Rovnice pro střední školy: Komentovaná cvičení a soutěžní otázky

Jeden rovnice druhého stupně je celá rovnice ve formě sekera² + bx + c = 0, s reálnými čísly a, bac c a ≠ 0. K řešení rovnice tohoto typu můžete použít různé metody.

Využijte komentovaná řešení cvičení níže, abyste odstranili všechny své pochybnosti. Nezapomeňte také otestovat své znalosti pomocí vyřešených soutěžních otázek.

Komentovaná cvičení

Cvičení 1

Věk mé matky vynásobený mým věkem se rovná 525. Pokud, když jsem se narodil mé matce bylo 20 let, kolik jsem let?

Řešení

S ohledem na můj věk rovný X, pak můžeme uvažovat, že věk mé matky je stejný x + 20. Jak poznáme hodnotu produktu našeho věku, pak:

X. (x + 20) = 525

Uplatnění na distributivní vlastnosti násobení:

X² + 20 x - 525 = 0

Poté dosáhneme úplné rovnice 2. stupně s a = 1, b = 20 a c = - 525.

Pro výpočet kořenů rovnice, tedy hodnot x, kde se rovnice rovná nule, použijeme Bhaskarův vzorec.

Nejprve musíme vypočítat hodnotu ∆:

Pro výpočet kořenů používáme:

Dosazením hodnot ve výše uvedeném vzorci najdeme kořeny rovnice, například takto:

Protože můj věk nemůže být záporný, pohrdáme hodnotou -35. Výsledek tedy je 15 let.

Cvičení 2

Čtverec, znázorněný na obrázku níže, má obdélníkový tvar a jeho plocha se rovná 1350 m². S vědomím, že jeho šířka odpovídá 3/2 jeho výšky, určete rozměry čtverce.

Řešení

Vzhledem k tomu, že jeho výška se rovná X, šířka pak bude rovna 3 / 2x. Plocha obdélníku se vypočítá vynásobením jeho základny hodnotou výšky. V tomto případě máme:

Dostaneme se k neúplné rovnici 2. stupně, s a = 3/2, b = 0 a c = - 1350, můžeme tento typ rovnice vypočítat izolováním xa výpočtem druhé odmocniny.

Protože hodnota x představuje míru výšky, nebudeme brát ohled na - 30. Výška obdélníku se tedy rovná 30 m. Pro výpočet šířky vynásobme tuto hodnotu 3/2:

Proto je čtvercová šířka rovná 45 m a jeho výška se rovná 30 m.

Cvičení 3

Takže x = 1 je kořen rovnice 2ax² + (2. místo)² - a - 4) x - (2 + a²) = 0, hodnoty a by měly být:

a) 3 a 2
b) - 1 a 1
c) 2 a - 3
d) 0 a 2
e) - 3 a - 2

Řešení

Abychom našli hodnotu a, nahraďme nejprve x 1. Takto bude rovnice vypadat takto:

2.a.1² + (2. místo)² - až - 4). 1 - 2 - a² = 0
2. + 2. místo² - do - 4 - 2 - do² = 0
The² + až - 6 = 0

Nyní musíme vypočítat kořen úplné rovnice 2. stupně, k tomu použijeme Bhaskarův vzorec.

Správnou alternativou je tedy písmeno C..

Soutěžní otázky

1) Epcar - 2017

Uvažujme v ℝ rovnici (m+2) x² - 2mx + (m - 1) = 0 v proměnné x, kde m je reálné číslo jiné než - 2.

Zkontrolujte níže uvedená prohlášení a ohodnoťte je jako V (PRAVDA) nebo F (NEPRAVDA).

() Pro všechna m> 2 má rovnice prázdnou množinu řešení.
() Existují dvě skutečné hodnoty m pro rovnici, která připouští stejné kořeny.
() V rovnici, pokud ∆> 0, pak m může předpokládat pouze kladné hodnoty.

Správná sekvence je

a) V - V - V
b) F - V - F
c) F - F - V
d) V - F - F

Viz odpověď

Podívejme se na každé z prohlášení:

Pro všechna m> 2 má rovnice prázdnou množinu řešení

Protože rovnice je druhého stupně v ℝ, nebude mít řešení, když je delta menší než nula. Při výpočtu této hodnoty máme:

První výrok je tedy pravdivý.

Existují dvě skutečné hodnoty m pro rovnici, která připouští stejné kořeny.

Rovnice bude mít stejné skutečné kořeny, když Δ = 0, to znamená:

- 4 m + 8 = 0
m = 2

Proto je tvrzení nepravdivé, protože existuje pouze jedna hodnota m, kde jsou kořeny skutečné a stejné.

