Komplexní čísla jsou čísla složená ze skutečné a imaginární části.
Představují množinu všech uspořádaných párů (x, y), jejichž prvky patří do množiny reálných čísel (R).
Sada komplexních čísel je označena C a definované operacemi:
- Rovnost: (a, b) = (c, d) ↔ a = ca ab = d
- Přidání: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)
- Násobení: (a, b). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
Imaginární jednotka (i)
Označeno dopisem i, imaginární jednotka je uspořádaný pár (0, 1). Již brzy:
i. i = -1 ↔ i2 = –1
Tím pádem, i je druhá odmocnina z –1.
Algebraická forma Z
Algebraická forma Z se používá k reprezentaci komplexního čísla pomocí vzorce:
Z = x + yi
Kde:
- X je reálné číslo označené x = Re (Z), které se volá skutečná část z.
- y je reálné číslo označené y = Im (Z), které se volá imaginární část Z.
Konjugát komplexního čísla
Konjugát komplexního čísla je označen z, definován z = a - bi. Znaménko jeho imaginární části je tedy vyměněno.
Takže pokud z = a + bi, pak z = a - bi
Když vynásobíme komplexní číslo jeho konjugátem, výsledkem bude reálné číslo.
Rovnost mezi komplexními čísly
Být dvě komplexní čísla Z1 = (a, b) a Z2 = (c, d), jsou si rovny, když a = ca ab = d. Je to proto, že mají identické skutečné a imaginární části. Tím pádem:
a + bi = c + di Když a = c a b = d
Operace se složitými čísly
Se složitými čísly je možné provádět operace sčítání, odčítání, násobení a dělení. Podívejte se na níže uvedené definice a příklady:
Přidání
Z1 + Z2 = (a + c, b + d)
V algebraické formě máme:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d)
Příklad:
(2 + 3i) + (–4 + 5i)
(2 - 4) + i (3 + 5)
–2 + 8i
Odčítání
Z1 - Z2 = (a - c, b - d)
V algebraické formě máme:
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + i (b - d)
Příklad:
(4 - 5i) - (2 + i)
(4 - 2) + i (- 5 - 1)
2 - 6i
Násobení
(a, b). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
V algebraické formě používáme distribuční vlastnost:
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 (tj2 = –1)
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci - bd
(a + bi). (c + di) = (ac - bd) + i (ad + bc)
Příklad:
(4 + 3i). (2 - 5i)
8 - 20i + 6i - 15i2
8 - 14i + 15
23 - 14i
Divize
Z1/ Z2 = Z3
Z1 = Z2. Z3
Ve výše uvedené rovnosti, pokud Z3 = x + yi, máme:
Z1 = Z2. Z3
a + bi = (c + di). (x + yi)
a + bi = (cx - dy) + i (cy + dx)
Systémem neznámých x a y máme:
cx - dy = a
dx + cy = b
Již brzy,
x = ac + bd / c2 + d2
y = bc - ad / c2 + d2
Příklad:
2 - 5i / i
2 - 5i /. (- i) / (- i)
-2i + 5i2/–i2
5 - 2i
Cvičení na přijímací zkoušky se zpětnou vazbou
1. (UF-TO) Zvažte i imaginární jednotka komplexních čísel. Hodnota výrazu (i + 1)8 é:
a) 32i
b) 32
c) 16
d) 16i
Alternativa c: 16
2. (UEL-PR) Komplexní číslo z, které kontroluje rovnici iz - 2w (1 + i) = 0 (w označuje konjugát z) je:
a) z = 1 + i
b) z = (1/3) - i
c) z = (1 - i) / 3
d) z = 1 + (i / 3)
e) z = 1 - i
Alternativní e: z = 1 - i
3. (Vunesp-SP) Uvažujme komplexní číslo z = cos π / 6 + i sin π / 6. hodnota z3 + Z6 + Z12 é:
tam
b) ½ + √3 / 2i
c) i - 2
d) i
e) 2i
Alternativa d: i
Podívejte se na další otázky s komentovaným řešením v Cvičení na komplexní čísla.
Video lekce
Chcete-li rozšířit své znalosti komplexních čísel, podívejte se na video „Úvod do komplexních čísel"
Historie komplexních čísel
K objevu komplexních čísel došlo v 16. století díky příspěvkům matematika Girolama Cardana (1501-1576).
Avšak až v 18. století tyto studie formalizoval matematik Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
To byl hlavní krok vpřed v matematice, protože záporné číslo má druhou odmocninu, což bylo až do objevení komplexních čísel považováno za nemožné.
Další informace najdete také
- Numerické množiny
- Polynomy
- iracionální čísla
- Rovnice 1. stupně
- Potenciace a záření
