PA a PG: shrnutí, vzorce a cvičení

THE aritmetický postup - PA je posloupnost hodnot, která má konstantní rozdíl mezi po sobě jdoucími čísly.

THE geometrický průběh - PG představuje čísla se stejným podílem při dělení dvou po sobě jdoucích členů.

Zatímco v aritmetickém postupu jsou podmínky získány přidáním rozdílu společného s předchůdcem, podmínky geometrické posloupnosti se zjistí vynásobením poměru posledním číslem v posloupnosti, čímž se získá člen nástupce.

Níže je uveden souhrn dvou typů průběhů.

Aritmetická progrese (AP)

Aritmetická posloupnost je posloupnost tvořená členy, které se od sebe liší konstantní hodnotou, která se nazývá poměr vypočítaná podle:

Kde,

r je důvodem pro BP;
The₂ je druhý termín;
The₁ je první termín.

Proto lze podmínky aritmetického postupu psát následovně:

Všimněte si, že v PA ve výši Ne pojmy vzorec obecného pojmu (_Ne) sekvence je:

The_Ne =₁ + (n - 1) r

Některé konkrétní případy jsou: 3-term AP je reprezentován (x - r, x, x + r) a 5-term AP má jeho komponenty reprezentované (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r).

Druhy PA

Podle hodnoty poměru jsou aritmetické průběhy rozděleny do 3 typů:

1. Konstantní: když je poměr roven nule a podmínky BP jsou stejné.

Příklad: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), kde r = 0

2. Rostoucí: když je poměr větší než nula a člen z druhého je větší než ten předchozí;

Příklad: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), kde r = 2

3. klesající: když je poměr menší než nula a člen z druhého je menší než ten předchozí.

Příklad: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), kde r = - 2

Aritmetické průběhy lze stále klasifikovat do konečný, když mají určitý počet termínů, a nekonečný, tj. s nekonečnými termíny.

Součet podmínek PA

Součet členů aritmetického postupu se vypočítá podle vzorce:

Kde, Ne je počet výrazů v pořadí, The₁ je první termín a The_Ne je devátý termín. Vzorec je užitečný pro řešení otázek, kde je uveden první a poslední termín.

Pokud má problém první výraz a důvod BP, můžete použít vzorec:

Tyto dva vzorce se používají k přidání podmínek konečného BP.

Průměrná doba trvání PA

Abychom určili střední nebo centrální člen BP s lichým počtem členů, vypočítáme aritmetický průměr s prvním a posledním členem (a₁ a_Ne):

Průměrný člen mezi třemi po sobě jdoucími čísly PA odpovídá aritmetickému průměru předchůdce a následníka.

Vyřešený příklad

Vzhledem k PA (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) určete poměr, střední hodnotu a součet podmínek.

1. Důvod PA

2. střednědobý

3. součet podmínek

Dozvědět se víc o aritmetický postup.

Geometrický postup (PG)

Geometrická posloupnost se vytvoří, když má sekvence multiplikační faktor vyplývající z dělení dvou po sobě jdoucích členů, nazývaný společný poměr, který se vypočítá podle:

Kde,

co je důvodem pro PG;
The₂ je druhý termín;
The₁ je první termín.

Geometrický průběh Ne pojmy lze vyjádřit následovně:

Bytost The₁ první člen, obecný člen PG se počítá jako The₁.q^(Ne-1).

Typy PG

Podle hodnoty poměru (q) můžeme klasifikovat Geometrické průběhy do 4 typů:

1. Rostoucí: poměr je vždy kladný (q> 0) a termíny se zvyšují;

Příklad: PG: (3, 9, 27, 81, ...), kde q = 3.

2. klesající: poměr je vždy kladný (q> 0), nenulový (0) a členy se snižují;

Příklad: PG: (-3, -9, -27, -81, ...), kde q = 3

3. oscilační: důvod je negativní (q

Příklad: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96,…), kde q = - 2

4. Konstantní: poměr je vždy roven 1 a termíny mají stejnou hodnotu.

Příklad: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), kde q = 1

Součet podmínek PG

Součet členů geometrické posloupnosti se vypočítá podle vzorce:

Bytost The₁ první termín co společný důvod a Ne počet termínů.

