libovolný počet řádků.

Vlastnosti Pascalova trojúhelníku

Tam jsou nějací vlastnosti Pascalova trojúhelníku, a to z důvodu pravidelnosti v jeho stavbě. Tyto vlastnosti jsou užitečné pro práci s kombinacemi, samotnou konstrukci trojúhelníkových čar a součet čar, sloupců a úhlopříček.

1. nemovitost

První vlastnost byla ta, kterou jsme použili ke stavbě trojúhelníku. Tedy k najdi člen v Pascalově trojúhelníku, stačí přidat výraz, který je v řádku nad ním a stejný sloupec s výrazem, který je ve sloupci a řádku před ním. Tato vlastnost může být reprezentována následovně:

Tato vlastnost je známá jako Stifelův vztah a je důležité usnadnit konstrukci trojúhelníku a najít hodnoty každé z čar.

2. nemovitost

Součet všech výrazů v řadě se vypočítá podle:

s_Ne=2^Ne, o tom, co Ne je číslo řádku.

Příklady:

S touto vlastností je to možné poznat součet všech členů na řádku aniž by bylo nutné sestrojit Pascalův trojúhelník. Například součet řádku 10 lze vypočítat 2¹⁰= 1024. Přestože nejsou známy všechny pojmy, je již možné znát součtovou hodnotu celého řádku.

3. nemovitost

Součet pojmů, které jdou od začátku daného sloupce pro do určité linie Ne je stejný jako výraz na řádku n+1 hřbet a sloupek p+1 později, jak je uvedeno níže:

4. nemovitost

Součet úhlopříčky, která začíná ve sloupci 0 a jde k termínu ve sloupci p a řádku n, se rovná termínu ve stejném sloupci (p), ale v řádku níže (n+1), jak je znázorněno na obrázku :

5. nemovitost

V čarách Pascalova trojúhelníku je symetrie. První a druhý člen jsou si rovny, druhý a předposlední člen se rovnají a tak dále.

Příklad:

Řádek 6: 1615 20 156 1.

Všimněte si, že termíny se rovnají dvěma až dvěma, s výjimkou centrálního termínu.

Viz také: Polynomiální dělení: jak to vyřešit?

Newtonův binom

Definujeme Newtonův binom a síla jednoho polynom který má dva termíny. Výpočet binomu souvisí s Pascalovým trojúhelníkem, který se stává mechanismem pro výpočet toho, čemu říkáme binomické koeficienty. Pro výpočet binomu použijeme následující vzorec:

Všimněte si, že hodnota exponentu The klesá, až se v posledním termínu rovná The⁰. Víme, že každé číslo zvýšené na 0 se rovná 1, proto ten termín The nevyskytuje se v posledním termínu. Všimněte si také, že exponent B začíná s B⁰, již brzy B neobjeví se v prvním termínu a zvyšuje se, dokud nedosáhne B^Ne, v posledním termínu.

Kromě toho číslo, které doprovází každý z výrazů, nazýváme koeficient – v tomto případě známý jako binomický koeficient. Chcete-li lépe pochopit, jak vyřešit tento typ binomu, přejděte do našeho textu: Newtonův binom.

binomický koeficient

Binomický koeficient není nic jiného než kombinace, kterou lze vypočítat pomocí vzorce:

Pro usnadnění výpočtu Newtonova binomu je však nezbytné použít Pascalův trojúhelník, protože nám rychleji poskytne výsledek kombinace.

Příklad:

Abychom našli výsledek binomického koeficientu, najdeme hodnoty řádku 5 Pascalova trojúhelníku, které jsou {1,5,10,10,5,1}.

(x+y)⁵= 1x⁵+5x⁴y+10x³y²+ 10x²y³+ 5xy⁴+1 rok⁵

Jednoduše řečeno:
(x+y)⁵= x⁵+5x⁴y+10x³y²+ 10x²y³+ 5xy⁴+y⁵

Pascalův trojúhelník je tvořen binomickými koeficienty.

řešená cvičení

Otázka 1 - Hodnota níže uvedeného výrazu je?

A) 8

B) 16

C) 2

D) 32

E) 24

Řešení

Alternativa A.

Přeskupením kladných a záporných hodnot musíme:

Všimněte si, že ve skutečnosti počítáme odčítání mezi řádkem 4 a řádkem 3 Pascalova trojúhelníku. Podle vlastnosti víme, že:

s₄= 2⁴= 16

s₃= 2³= 8

16 – 8 = 8.

Otázka 2 - Jakou hodnotu má níže uvedený výraz?

A) 32

B) 28

C) 256

D) 24

E) 54

Řešení

Alternativa B.

Všimněte si, že přidáváme výrazy ze sloupce 1 Pascalova trojúhelníku do řádku 7 a poté do 3. vlastnost, hodnota tohoto součtu se rovná členu, který zaujímá řádek 7+1 a sloupec 1+1, tedy řádek 8, sloupec 2. Protože chceme pouze jednu hodnotu, není konstruování celého Pascalova trojúhelníku pohodlné.