V matematice představují množiny shromažďování různých objektů a operace prováděné se sadami jsou: sjednocení, průnik a rozdíl.
Pomocí 10 níže uvedených otázek otestujte své znalosti. K odstranění pochybností použijte komentovaná řešení.
Otázka 1
Zvažte sady
A = {1, 4, 7}
B = {1, 3, 4, 5, 7, 8}
Je správné říci, že:
a) A B
b) B
c) B THE
d) B THE
Správná alternativa: b) A B.
a) NESPRÁVNÉ. Existují prvky B, které do množiny A nepatří. Proto nemůžeme říci, že A obsahuje B. Správné tvrzení by bylo B THE.
b) SPRÁVNĚ. Všimněte si, že všechny prvky A jsou také prvky B. Proto můžeme říci, že A je obsaženo v B, A je součástí B, nebo že A je podmnožinou B.
c) NESPRÁVNÉ. Neexistuje žádný prvek A, který nepatří do množiny B. Proto nemůžeme říci, že B neobsahuje A.
d) NESPRÁVNÉ. Protože A je podmnožinou B, pak průnik množin A a B je množina A sama: B A = A
otázka 2
Podívejte se na následující sady a označte správnou alternativu.
A = {x | x je kladný násobek 4}
B = {x | x je sudé číslo a 4 X
16}
a) 145 THE
b) 26 A a B
c) 11 B
d) 12 A a B
Správná alternativa: d) 12 A a B
Množiny otázek jsou reprezentovány jejich formačními zákony. Sada A je tedy tvořena kladnými násobky 4, tj. A = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,…} a sada B shromažďuje sudá čísla větší nebo rovná 4 a menší než 16. Proto B = {4, 6, 8, 10, 12, 14}.
Při analýze alternativ máme:
a) NESPRÁVNÉ. 145 je číslo končící na 5, a proto je násobkem 5.
b) NESPRÁVNÉ. 26, přestože je sudé číslo, je větší než 16, a proto není součástí množiny B.
c) NESPRÁVNÉ. 11 není sudé číslo, ale prvočíslo, to znamená, že je dělitelné pouze 1 a samo o sobě.
d) SPRÁVNĚ. 12 patří do množin A a B, protože je to násobek 4 a je sudé číslo větší než 4 a menší než 16.
otázka 3
Jaký je možný zákon vzniku množiny A = {2, 3, 5, 7, 11}?
a) A = {x | x je symetrické číslo a 2 b) A = {x | x je prvočíslo a 1 c) A = {x | x je kladné liché číslo a 1 d) A = {x | x je přirozené číslo menší než 10}
Správná alternativa: b) A = {x | x je prvočíslo a 1
a) NESPRÁVNÉ. Symetrická čísla, nazývaná také protiklady, se objevují ve stejné vzdálenosti na číselném řádku. Například 2 a - 2 jsou symetrické.
b) SPRÁVNĚ. Představená množina je prvočísel, přičemž 2 je nejmenší existující prvočíslo a také jediné, které je sudé.
c) NESPRÁVNÉ. Ačkoli je většina čísel lichá, v sadě je číslo 2, které je sudé.
d) NESPRÁVNÉ. Ačkoli jsou všechna čísla přirozená, sada obsahuje číslo 11, které je větší než 10.
otázka 4
Spojení množin A = {x | x je prvočíslo a 1
a) A B = {1,2,3,5,7}
b) B = {1,2,3,5,7}
c) The B = {1,2,3,5,7}
dává B = {1,2,3,5,7}
Správná alternativa: d) A B = {1, 2, 3, 5, 7}
Pro množinu A = {x | x je prvočíslo a 1
A = {2, 3, 5, 7}
B = {1, 3, 5, 7}
a) NESPRÁVNÉ. A neobsahuje B, protože prvek 1 není součástí A.
b) NESPRÁVNÉ. A není obsažen v B, protože prvek 2 není součástí B.
c) NESPRÁVNÉ. A nepatří do B, protože sady mají odlišný prvek.
d) SPRÁVNĚ. Spojení množin odpovídá spojení prvků, které je tvoří, a je reprezentováno symbolem .
Proto je spojení A = {2, 3, 5, 7} a B = {1, 3, 5, 7} A U B = {1, 2, 3, 5, 7}.
otázka 5
Sestrojte sestavy A = {-3, - 1, 0, 1, 6, 7}, B = {-4, 1, 3, 5, 6, 7} a C = {-5, - 3, 1, 2, 3, 5} ve Vennově diagramu a poté určete:
a) A B
před naším letopočtem B
c) C - A
d) B (THE
C)
Správná odpověď:
a) {1, 6, 7};
b) {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7};
c) {-5, 2, 3, 5} a
d) {1, 3, 5, 6, 7}.
Distribucí prvků množin ve Vennově diagramu máme:
Při provádění operací s danými sadami máme následující výsledky:
a) A B = {1, 6, 7}
před naším letopočtem B = {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7}
c) C - A = {-5, 2, 3, 5}
d) B (THE
C) = {1, 3, 5, 6, 7}
otázka 6
Poznamenejte si šrafovanou oblast obrázku a označte alternativu, která ji představuje.
a) C. (THE
B)
b) C - (A B)
c) C. (A - B)
DC (THE
B)
Správná odpověď: b) C - (A B)
Všimněte si, že šrafovaná oblast představuje prvky, které nepatří do množin A a B. Jedná se tedy o rozdíl mezi množinami, který označujeme (-).
Protože množiny A a B mají stejnou barvu, můžeme říci, že existuje reprezentace spojení množin, to znamená spojení prvků A a B, reprezentovaných A B.
Můžeme tedy říci, že šrafovaná oblast je rozdíl C od spojení A a B, tj. C - (A B).
otázka 7
V předuniverzitním kurzu je 600 studentů zapsaných do izolovaných předmětů. 300 studentů studuje matematiku, 200 studentů navštěvuje kurzy portugalštiny a 150 studentů tyto předměty nechodí.
S ohledem na studenty zapsané do kurzu (U), studenty matematické (M) a studenty portugalštiny (P), určit:
a) počet studentů matematiky nebo portugalštiny
b) počet studentů matematiky a portugalštiny
Správná odpověď:
a) n (M. P) = 450
b) n (M. P) = 50
a) počet požadovaných studentů zahrnuje studenty matematiky i portugalštiny. Proto musíme najít spojení těchto dvou množin.
Výsledek lze vypočítat odečtením celkového počtu studentů ve škole od počtu studentů, kteří tyto předměty neberou.
n (M. P) = n (U) - 150 = 600 - 150 = 450
b) protože požadovaný výsledek je od studentů studujících matematiku a portugalštinu, musíme najít průnik množin, tj. prvků společných pro obě množiny.
Můžeme vypočítat průnik dvou sad přidáním počtu studentů zapsaných do předmětů Portugalštině a matematice a poté odečtením počtu studentů studujících tyto dva předměty současně čas.
n (M. P) = n (M) + n (P) - n (M
P) = 300 + 200 - 450 = 50
otázka 8
Mezi číselné sady patří následující sady: Přirozené (ℕ), Celá čísla (ℤ), Rationals (ℚ), Iracionální (I), Skutečné (ℝ) a Komplexy (ℂ). Na výše uvedených sadách označte definici, která odpovídá každé z nich.
1. přirozená čísla |
() zahrnuje všechna čísla, která lze zapsat jako zlomek, s celočíselným čitatelem a jmenovatelem. |
| 2. celá čísla | () odpovídá spojení racionálních s iracionálními. |
| 3. racionální čísla | () jsou desetinná, nekonečná a neperiodická čísla a nemohou být reprezentována neredukovatelnými zlomky. |
| 4. iracionální čísla | () je tvořeno čísly, která používáme v počtech {0,1,2,3,4,5,6,7,8, ...} |
| 5. reálná čísla | () zahrnuje kořeny typu √-n. |
| 6. Složitá čísla | () Shromažďuje všechny prvky přirozených čísel a jejich protiklady. |
Správná odpověď: 3, 5, 4, 1, 6, 2.
(3) racionální čísla pokrýt všechna čísla, která lze zapsat jako zlomek, s celočíselným čitatelem a jmenovatelem. Tato sada obsahuje nepřesná dělení. ℚ = {x = a / b, s a ∈ ℤ, b ∈ ℤ a b ≠ 0}
(5) reálná čísla odpovídají spojení racionálních s iracionálními, tj. = ℚ ∪ I.
(4) iracionální čísla jsou to desetinná, nekonečná a neperiodická čísla a nemohou být reprezentována neredukovatelnými zlomky. Čísla v této skupině jsou výsledkem operací, jejichž výsledek nelze zapsat jako zlomek. Například na √ 2.
(1) přirozená čísla jsou tvořeny čísly, která používáme v počtech ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8, ...}.
(6) komplexní čísla zahrnout kořeny typu √-n a tak je to rozšíření reálných čísel.
(2) celá čísla spojují všechny prvky přirozených čísel a jejich protiklady. Aby bylo možné vyřešit všechny odčítání, například 7 - 10, byla rozšířena množina přirozených znaků, čímž se objevila množina celých čísel. ℤ= {..., -3,-2,-1,0,1,2,3,...}
otázka 9
(UNB-Adapted) Od 200 lidí, kteří byli dotazováni na jejich preference při sledování závodních šampionátů v televizi, byly shromážděny následující údaje:
- 55 respondentů se nedívá;
- 101 sledujte závody Formule 1;
- 27 sledovat závody Formule 1 a motorek;
Kolik dotazovaných sleduje výlučně závody na motorce?
a) 32
b) 44
c) 56
d) 28
Správná odpověď: b) 44.
Krok 1: Zjistěte celkový počet lidí sledujících závody
K tomu stačí odečíst celkový počet respondentů od těch, kteří prohlásili, že se nezúčastní závodních šampionátů.
200 - 55 = 145 lidí
2. krok: výpočet počtu lidí, kteří sledují pouze závody na motorce
74 + 27 + (x - 27) = 145
x + 74 = 145
x = 145 - 74
x = 71
Po odečtení hodnoty x od průsečíku dvou sad zjistíme počet respondentů, kteří sledují pouze rychlostní závody motocyklů.
71 - 27 = 44
otázka 10
(UEL-PR) V daném čase měly tři televizní kanály ve svém programování telenovely v hlavním vysílacím čase: telenovela A na kanálu A, telenovela B na kanálu B a telenovela C na kanálu C. V průzkumu mezi 3000 lidmi bylo dotázáno, které telenovely se jim líbí. Níže uvedená tabulka uvádí počet diváků, kteří telenovely označili za příjemné.
| Telenovely | Počet diváků |
| THE | 1450 |
| B | 1150 |
| C | 900 |
| A a B | 350 |
| A a C. | 400 |
| B a C. | 300 |
| A, B a C. | 100 |
Kolik diváků v rozhovoru nepovažuje žádnou ze tří telenovel za příjemnou?
a) 300 diváků.
b) 370 diváků.
c) 450 diváků.
d) 470 diváků.
e) 500 diváků.
Správná odpověď: c) 450 diváků.
Je zde 450 diváků, kterým žádná ze tří telenovelas nepřijde příjemná.
Další informace naleznete v následujících textech:
- Teorie množin
- Operace se sadami
- Numerické množiny
- Cvičení na numerické sady