Pokud je poměr PG menší než 1, použijeme k určení součtu podmínek následující vzorec.

Tyto vzorce se používají pro konečný PG. Pokud je požadovanou částkou nekonečný PG, použije se vzorec:

Průměrná doba trvání PG

Abychom určili střední nebo střední člen PG s lichým počtem členů, vypočítáme geometrický průměr s prvním a posledním členem (a₁ a_Ne):

Vyřešený příklad

Vzhledem k tomu, PG (1, 3, 9, 27 a 81) určete poměr, průměrný termín a součet termínů.

1. Důvod PG

2. střednědobý

3. součet podmínek

Dozvědět se víc o geometrický průběh.

Shrnutí vzorců PA a PG

aritmetický postup	Geometrický průběh
Důvod
obecný termín
střednědobý
konečný součet
nekonečný součet

Dozvědět se víc o číselné řady.

Cvičení na PA a PG

Otázka 1

Jaký je 16. člen v posloupnosti, která začíná číslem 3 a má poměr BP rovný 4?

a) 36
b) 52
c) 44
d) 63

Viz odpověď

Správná alternativa: d) 63.

Protože poměr PA je konstantní, můžeme najít druhý člen v pořadí přidáním poměru k prvnímu číslu.

The₂ =₁ + r

The₂ = 3 + 4

The₂ = 7

Můžeme tedy říci, že tuto sekvenci tvoří (3, 7, 11, 15, 19, 23,…)

16. termín lze vypočítat pomocí obecného vzorce vzorce.

The_Ne =₁ + (n - 1). r

The₁₆ = 3 + (16 – 1). 4

The₁₆ = 3 + 15.4

The₁₆ = 3 + 60

The₁₆ = 63

Odpověď na otázku je tedy 63.

otázka 2

Jaký je poměr šestimístného AP, jehož součet prvních tří čísel v sekvenci se rovná 12 a posledních dvou se rovná –34?

a) 7
b) - 6
c) - 5
d) 5

Viz odpověď

Správná alternativa: b) - 6.

Obecný vzorec pro podmínky aritmetického postupu je₁, (a₁ + r), (a₁ + 2r),..., {a₁ + (n-1) r}. Součet prvních tří termínů lze tedy napsat následovně:

The₁ + (₁ + r) + (a₁ + 2r) = 12
3. místo₁ + 3r = 12
3. místo₁ = 12 - 3r
The₁ = (12 - 3r) / 3
The₁ = 4 - r

A součet posledních dvou termínů je:

(The₁ + 4r) + (a₁ + 5r) = - 34
2. místo₁ + 9r = - 34

Nyní vyměníme₁ do 4 - r.

2 (4 - r) + 9r = - 34
8 - 2r + 9r = - 34
7r = - 34 - 8
7r = - 42
r = - 42/7
r = - 6

Proto je poměr PG - 6.

otázka 3

Pokud je třetí termín praktického lékaře 28 a čtvrtý termín 56, jaké jsou prvních 5 podmínek tohoto geometrického postupu?

a) 6, 12, 28, 56, 104
b) 7, 18, 28, 56, 92
c) 5, 9, 28, 56, 119
d) 7, 14, 28, 56, 112

Viz odpověď

Správná alternativa: d) 7, 14, 28, 56, 112

Nejprve musíme vypočítat poměr tohoto PG. K tomu použijeme vzorec:

The₄ =₃. co
56 = 28. co
56/28 = q
q = 2

Nyní vypočítáme prvních 5 členů. Začneme s₁ pomocí vzorce obecného pojmu.

The_Ne =₁. co^(n-1)
The₃ =₁ . co^(3-1)
28 =₁. 2²
The₁ = 28/ 4 = 7

Zbývající termíny lze vypočítat vynásobením předcházejícího termínu poměrem.

The₂ =₁.q
The₂ = 7. 2
The₂ = 14

The₅ =₄. co
The₅ = 56. 2
The₅ = 112

Prvních 5 podmínek PG je tedy:

1. termín: 7
2. termín: 14
3. termín: 28
4. termín: 56
5. termín: 112

Procvičujte také další cvičení:

• Cvičení z aritmetického postupu
• Cvičení na geometrickém postupu