Aritmetický postup (P.A.)

THE Aritmetický postup (P.A.) je posloupnost čísel, kde rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími členy je vždy stejný. Tento konstantní rozdíl se nazývá P.A.

Takže od druhého prvku sekvence jsou čísla, která se objevují, výsledkem součtu konstanty s hodnotou předchozího prvku.

To je to, co ji odlišuje od geometrické progrese (PG), protože v tom se čísla vynásobí poměrem, zatímco v aritmetické posloupnosti se sčítají.

Aritmetické průběhy mohou mít pevný počet členů (konečný P.A.) nebo nekonečný počet členů (nekonečný P.A.).

Abychom naznačili, že posloupnost pokračuje neurčitě, použijeme elipsy, například:

• posloupnost (4, 7, 10, 13, 16, ...) je nekonečný P.A.
• posloupnost (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) je konečný P.A.

Každý člen P.A. je identifikován pozicí, kterou zaujímá v pořadí, a k reprezentaci každého členu používáme písmeno (obvykle písmeno The) následované číslem označujícím jeho pozici v pořadí.

Například výraz The₄ v P.A (2, 4, 6, 8, 10) je číslo 8, protože je to číslo, které zaujímá 4. pozici v pořadí.

Klasifikace P.A.

Podle hodnoty poměru se aritmetické průběhy dělí na:

• Konstantní: když je poměr roven nule. Například: (4, 4, 4, 4, 4 ...), kde r = 0.
• Rostoucí: když je poměr větší než nula. Například: (2, 4, 6, 8,10 ...), kde r = 2.
• klesající: když je poměr menší než nula (15, 10, 5, 0, - 5, ...), kde r = - 5

Vlastnosti P.A.

1. vlastnost:

V konečné PA je součet dvou členů ve stejné vzdálenosti od extrémů roven součtu extrémů.

Příklad

2. vlastnost:

Vezmeme-li v úvahu tři po sobě jdoucí termíny P.A., bude se střední člen rovnat aritmetickému průměru ostatních dvou členů.

Příklad

3. vlastnost:

V konečném PA s lichým počtem členů se centrální člen bude rovnat aritmetickému průměru mezi členy ve stejné vzdálenosti od něj. Tato vlastnost je odvozena od první.

Obecný výraz vzorec

Kde,

an: termín, který chceme vypočítat
a1: první semestr P.A.
n: poloha termínu, který chceme objevit
r: důvod

Vysvětlení vzorce

Protože poměr P.A. je konstantní, můžeme vypočítat jeho hodnotu z jakýchkoli po sobě jdoucích podmínek, tj.:

Můžeme tedy najít hodnotu druhého členu PA takto:

K nalezení třetího termínu použijeme stejný výpočet:

Nahrazení hodnoty a₂, které jsme našli dříve, máme:

Pokud budeme postupovat podle stejného uvažování, můžeme najít:

Při pozorování nalezených výsledků si všimneme, že každý člen se bude rovnat součtu prvního členu s poměrem vynásobeným předchozí pozicí.

Tento výpočet je vyjádřen pomocí vzorce obecného výrazu P.A., který nám umožňuje znát jakýkoli prvek aritmetické progrese.

Příklad

Vypočítejte 10. termín P.A.: (26, 31, 36, 41, ...)

Řešení

Nejprve musíme zjistit, že:

The₁ = 26
r = 31 - 26 = 5
n = 10 (10. období).

Dosazením těchto hodnot do vzorce obecného výrazu máme:

The_Ne =₁ + (n - 1). r
The₁₀ = 26 + (10-1). 5
The₁₀ = 26 + 9 .5
The₁₀ = 71

Proto je desátý člen indikované aritmetické progrese roven 71.

Obecný výraz vzorec z libovolného k výrazu

Často, abychom definovali jakýkoli obecný termín, který nazýváme an, nemáme první termín a1, ale známe jakýkoli jiný termín, kterému říkáme ak.

Můžeme použít obecný výrazový vzorec z libovolného k výrazu:

Všimněte si, že jediným rozdílem byla změna z indexu 1 v prvním vzorci na k ve druhém.

Bytost,

an: n-tý člen P.A. (člen v libovolné poloze n)
ak: k-tý člen P.A. (člen v libovolné poloze k)
r: důvod

Součet podmínek P.A.

