Cvičení nerovností 1. a 2. stupně

Studujte s 11 otázkami nerovností 1. a 2. stupně. Vyřešte své pochybnosti vyřešenými cvičeními a připravte se na přijímací zkoušky na univerzitu.

Otázka 1

Obchod s domácími potřebami nabízí sadu příborů za cenu, která závisí na zakoupeném množství. Jsou tyto možnosti:

Možnost A: 94,80 R $ plus 2,90 R $ za jednu jednotku.
Možnost B: 113,40 BRL plus 2,75 BRL za jednu jednotku.

Z počtu zakoupených jednotlivých příborů je varianta A méně výhodná než varianta B.

a) 112
b) 84
c) 124
d) 135
e) 142

Viz odpověď

Správná odpověď: c) 124.

Myšlenka 1: napište funkce konečné ceny ve vztahu k množství zakoupeného příboru.

Možnost A: PA (n) = 94,8 + 2,90 n

Kde PA je konečná cena možnosti A a n je počet jednotlivých příborů.

Možnost B: PB (n) = 113,40 + 2,75 n

Kde PB je konečná cena možnosti B an je počet jednotlivých příborů.

Nápad 2: Napište nerovnost porovnáním obou možností.

Protože podmínkou je, že A je méně výhodné, zapíšeme nerovnost pomocí znaménka „větší než“, které bude představovat počet příborů, po kterých bude tato možnost dražší.

Izolace n z levé strany nerovnosti a číselné hodnoty z pravé strany.

Ze 124 prostírání se tedy možnost A stává méně výhodnou.

otázka 2

Carlos vyjednává pozemky s realitní kanceláří. Pozemek A je na rohu a má tvar trojúhelníku. Realitní společnost vyjednává také pruh pozemku ve tvaru obdélníku určeného následující podmínka: zákazník si může vybrat šířku, ale délka musí být pětkrát větší opatření.

Míra šířky terénu B tak, aby měl větší plochu než terén A, je

až 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Viz odpověď

Správná odpověď: d) 4

Nápad 1: Trojúhelníkový terén.

Plocha trojúhelníku se rovná míře základny vynásobené výškou dělenou dvěma.

Idea 2: Obdélníková terénní plocha jako funkce měření šířky.

Nápad 3: nerovnost srovnávající měření terénu A a B.

Pozemek B> Pozemek A

Závěr
Terén A, obdélníkový, má větší šířku než terén B, trojúhelníkový, pro šířky větší než 4 metry.

otázka 3

Prodejce automobilů se rozhodl změnit platební politiku svých prodejců. Tito dostávali pevný plat měsíčně a nyní společnost navrhuje dvě formy platby. Možnost 1 nabízí pevnou platbu 1 000,00 $ plus provizi 185 $ za prodané auto. Možnost 2 nabízí plat 2 045,00 $ plus provizi 90 $ za prodané auto. Po kolik aut se prodá, bude možnost 1 ziskovější než možnost 2?

a) 25
b) 7
c) 9
d) 13
e) 11

Viz odpověď

Správná odpověď: e) 11

Myšlenka 1: napsat vzorce mzdy jako funkci počtu prodaných automobilů pro možnosti 1 a 2.

Možnost platu 1: 1 000 + 185 n
Možnost 2: 2 045 + 90 n

Kde n je počet prodaných automobilů.

Nápad 2: Napište nerovnost do porovnání možností pomocí znaku nerovnosti „větší než“.

Závěr
Možnost 1 bude pro prodejce ziskovější z 11 prodaných automobilů.

otázka 4

nerovnost představuje v hodinách časový interval působení určité drogy jako funkce času, od okamžiku, kdy ji pacient požije. Lék zůstává účinný pro pozitivní hodnoty funkce.
Jaký je časový interval, ve kterém lék reaguje v těle pacienta?

Viz odpověď

Abychom určili časový interval, vykreslíme funkci .

Toto je funkce druhého stupně a jeho křivka je parabola.

Určení koeficientů
a = -1
b = 3
c = 0

Protože je záporné, konkávnost je otočena směrem dolů.

Určení kořenů rovnice:

Kořeny jsou body, kde je funkce nulová, a proto jsou body, kde křivka prořezává osu x.

Funkce nabývá kladných hodnot mezi 0 a 3.
Proto si lék udržuje svůj účinek po dobu tří hodin.

otázka 5

V obchodě s oděvy propagace říká, že pokud si zákazník koupí jeden kus, může získat druhý, stejně jako ten první, za třetinu ceny. Pokud má zákazník 125,00 BRL a chce využít propagační akce, maximální cena prvního kusu, který si může koupit, aby mohl využít i druhý, je

a) 103,00 BRL
b) 93,75 BRL
c) BRL 81,25
d) BRL 95,35
e) 112,00 BRL

Viz odpověď

Správná odpověď: b) BRL 93,75

Voláním ceny prvního kusu x vyjde druhý o x / 3. Vzhledem k tomu, že tyto dva náklady by měly stát maximálně 125,00 R $, zapíšeme nerovnost pomocí znaménka „menší nebo rovno“.