V rovnici, pokud ∆> 0, pak m může nabývat pouze kladných hodnot.

Pro Δ> 0 máme:

Protože v množině nekonečných reálných čísel jsou záporná čísla menší než 2, je tvrzení také nepravdivé.

Alternativa d: V-F-F

2) Coltec - UFMG - 2017

Laura musí v „domově“ vyřešit rovnici 2. stupně, ale uvědomuje si, že při kopírování z tabule do notebooku zapomněla zkopírovat koeficient x. Aby vyřešil rovnici, zaznamenal ji takto: 4x² + sekera + 9 = 0. Jelikož věděla, že rovnice má pouze jedno řešení a toto bylo kladné, dokázala určit hodnotu a, což je

a) - 13
b) - 12
c) 12
d) 13

Viz odpověď

Když má rovnice 2. stupně jediné řešení, je delta z Bhaskarova vzorce rovna nule. Takže najít hodnotu The, stačí vypočítat deltu a rovnat její hodnotu nule.

Pokud tedy a = 12 nebo a = - 12, bude mít rovnice pouze jeden kořen. Stále však musíme zkontrolovat, které z hodnot jsou The výsledkem bude pozitivní kořen.

Za to, pojďme najít kořen, pro hodnoty The.

Takže pro a = -12 bude mít rovnice pouze jeden kořen a kladný.

Alternativa b: -12

3) Enem - 2016

Tunel musí být utěsněn betonovým krytem. Průřez tunelu a betonový kryt mají obrysy parabolového oblouku a stejné rozměry. K určení ceny práce musí inženýr vypočítat plochu pod dotyčným parabolickým obloukem. Pomocí vodorovné osy na úrovni země a osy symetrie paraboly jako svislé osy získal pro parabolu následující rovnici:
y = 9 - x², kde x a y jsou měřeny v metrech.
Je známo, že plocha pod takovou parabolou se rovná 2/3 plochy obdélníku, jehož rozměry se rovnají základně a výšce vchodu do tunelu.
Jaká je plocha přední části betonového krytu, v metrech čtverečních?

a) 18
b) 20
c) 36
d) 45
e) 54

Viz odpověď

Abychom tento problém vyřešili, musíme najít rozměry základny a výšky vchodu do tunelu, as problém nám říká, že plocha přední strany se rovná 2/3 plochy obdélníku s těmito rozměry.

Tyto hodnoty budou nalezeny z dané rovnice 2. stupně. Parabola této rovnice má konkávnost odmítnutou, protože koeficient The je negativní. Níže je uveden nástin tohoto podobenství.

Z grafu vidíme, že míra základny tunelu bude nalezena výpočtem kořenů rovnice. Jeho výška se již bude rovnat míře vrcholu.

Pro výpočet kořenů pozorujeme rovnici 9 - x² je neúplný, takže můžeme najít jeho kořeny rovnicí rovnice na nulu a izolováním x:

Proto bude měření základny tunelu rovné 6 m, tj. Vzdálenost mezi dvěma kořeny (-3 a 3).

Při pohledu na graf vidíme, že vrcholový bod odpovídá hodnotě na ose y, že x se rovná nule, takže máme:

Nyní, když známe měření základny a výšky tunelu, můžeme vypočítat jeho plochu:

Alternativa c: 36

4) Cefet - RJ - 2014

Pro jakou hodnotu „a“ má rovnice (x - 2). (2ax - 3) + (x - 2). (- ax + 1) = 0 dva kořeny a stejné?

až 1
b) 0
c) 1
d) 2

Viz odpověď

Aby rovnice 2. stupně měla dva stejné kořeny, je nutné, aby Δ = 0, tj. B²-4ac = 0. Před výpočtem delty musíme napsat rovnici do tvaru ax² + bx + c = 0.

Můžeme začít uplatněním distribuční vlastnosti. Všimli jsme si však, že (x - 2) se opakuje v obou termínech, a tak to uvedeme jako důkaz:

(x - 2) (2ax -3 - ax + 1) = 0
(x - 2) (ax -2) = 0

Nyní při distribuci produktu máme:

sekera² - 2x - 2ax + 4 = 0

Při výpočtu Δ a rovnající se nule najdeme:

Když a = 1, bude mít rovnice dva stejné kořeny.

Alternativa c: 1

Další informace najdete také:

• Rovnice druhého stupně
• Rovnice prvního stupně
• Kvadratická funkce
• Kvadratická funkce - cvičení
• Lineární funkce
• Související funkční cvičení