Chcete-li zjistit součet podmínek konečného P.A., použijte vzorec:

Kde,

s_Ne: součet prvních n podmínek P.A.
The₁: první funkční období P.A.
The_Ne: zaujímá n-té pozici v pořadí (člen v pozici n)
Ne: termínová pozice

Přečtěte si také o PA a PG.

Cvičení vyřešeno

Cvičení 1

PUC / RJ - 2018

Jaký je součet hodnot y + z, když víme, že čísla v posloupnosti (y, 7, z, 15) jsou v aritmetickém postupu?

a) 20
b) 14
c) 7
d) 3.5
e) 2

Viz odpověď

K nalezení hodnoty z můžeme použít vlastnost, která říká, že když máme tři po sobě jdoucí členy, střední člen se bude rovnat aritmetickému průměru ostatních dvou. Takže máme:

Pokud je z rovno 11, pak bude poměr roven:

r = 11 - 7 = 4

Tímto způsobem se y bude rovnat:

y = 7-4 = 3

Proto:

y + z = 3 + 11 = 14

Alternativa: b) 14

Cvičení 2

IFRS - 2017

Na obrázku níže máme posloupnost obdélníků, všechny o výšce a. Základ prvního obdélníku je b a následných obdélníků je to hodnota základu předchozího a měrné jednotky. Tedy základ druhého obdélníku je b + 1 a třetí je b + 2 atd.

Zvažte následující prohlášení.

I - Posloupnost oblastí obdélníku je aritmetickým postupem poměru 1.
II - Posloupnost oblastí obdélníku je aritmetickým postupem poměru a.
III - Posloupnost oblastí obdélníků je geometrický postup poměru a.
IV - Oblast n-tého obdélníku (A_Ne) lze získat vzorcem A_Ne = a. (b + n - 1).

Zkontrolujte alternativu, která obsahuje správná prohlášení.

tam.
b) II.
c) III.
d) II a IV.
e) III a IV.

Viz odpověď

Při výpočtu plochy obdélníků máme:

A = a. B
THE₁ = a. (b + 1) = a. b + a
THE₂ = a. (b + 2) = a. B. + 2
THE₃ = a. (b + 3) = a. b + 3a

Z nalezených výrazů si povšimneme, že posloupnost tvoří P.A. poměru rovného The. Pokračováním v posloupnosti najdeme oblast n-tého obdélníku, která je dána vztahem:

THE_Ne= a. b + (n - 1). a
THE_Ne = a. b + a. na

uvedení The jako důkaz máme:

THE_Ne = a (b + n - 1)

Alternativa: d) II a IV.

Cvičení 3

UERJ

Přiznejte pořádání fotbalového mistrovství, na kterém varování přijatá sportovci představují pouze žluté karty. Tyto karty se převádějí na pokuty podle následujících kritérií:

• První dvě přijaté karty negenerují pokuty;
• Třetí karta generuje pokutu R $ 500,00.
• Následující karty generují pokuty, jejichž hodnoty se vždy zvyšují o R 500,00 ve vztahu k hodnotě předchozí pokuty.

Tabulka ukazuje pokuty související s prvními pěti kartami aplikovanými na sportovce.

Vezměme si sportovce, který během šampionátu dostal 13 žlutých karet. Celková výše pokut generovaných všemi těmito kartami je:

a) 30 000
b) 33 000
c) 36 000
d) 39 000

Viz odpověď

Správná odpověď: b) 33 000

Ke třetí žluté kartě se výše pokuty zvyšuje v P.A. v poměru 500,00 R $. Vzhledem k prvnímu termínu, a1, s hodnotou třetí karty, R $ 500,00.

K určení celkové výše pokut musíme použít vzorec součtu podmínek P.A.

Vzhledem k tomu, že sportovec má 13 žlutých karet, ale první dvě negenerují pokuty, uděláme P.A. 13-2 podmínek, tj. 11 podmínek.

Máme tedy následující hodnoty:

a1 = 500
n = 11
r = 500

K nalezení hodnoty n-tého členu a11 použijeme obecný výrazový vzorec.

an = a1 + (n-1) .r
a21 = 500 + (11-1) x 500
a21 = 500 + 10 x 500
a21 = 5500

Použití vzorce součtu podmínek P.A.

Vyřešte více cvičení v:

Aritmetická progrese - cvičení

Zjistěte více také čtením:

• Numerická posloupnost
• Geometrický průběh
• Geometrická progrese - cvičení
• Matematické vzorce