Výpočet inverzní matice: vlastnosti a příklady

Inverzní matice nebo invertibilní matice je typ čtvercová matice, to znamená, že má stejný počet řádků (m) a sloupců (n).

Nastane, když výsledkem součinu dvou matic je a matice identity stejného řádu (stejný počet řádků a sloupců).

K nalezení inverze matice se tedy používá násobení.

THE. B = B. A = já_Ne (když je matice B inverzní k matici A)

Ale co je Matice identity?

THE Matice identity je definováno, když jsou prvky hlavní úhlopříčky rovny 1 a ostatní prvky jsou rovny 0 (nula). Označuje to I_Ne:

Vlastnosti inverzní matice

Pro každou matici existuje pouze jedna inverze.
Ne všechny matice mají inverzní matici. Je invertibilní, pouze pokud produkty čtvercových matic vedou k matici identity (I._Ne)
Inverzní matice inverze odpovídá samotné matici: A = (A^-1)^-1
Matice transponovaná z inverzní matice je také inverzní: (A^t) ^-1 = (A.^-1)^t
Inverzní matice transponované matice odpovídá transpozici inverzní: (A^-1 THE^{t) -1}
Inverzní matice matice identity se rovná matici identity: I^-1 = Já

Podívejte se taky: Matice

instagram story viewer

Příklady inverzní matice

2x2 inverzní matice

3x3 inverzní matice

Krok za krokem: Jak vypočítat inverzní matici?

Víme, že pokud se produkt dvou matic rovná matici identity, má tato matice inverzní funkci.

Všimněte si, že pokud je matice A inverzní k matici B, použije se notace: A^-1.

Příklad: Najděte inverzi matice pod řádem 3x3.

Nejprve si musíme pamatovat, že A. THE^-1= I (Matice vynásobená její inverzí bude mít za následek matici identity I_Ne).

Každý prvek první řady první matice se vynásobí každým sloupcem druhé matice.

Proto jsou prvky druhé řady první matice vynásobeny sloupci druhé.

A konečně třetí řádek prvního se sloupci druhého:

Přiřazením prvků k matici identity můžeme zjistit hodnoty:

a = 1
b = 0
c = 0

Známe-li tyto hodnoty, můžeme vypočítat další neznámé v matici. Ve třetím řádku a prvním sloupci první matice máme + 2d = 0. Začněme tedy hledáním hodnoty dnahrazením nalezených hodnot:

1 + 2d = 0
2d = -1
d = -1/2

Podobně ve třetím řádku a druhém sloupci můžeme najít hodnotu a:

b + 2e = 0
0 + 2e = 0
2e = 0
e = 0/2
e = 0

Pokračujeme, máme ve třetím řádku třetího sloupce: c + 2f. Všimněte si, že druhá matice identity této rovnice se nerovná nule, ale rovná 1.

c + 2f = 1
0 + 2f = 1
2f = 1
f = ½

Přesunem do druhého řádku a prvního sloupce najdeme hodnotu G:

a + 3d + g = 0
1 + 3. (-1/2) + g = 0
1 - 3/2 + g = 0
g = -1 + 3/2
g = ½

Ve druhém řádku a druhém sloupci můžeme najít hodnotu H:

b + 3e + h = 1
0 + 3. 0 + h = 1
h = 1

Nakonec zjistíme hodnotu i rovnicí druhého řádku a třetího sloupce:

c + 3f + i = 0
0 + 3 (1/2) + i = 0
3/2 + i = 0
i = 3/2

Po objevení všech neznámých hodnot můžeme najít všechny prvky, které tvoří inverzní matici A: