Matice: Komentovaná a vyřešená cvičení

Matice je tabulka tvořená reálnými čísly, uspořádaná do řádků a sloupců. Čísla, která se objevují v matici, se nazývají prvky.

Využijte vyřešených a komentovaných otázek k přijímacím zkouškám a zbavte se všech pochybností ohledně tohoto obsahu.

Problémy s přijímací zkouškou byly vyřešeny

1) Unicamp - 2018

Nechť a a b jsou reálná čísla tak, aby matice A = splňuje rovnici A²= aA + bI, kde I je matice identity řádu 2. Takže produkt ab se rovná

a) -2.
b) -1.
c) 1.
d) 2.

Viz odpověď

Abychom zjistili hodnotu produktu a.b, musíme nejprve znát hodnotu a a b. Uvažujme tedy rovnici uvedenou v úloze.

Abychom rovnici vyřešili, vypočítáme hodnotu A², což se provádí vynásobením matice A samostatně, to znamená:

Tato operace se provádí vynásobením řádků první matice sloupci druhé matice, jak je znázorněno níže:

Tímto způsobem matice A² je to stejné jako:

Vzhledem k hodnotě, kterou jsme právě našli, a pamatujeme si, že v matici identity jsou prvky hlavní úhlopříčky rovny 1 a ostatní prvky jsou rovny 0, rovnice bude:

Nyní musíme vynásobit matici A číslem a a matici identity číslem b.

Nezapomeňte, že pro vynásobení čísla polem vynásobíme číslo každým prvkem pole.

Naše rovnost se tedy bude rovnat:

Přidáním dvou matic máme:

Dvě matice jsou stejné, když jsou všechny odpovídající prvky stejné. Tímto způsobem můžeme napsat následující systém:

Izolace a ve druhé rovnici:

Dosazením hodnoty nalezené pro a v první rovnici najdeme hodnotu b:

2 + b = 1
b = 1 - 2
b = -1

Produkt tedy bude dán:

The. b = - 1. 2
The. b = - 2

Alternativa: a) -2.

2) Unesp - 2016

Bod P souřadnic (x, y) ortogonální kartézské roviny je reprezentován maticí sloupce. , stejně jako sloupcová matice představuje v ortogonální kartézské rovině bod P souřadnic (x, y). Výsledek násobení matice je sloupcová matice, která v ortogonální kartézské rovině nutně představuje bod, který je

a) 180 ° rotace P ve směru hodinových ručiček a se středem v (0, 0).
b) rotace P o 90 ° proti směru hodinových ručiček, se středem v (0, 0).
c) symetrické P vzhledem k vodorovné ose x.
d) symetrický P vzhledem k vertikální ose y.
e) rotace P o 90 ° ve směru hodinových ručiček a se středem v (0, 0).

Viz odpověď

Bod P je reprezentován maticí, takže úsečka (x) je označena prvkem a.₁₁ a souřadnice (y) prvkem a₂₁ matice.

Abychom našli novou pozici bodu P, musíme vyřešit násobení prezentovaných matic a výsledkem bude:

Výsledek představuje novou souřadnici bodu P, to znamená, že úsečka se rovná -y a souřadnice se rovná x.

Abychom identifikovali transformaci provedenou polohou bodu P, představme situaci v kartézské rovině, jak je uvedeno níže:

Proto se bod P, který byl zpočátku umístěn v 1. kvadrantu (kladná osa a souřadnice), přesunul do 2. kvadrantu (záporná osa a kladná souřadnice).

Při pohybu do této nové polohy byl bod otočen proti směru hodinových ručiček, jak je znázorněno na obrázku výše červenou šipkou.

Stále musíme zjistit, jaká byla hodnota úhlu otočení.

Spojením původní polohy bodu P se středem karteziánské osy a provedením stejného postupu ve vztahu k jeho nové poloze P 'máme následující situaci:

Všimněte si, že dva trojúhelníky uvedené na obrázku jsou shodné, to znamená, že mají stejná měření. Tímto způsobem jsou jejich úhly také stejné.

Úhly α a θ se navíc doplňují, protože součet vnitřních úhlů trojúhelníků se rovná 180 ° a protože trojúhelník je pravoúhlý, součet těchto dvou úhlů se bude rovnat 90 °.

Proto úhel natočení bodu, označený na obrázku β, může být roven pouze 90 °.

Alternativa: b) 90 ° rotace P proti směru hodinových ručiček, se středem v (0, 0).

3) Unicamp - 2017

Protože a je reálné číslo, zvažte matici A = . Takže²⁰¹⁷ je to stejné jako
The)
B)
C)
d)

Viz odpověď

Nejprve se pokusme najít vzor pro mocniny, protože je mnoho práce znásobit matici A samotnou 2017 krát.