Maximální cena, kterou může za první kus zaplatit, je tedy 93,75 $.

Ve skutečnosti, pokud x předpokládá svoji maximální hodnotu 93,75, vyjde druhá část za třetinu této hodnoty, to znamená:

93,75 / 3 = 31,25

Druhý kus by tedy stál 31,25 $.

Chcete-li zkontrolovat výpočty, sečtěte ceny první a druhé části.

93,75 + 31,25 = 125,00

otázka 6

(ENEM 2020 Digital). V posledních volbách do funkce prezidenta klubu se přihlásily dva balíčky (I a II). Existují dva typy partnerů: akciové a daňové poplatníky. Hlasování kapitálových partnerů má váhu 0,6 a přispívajících partnerů váhu 0,4. Slate Dostal jsem 850 hlasů od akciových partnerů a 4300 od přispívajících partnerů; Slate II obdržel 1 300 hlasů od kapitálových partnerů a 2 120 od přispívajících partnerů. Žádní členové se nezdrželi hlasování, prázdné nebo nulové hlasy a tiket jsem vyhrál. Budou nové volby pro předsednictví klubu, se stejným počtem a typy členů a se stejnými balíčky jako předchozí volby. Z konzultace, kterou provedl slate II, vyplynulo, že akciové partnery nezmění své hlasy a že mohou počítat s hlasy přispívajících partnerů z posledních voleb. Aby mohla zvítězit, bude tedy zapotřebí kampaň s přispívajícími partnery s cílem změnit jejich hlasy na slate II.

Nejmenší počet přispívajících členů, kteří potřebují změnit svůj hlas z slate I na slate II, aby se stal vítězem, je

a) 449
b) 753
c) 866
d) 941
e) 1091

Viz odpověď

Správná odpověď: b) 753

Nápad 1: Plate 1 ztrácí určité x množství hlasů a slate 2 získává stejné x množství hlasů.

Nápad 2: shromáždit nerovnost

Vzhledem k tomu, že hlasy kapitálových partnerů zůstanou stejné, musí pro slate 2 vyhrát volby, musí získat x hlasů od přispívajících partnerů. Současně musí slate 1 ztratit stejných x hlasů.

hlasy deska 2> hlasy deska 1

1300. 0,6+ (2120 + x). 0,4 > 850. 0,6 + (4300 - x). 0,4

780 + 848 + 0,4x> 510 + 1720 - 0,4x

1628 + 0,4x> 2230 - 0,4x

0,4x + 0,4x> 2230 - 1628

0,8x> 602

x> 602 / 0,8

x> 752,5

753 je tedy nejmenší počet přispívajících partnerů, kteří potřebují změnit svůj hlas z břidlice I na břidlici II, aby se stal vítězem.

otázka 7

(UERJ 2020). Kladné celé číslo N, které splňuje nerovnost é:

a) 2
b) 7
c) 16
d) 17

Viz odpověď

Správná odpověď: d) 17

Idea 1: určit kořeny

Pojďme najít kořeny této rovnice 2. stupně pomocí Bhaskarova vzorce.

Určení koeficientů

a = 1
b = -17
c = 16

Určení diskriminátoru, delta.

Určení kořenů

Nápad 2: načrtněte graf

Protože je koeficient a kladný, křivka funkce má otevřenou konkávnost nahoru a ořezává osu x v bodech N1 a N2.

Je snadné vidět, že funkce má hodnoty větší než nula pro N menší než 1 a větší než 16.

Sada řešení je: S = {N <1 a N> 16}.

Protože znak nerovnosti je větší než (>), hodnoty N = 1 a N = 16 se rovnají nule a nemůžeme je považovat.

Závěr
Celé číslo mezi možnostmi, které splňuje nerovnost, je 17.

otázka 8

(UNESP). Carlos pracuje jako diskžokej (dj) a za zpestření večírku si účtuje paušální poplatek 100,00 R plus 20,00 R za hodinu. Daniel ve stejné roli účtuje paušální poplatek ve výši 55,00 R $ plus 35,00 R $ za hodinu. Maximální délka večírku, aby Danielův nábor nebyl dražší než Carlosův, je:

a) 6 hodin
b) 5 hodin
c) 4 hodiny
d) 3 hodiny
e) 2 hodiny

Viz odpověď

Správná odpověď: d) 3 hodiny

Funkce ceny Carlosovy služby

100 + 20 hodin

Funkce ceny služby Daniel

55 + 35 hodin

Pokud bychom chtěli vědět, za kolik hodin se cena jejich služby rovná, museli bychom rovnice rovnat.

Daniel Price = Carlos Price

Jak chceme cenu služby Daniela nebuďte dražší než Carlos, vyměníme rovnítko za menší nebo rovné .

