Průměr, móda a medián

Mean, Mode a Median jsou měřítka centrální tendence používané ve statistikách.

Průměrný

Průměr (M._a) se vypočítá sečtením všech hodnot v datové sadě a vydělením počtem prvků v této sadě.

Protože průměrem je míra citlivá na hodnoty vzorku, je vhodnější pro situace, kdy jsou data víceméně rovnoměrně rozložena, tj. Hodnoty bez velkých nesrovnalostí.

Vzorec

Bytost,

M_a: průměrný
X₁, X₂, X₃,..., X_Ne: datové hodnoty
n: počet prvků datové sady

Příklad

Hráči v basketbalovém týmu mají následující věk: 28, 27, 19, 23 a 21 let. Jaký je průměrný věk tohoto týmu?

Řešení

Přečtěte si také Jednoduchý průměr a vážený průměr a Geometrický průměr.

Móda

Móda (M._Ó) představuje nejčastější hodnotu souboru dat, takže k jeho definování stačí sledovat frekvenci, s jakou se hodnoty objevují.

Datová sada se nazývá bimodální, když má dva režimy, to znamená, že dvě hodnoty jsou častější.

Příklad

V obchodě s obuví na jeden den byla prodána následující čísla obuvi: 34, 39, 36, 35, 37, 40, 36, 38, 36, 38 a 41. Jaká je módní hodnota tohoto vzorku?

Řešení

Při sledování prodaných čísel jsme si všimli, že číslo 36 bylo číslo s nejvyšší frekvencí (3 páry), proto se režim rovná:

M_Ó = 36

medián

Medián (M._d) představuje základní hodnotu datové sady. Pro nalezení střední hodnoty je nutné umístit hodnoty vzestupně nebo sestupně.

Když je počet prvků v sadě sudý, je střední hodnota zjištěna průměrem dvou centrálních hodnot. Tyto hodnoty se tedy sčítají a dělí dvěma.

Příklady

1) Ve škole učitel tělesné výchovy zapsal výšku skupiny studentů. Vzhledem k tomu, že naměřené hodnoty byly: 1,54 m; 1,67 m, 1,50 m; 1,65 m; 1,75 m; 1,69 m; 1,60 m; 1,55 ma 1,78 m, jaká je střední hodnota výšek studentů?

Řešení

Nejprve musíme dát hodnoty do pořádku. V tomto případě to uvedeme vzestupně. Datová sada tedy bude:

1,50; 1,54; 1,55; 1,60; 1,65; 1,67; 1,69; 1,75; 1,78

Protože sada se skládá z 9 prvků, což je liché číslo, bude se medián rovnat 5. prvku, tj.:

M_d = 1,65 m

2) Vypočítejte střední hodnotu následujícího vzorku dat: (32, 27, 15, 44, 15, 32).

Řešení

Nejprve musíme dát data do pořádku, takže máme:

15, 15, 27, 32, 32, 44

Protože tento vzorek je tvořen 6 prvky, což je sudé číslo, bude medián roven průměru středních prvků, tj.:

Chcete-li se dozvědět více, přečtěte si také:

• Statistický
• Disperzní opatření
• Rozptyl a směrodatná odchylka

Vyřešená cvičení

1. (BB 2013 - Carlos Chagas Foundation). V prvních čtyřech pracovních dnech v týdnu obsluhoval manažer pobočky banky 19, 15, 17 a 21 zákazníků. Pátý pracovní den tohoto týdne se tento manažer zúčastnil n zákazníků.

Pokud průměrný denní počet zákazníků obsluhovaných tímto manažerem za pět pracovních dnů tohoto týdne byl 19, medián byl

a) 21.
b) 19.
c) 18.
d) 20.
e) 23.

Viz odpověď

I když už známe průměr, potřebujeme nejprve znát počet zákazníků, kterým bylo doručeno pátý pracovní den. Tím pádem:

Abychom našli medián, musíme hodnoty seřadit vzestupně, takže máme: 15, 17, 19, 21, 23. Proto je medián 19.

Alternativa: b) 19.

2. (ENEM 2010 - otázka 175 - Prova Rosa). Níže uvedená tabulka ukazuje výkon fotbalového týmu na posledním šampionátu.

V levém sloupci se zobrazuje počet vstřelených gólů a v pravém sloupci se dozvíte, kolik her tým zaznamenal v tomto počtu gólů.

Vstřelené góly	Počet shod
0	5
1	3
2	4
3	3
4	2
5	2
7	1

Pokud X, Y a Z jsou průměr, medián a způsob tohoto rozdělení, pak

a) X = Y b) Z c) Y d) Z d) Z

Viz odpověď

Musíme vypočítat průměr, medián a režim. Pro výpočet průměru musíme přidat celkový počet gólů a vydělit počtem zápasů.

Celkový počet gólů se zjistí vynásobením počtu vstřelených gólů počtem zápasů, tj .:

Celkový počet cílů = 0,5 + 1,3 + 2,4 + 3,3 + 4,2 + 5,2 + 7,1 = 45

Pokud je celkový počet zápasů roven 20, průměr gólů se bude rovnat:

Chcete-li zjistit hodnotu módy, zkontrolujte počet nejčastějších cílů. V tomto případě poznamenáváme, že v 5 zápasech žádné góly nepadly.

Po tomto výsledku byly zápasy, které měly 2 góly, nejčastější (celkem 4 zápasy). Proto,

Z = M_Ó = 0

Medián najdete podle pořadí čísel branek. Protože se počet her rovnal 20, což je sudá hodnota, musíme vypočítat průměr mezi dvěma centrálními hodnotami, takže máme:

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7

S těmito výsledky víme, že:

X (průměr) = 2,25
Y (medián) = 2
Z (režim) = 0

To znamená, Z

Alternativa: e) Z

Podívejte se taky:

• Druhy grafiky
• Standardní odchylka
• Statistiky - cvičení
• Matematika v Enem