THE teorie pravděpodobnosti je obor matematiky, který studuje experimenty nebo náhodné jevy a jeho prostřednictvím je možné analyzovat pravděpodobnost výskytu určité události.
Když počítáme pravděpodobnost, přidružujeme stupeň jistoty, že nastanou možné výsledky experimentů, jejichž výsledky nelze předem určit.
Tímto způsobem výpočet pravděpodobnosti spojuje výskyt výsledku s hodnotou, která se pohybuje od 0 do 1, a čím blíže je výsledek k 1, tím větší je jistota jeho výskytu.
Můžeme například vypočítat pravděpodobnost, že si někdo koupí výherní loterii, nebo znát pravděpodobnost, že pár bude mít 5 dětí, všichni chlapci.
náhodný experiment
Náhodný experiment je takový, který nedokáže předpovědět, jaký výsledek bude nalezen před provedením.
Události tohoto typu, pokud se opakují za stejných podmínek, mohou poskytnout různé výsledky a tato nestálost se připisuje náhodě.
Příkladem náhodného experimentu je hodit nezaujatou matrici (matrici, která má homogenní distribuci hmoty) nahoru. Při pádu nelze s jistotou předpovědět, která ze 6 tváří bude směřovat nahoru.
Pravděpodobnostní vzorec
V náhodném jevu je pravděpodobnost výskytu události stejně pravděpodobná.
Můžeme tedy zjistit pravděpodobnost výskytu daného výsledku vydělením počtu příznivých událostí a celkového počtu možných výsledků:
Bytost:
p (A): pravděpodobnost výskytu události A
na): počet případů, které nás zajímají (událost A)
n (Ω): celkový počet možných případů
Příklady
1) Pokud hodíme perfektní kostkou, jaká je pravděpodobnost, že se hodí číslo menší než 3?
Řešení
Jako dokonalá kostka má všech 6 tváří stejnou šanci na pád lícem nahoru. Použijme tedy pravděpodobnostní vzorec.
K tomu musíme vzít v úvahu, že máme 6 možných případů (1, 2, 3, 4, 5, 6) a že událost „z počtu menšího než 3“ má 2 možnosti, tedy z čísla 1 nebo číslo 2. Takže máme:
2) Balíček karet se skládá z 52 karet rozdělených do čtyř barev (srdce, kluby, diamanty a piky) s 13 kartami každé barvy. Pokud tedy losujete kartu náhodně, jaká je pravděpodobnost, že karta vyjde z klubové barvy?
Řešení
Při náhodném losování karty nemůžeme předvídat, co tato karta bude. Toto je náhodný experiment.
V tomto případě počet karet odpovídá počtu možných případů a máme 13 klubů, které představují počet příznivých událostí.
Dosazením těchto hodnot do vzorce pravděpodobnosti máme:
Ukázkový prostor
představovaný dopisem Ω, prostor vzorku odpovídá souboru možných výsledků získaných z náhodného experimentu.
Například když náhodně vezmete kartu z balíčku, vzorový prostor odpovídá 52 kartám, které tvoří tento balíček.
Podobně je ukázkovým prostorem, když jednou hodí kostku, šest ploch, které ji tvoří:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5 a 6}.
Druhy událostí
Událost je jakákoli podmnožina vzorového prostoru náhodného experimentu.
Když je událost přesně stejná jako její ukázkový prostor, nazývá se a správná událost. Naopak, když je událost prázdná, nazývá se a nemožná událost.
Příklad
Představte si, že máme krabici s koulemi očíslovanými od 1 do 20 a že všechny koule jsou červené.
Událost „nakreslete červenou kouli“ je jistá, protože všechny koule v poli jsou této barvy. Událost „nakreslit číslo větší než 30“ je nemožná, protože nejvyšší počet v poli je 20.
Kombinatorická analýza
V mnoha situacích je možné přímo zjistit počet možných a příznivých událostí v náhodném experimentu.
U některých problémů však budete muset tyto hodnoty vypočítat. V tomto případě můžeme použít permutační, uspořádání a kombinační vzorce podle situace navržené v otázce.
Další informace o tématu najdete na:
- Kombinatorická analýza
- Cvičení kombinatorické analýzy
- Základní princip počítání
- Permutace
Příklad
(EsPCEx - 2012) Pravděpodobnost získání čísla dělitelného 2 při náhodném výběru jedné z permutací číslic 1, 2, 3, 4, 5 je
Řešení
V tomto případě musíme zjistit počet možných událostí, tj. Kolik různých čísel získáme změnou pořadí daných 5 číslic (n = 5).
Protože v tomto případě pořadí číslic tvoří různá čísla, použijeme permutační vzorec. Proto máme:
Možné události:
S 5 číslicemi tedy můžeme najít 120 různých čísel.
Pro výpočet pravděpodobnosti musíme ještě najít počet příznivých událostí, které v tomto případě je najít číslo dělitelné 2, což se stane, když je poslední číslice čísla 2 nebo 4.
Vzhledem k tomu, že pro poslední pozici máme pouze tyto dvě možnosti, pak budeme muset vyměnit další 4 pozice, které tvoří číslo, takto:
Příznivé události:
Pravděpodobnost zjistíte provedením:
Přečtěte si také:
- Pascalův trojúhelník
- Složitá čísla
- Matematika v Enem
Cvičení vyřešeno
1) PUC / RJ - 2013
Pokud a = 2n + 1 s n ∈ {1, 2, 3, 4}, pak pravděpodobnost čísla The být pár je
až 1
b) 0,2
c) 0,5
d) 0,8
e) 0
Když dosadíme každou možnou hodnotu n do výrazu pro číslo a, všimneme si, že výsledkem bude vždy liché číslo.
Proto „být sudé číslo“ je nemožná událost. V tomto případě se pravděpodobnost rovná nule.
Alternativa: e) 0
2) UPE - 2013
Ve skupině kurzu španělštiny mají tři lidé v úmyslu uskutečnit výměnný program v Chile a sedm ve Španělsku. Z těchto deseti lidí byli vybráni dva pro pohovor, který bude čerpat stipendia pro studium v zahraničí. Pravděpodobnost, že tito dva vybraní lidé patří do skupiny těch, kteří mají v úmyslu uskutečnit výměnu v Chile, je
Nejprve zjistíme počet možných situací. Vzhledem k tomu, že výběr 2 osob nezávisí na pořadí, použijeme kombinovaný vzorec k určení počtu možných případů, tj .:
Existuje tedy 45 způsobů, jak vybrat 2 lidi ze skupiny 10 lidí.
Nyní musíme vypočítat počet příznivých událostí, to znamená, že dva vylosovaní chtějí provést výměnu v Chile. Opět použijeme kombinační vzorec:
Existují tedy 3 způsoby, jak si vybrat 2 lidi ze 3, kteří chtějí studovat v Chile.
S nalezenými hodnotami můžeme vypočítat požadovanou substituci pravděpodobnosti ve vzorci:
Alternativa: b)
Přečtěte si více o některých souvisejících předmětech:
- Newtonův binomický
- Pravděpodobnostní cvičení (snadné)
- Pravděpodobnostní cvičení
- Statistický
- Statistiky - cvičení
- Matematické vzorce