(nerovnost 1. stupně)

Izolace termínu s h na jedné straně nerovnosti:

U hodnot h = 3 se hodnota ceny služby rovná oběma.

Danielova cena za 3 hodiny párty
55 + 35h = 55 + 35x3 = 55 + 105 = 160

Carlosova cena za 3 hodiny párty
100 + 20h = 100 + 20x3 = 100 + 60 = 160

Prohlášení říká: „aby najímání Daniela nebylo dražší než najímání Carlose“. Proto používáme znaménko menší nebo rovno.

Maximální doba trvání večírku, aby najímání Daniela nebylo dražší než Carlos, je 3 hodiny. Od 3:00 se jeho pronájem dražší.

otázka 9

(ENEM 2011). Odvětví vyrábí jeden typ produktu a vždy prodává vše, co produkuje. Celkové náklady na výrobu množství q výrobků jsou dány funkcí, symbolizovanou CT, zatímco výnos, který společnost získá z prodeje množství q, je také symbolizovanou funkcí od FT. Celkový zisk (LT) získaný prodejem množství q produktů je dán výrazem LT (q) = FT (q) - CT (q).

Když vezmeme v úvahu funkce FT (q) = 5q a CT (q) = 2q + 12 jako výnosy a náklady, jaké je minimální množství produktů, které bude průmysl muset vyrábět, aby nedošlo ke ztrátě?

a) 0
b) 1
c) 3
d) 4
e) 5

Viz odpověď

Správná odpověď: d) 4

Myšlenka 1: nemít ztrátu je totéž jako mít vyšší obrat nebo se alespoň rovnat nule.

Nápad 2: napsat nerovnost a vypočítat.

Podle tvrzení LT (q) = FT (q) - CT (q). Nahrazování funkcí a vytváření větší nebo rovné nule.

Proto je minimální množství produktů, které bude průmysl muset vyrábět, aby neztratil, je 4.

otázka 10

(ENEM 2015). Inzulin se používá k léčbě pacientů s diabetem ke kontrole glykemie. Pro usnadnění jeho aplikace bylo vyvinuto „pero“, do kterého lze vložit náplň obsahující 3 ml inzulínu. Pro kontrolu aplikací byla jednotka inzulínu definována jako 0,01 ml. Před každou aplikací je nutné zlikvidovat 2 jednotky inzulínu, aby se odstranily případné vzduchové bubliny. U jednoho pacienta byly předepsány dvě denní aplikace: 10 jednotek inzulínu ráno a 10 večer. Jaký je maximální počet aplikací na jednu náplň, kterou může pacient použít s předepsanou dávkou?

a) 25
b) 15
c) 13
d) 12
e) 8

Viz odpověď

Správná odpověď: a) 25

Data

Kapacita pera = 3 ml
1 jednotka inzulínu = 0,01 ml
Vyřazené množství v každé aplikaci = 2 jednotky
Množství na aplikaci = 10 jednotek
Celková částka použitá na aplikaci = 10u + 2u = 12u

Cíl: Stanovit maximální možný počet aplikací při předepsaném dávkování.

Nápad 1: zapište nerovnost „větší než“ nula.

Celkem v ml minus, celkové množství na aplikaci v jednotkách, vynásobeno 0,01 ml, vynásobeno počtem aplikací str.

3 ml - (12u x 0,01 ml) p> 0

3 - (12 x 0,01) p> 0
3 - 0,12 p> 0
3> 0,12 p
3 / 0,12> str
25> str

Závěr
Maximální počet aplikací na jednu náplň, kterou může pacient použít s předepsanou dávkou, je 25.

otázka 11

(UECE 2010). Pavlův věk v letech je sudé celé číslo, které uspokojuje nerovnost . Číslo představující Paulův věk patří do sady

a) {12, 13, 14}.
b) {15, 16, 17}.
c) {18, 19, 20}.
d) {21, 22, 23}.

Viz odpověď

Správná odpověď: b) {15, 16, 17}.

Nápad 1: načrtněte křivku grafu funkce f (x) = .

K tomu určíme kořeny funkce pomocí Bhaskarova vzorce.

Koeficienty jsou:
a = 1
b = -32
c = 252

výpočet diskriminujícího

Výpočet kořene

Graf funkce druhého stupně je parabola, protože a je kladné, konkávnost směřuje nahoru a křivka prořízne osu x v bodech 14 a 18.

Nápad 2: Určete hodnoty v grafu.

Protože nerovnost otázky je nerovnost se znaménkem „menší než“, s hodnotou nula na pravé straně, zajímají nás hodnoty osy x, takže funkce je záporná.

Závěr
Proto číslo představující Pavlův věk patří do množiny {15, 16, 17}.

dozvědět se víc o nerovnosti.

Podívejte se taky
Rovnice druhého stupně
Rovnice prvního stupně