Permutace je technika počítání používaná k určení, kolik způsobů existuje k uspořádání prvků konečné množiny. Provést výměnu znamená provést výměnu a v kombinatorických problémech to znamená výměnu prvků místa s ohledem na jejich uspořádání.
Tyto techniky jsou součástí oboru matematiky zvaného Kombinatorická analýza, jehož cílem je znát a spočítat různé způsoby uspořádání množin a jejich prvků. Jednoduchá obměna a s opakovanými prvky řeší tuto kategorii problémů.
jednoduchá permutace
Jednoduchá permutace je uspořádání prvků konečné množiny, když jsou prvky se neopakují, jsou odlišné. Používá se k určení množství těchto druhů.
Částka permutací sady n prvků se rovná n! (čte n faktoriál).
Vzorec pro určení počtu jednoduchých permutací je
Zvažte množinu s n prvky. Abychom je mohli uspořádat do fronty, musíme si vybrat první a k tomu máme n možností. Chcete-li vybrat druhou, máme (n-1) možností, o jednu méně, protože jsme již při výběru první použili možnost. Tento proces pokračuje, dokud nezůstane pouze jeden prvek.
Abychom určili celkový počet permutací, vynásobíme počet možností, které existují při výběru každého prvku. Tím pádem:
Výše uvedený výraz se nazývá faktoriál n a používáme symbol Ne!.
dozvědět se víc o faktoriál tady.
Příklad:
Různé způsoby uspořádání písmen slova se nazývají přesmyčky. Kolik anagramů existuje pro slovo KACHNA?
Jedná se o tyto možnosti:
Protože slovo PATO má 4 písmena, musíme
Pro slovo KACHNA tedy existuje 24 jednoduchých obměn.
Jednoduchá permutační cvičení
Otázka 1
Vypočítejte hodnotu .
otázka 2
Vezměme si frontu lidí, kdo dřív přijde, je dřív na řadě, kde je kdykoli šest lidí. Kolik různých způsobů by mohli tito lidé zařadit od prvního do posledního?
Každý objednávkový formulář je jednoduchá obměna, protože jednotlivci jsou jedineční a neopakují se. Takže se šesti lidmi je odpovědí permutace se 6 prvky.
otázka 3
Zvažte slovo VIDLICE a odpovězte na následující otázky?
a) Kolik je přesmyček slova FORK?
Jelikož se písmena neopakují, jedná se o jednoduchý 5-prvkový permutační případ.
b) Kolik anagramů začíná písmenem A?
V tomto případě opravíme písmeno A na začátku a vypočítáme permutace písmeny GRFO, což jsou permutace 4 prvků.
1 možnost pro písmeno A x .
c) Kolik anagramů existuje, pokud jsou samohlásky vždy vedle sebe?
Jednou z možností by byla G R F A O.
Souhlásky lze uspořádat třemi způsoby. P3 = 3 x 2 x 1 = 6
Existují dva způsoby, jak objednat samohlásky. P2 = 2 x 1 = 2
Stále existují dva další způsoby, jak uspořádat skupiny (souhlásky a samohlásky) mezi sebou. P2 = 2 x 1 = 2
Nyní jen vynásobte výsledky.
P3 x P2 x P2 = 6 x 2 x 2 = 24
Existuje tedy 24 přesmyček, kde jsou samohlásky vždy pohromadě.
Permutace s opakováním
K permutaci s opakovanými prvky dochází, když v sadě n prvků jsou některé z nich stejné.
Ve vzorci pro určení počtu permutací s opakováním dělíme faktoriál celkového počtu n prvků součinem faktoriálů opakujících se prvků.
je počet permutací n prvků.
jsou to počty prvků každého typu, které se opakují.
je faktoriál celkového počtu prvků n.
Příklady
Pojďme určit, kolik permutací existuje pro slovo EGG. Abychom to usnadnili, vybarvíme písmena. Podívejme se na přesmyčky slova EGG.
Počet jednoduchých permutací se 3 prvky je dán vztahem
Některé permutace se však opakují a nemůžeme je počítat dvakrát. K tomu musíme rozdělit hodnotu (protože slovo má tři písmena), podle
(protože písmeno O se opakuje dvakrát).
Počet permutací pro písmena slova OVO se tedy rovná 3.
Podívejme se na tento další příklad, kde definujeme počet permutací pro písmena slova BANANA.
Kde:
znamená permutaci se 6 prvky, kde se písmena A a N opakují.
3! protože písmeno A se opakuje třikrát.
2! protože písmeno N se opakuje dvakrát.
Tip, jak usnadnit výpočet, je vyvinout šestku! dokud nedosáhnete 3!, zjednodušení pomocí jmenovatele. Podívejte se na vývoj.
Počet permutací písmen ve slově BANANA se tedy rovná 60.
Možná vás zajímá tento obsah o kombinatorické analýze:
Kombinatorická analýza
Cvičení z kombinatorické analýzy