Pamatujte, že při násobení matic je každý prvek nalezen přidáním výsledků vynásobení prvků v řádku jednoho prvky ve sloupci druhého.

Začněme výpočtem A²:

Výsledkem byla matice identity, a když vynásobíme jakoukoli matici maticí identity, výsledkem bude samotná matice.

Proto je hodnota A³ bude rovna samotné matici A, protože A³ = A². THE.

Tento výsledek se bude opakovat, to znamená, že když je exponent sudý, výsledkem je matice identity a když je lichá, bude to samotná matice A.

Protože 2017 je lichý, bude se výsledek rovnat matici A.

Alternativa: b)

4) UFSM - 2011

Uvedený diagram představuje zjednodušený potravinový řetězec daného ekosystému. Šipky označují druh, kterým se živí ostatní druhy. Přiřazení hodnoty 1, když se jeden druh živí jiným, a nula, když nastane opak, máme následující tabulku:

Matice A = (a_ij)_4x4, spojený s tabulkou, má následující zákon o školení:

Viz odpověď

Protože číslo řádku je označeno i a číslo sloupce je označeno j, při pohledu na tabulku si všimneme, že když i je rovno j nebo i je větší než j, je výsledek nula.

Pozice obsazené 1 jsou ty, ve kterých je počet sloupců větší než číslo řádku.

Alternativa: c)

5) Unesp - 2014

Uvažujme maticovou rovnici A + BX = X + 2C, jejíž neznámá je matice X a všechny matice jsou čtvercové řádu n. Nutnou a dostatečnou podmínkou pro to, aby tato rovnice měla jediné řešení, je, že:

a) B - I ≠ O, kde I je matice identity řádu n a O je nulová matice řádu n.
b) B je invertibilní.
c) B ≠ O, kde O je nulová matice řádu n.
d) B - I je invertibilní, kde I je matice identity řádu n.
e) A a C jsou invertibilní.

Viz odpověď

Abychom vyřešili maticovou rovnici, musíme izolovat X na jedné straně znaménka rovnosti. Za tímto účelem nejprve odečtěte matici A na obou stranách.

A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A

Nyní odečtěte X, také na obou stranách. V tomto případě bude rovnice:

BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X. (B - I) = 2C - A

Protože I je matice identity, když vynásobíme matici identitou, výsledkem je samotná matice.

Abychom izolovali X, musíme nyní vynásobit obě strany stejného znaménka inverzní maticí (B-I), to znamená:

X. (B - I). (B - I) ^{- 1} = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Pamatujeme si, že když je matice invertibilní, produkt matice inverzní se rovná matici identity.
X = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Rovnice tedy bude mít řešení, když B - I je invertibilní.

Alternativa: d) B - I je invertibilní, kde I je matice identity řádu n.

6) Enem - 2012

Student zaznamenal dvouměsíčník známky některých svých předmětů do tabulky. Poznamenal, že číselné položky v tabulce tvoří matici 4x4 a že může vypočítat roční průměry pro tyto disciplíny pomocí součinu matic. Všechny testy měly stejnou váhu a níže uvedená tabulka je uvedena

Pro získání těchto průměrů vynásobil matici získanou z tabulky

Viz odpověď

Aritmetický průměr se vypočítá sečtením všech hodnot a vydělením počtem hodnot.

Student tedy musí přidat hodnocení 4 bimesterů a výsledek vydělit 4 nebo vynásobit každý stupeň 1/4 a přidat všechny výsledky.

Použitím matic můžeme dosáhnout stejného výsledku násobením matic.

Musíme si však pamatovat, že znásobit dvě matice je možné pouze tehdy, když se počet sloupců v jednom rovná počtu řádků v druhém.

Protože matice poznámek má 4 sloupce, matice, kterou budeme množit, musí mít 4 řádky. Musíme tedy vynásobit maticí sloupce:

Alternativa: a

7) Fuvest - 2012

Zvažte matici , o tom, co The je skutečné číslo. S vědomím, že A připouští inverzní A^-1 jehož první sloupec je , součet prvků hlavní úhlopříčky A^-1 je to stejné jako

a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

Viz odpověď

Násobení matice její inverzí se rovná matici identity, takže můžeme situaci reprezentovat následující operací:

Vyřešením násobení druhé řady první matice prvním sloupcem druhé matice máme následující rovnici:

(do 1). (2a - 1) + (a + 1). (- 1) = 0
2. místo² - a - 2a + 1 + (-a) + (-1) = 0
2. místo² - 4. = 0
2. (a - 2) = 0
a - 2 = 0
a = 2

Dosazením hodnoty a v matici máme:

Nyní, když známe matici, vypočítáme její determinant:

Součet hlavní úhlopříčky se tedy bude rovnat 5.

Alternativa: a) 5

Další informace najdete také:

• Matice
• Determinanty
• Sarrusovo pravidlo
• Laplaceova věta
• Transponovaná matice