Statistika je oblast matematiky, která studuje sběr, zaznamenávání, organizaci a analýzu výzkumných dat.
Toto téma je zpoplatněno v mnoha soutěžích. Využijte tedy komentovaná a vyřešená cvičení a vyřešte všechny své pochybnosti.
Komentované a vyřešené problémy
1) Enem - 2017
Hodnocení výkonu studentů univerzitního kurzu je založeno na váženém průměru známek získaných v předmětech podle příslušného počtu kreditů, jak je uvedeno v tabulce:
Čím lepší je hodnocení studenta v daném akademickém semestru, tím větší je jeho priorita při výběru předmětů pro další semestr.
Určitý student ví, že pokud získá hodnocení „dobré“ nebo „vynikající“, bude si moci zapsat předměty, po kterých touží. Už absolvoval testy pro 4 z 5 předmětů, do kterých je zapsán, ale ještě neabsolvoval test pro předmět I, jak je uvedeno v tabulce.
Aby dosáhl svého cíle, je minimální známka, kterou musí v předmětu I dosáhnout
a) 7,00.
b) 7,38.
c) 7,50.
d) 8,25.
e) 9,00.
Pro výpočet váženého průměru vynásobíme každý stupeň příslušným počtem kreditů, poté přidáme všechny nalezené hodnoty a nakonec vydělíme celkovým počtem kreditů.
Prostřednictvím první tabulky zjistíme, že student musí dosáhnout alespoň průměru rovného 7, aby získal „dobré“ hodnocení. Vážený průměr se proto musí rovnat této hodnotě.
Voláním chybějící noty x vyřešíme následující rovnici:
Alternativa: d) 8.25
2) Enem - 2017
Tři studenti, X, Y a Z, jsou zapsáni do kurzu angličtiny. K hodnocení těchto studentů se učitel rozhodl absolvovat pět testů. K úspěšnému absolvování tohoto kurzu musí mít student aritmetický průměr známek z pěti testů větší nebo rovný 6. V tabulce jsou zobrazeny poznámky, které si každý student vzal v každém testu.
Na základě údajů v tabulce a poskytnutých informací budete neschváleni
a) pouze student Y.
b) pouze student Z.
c) pouze studenti X a Y.
d) pouze studenti X a Z.
e) studenti X, Y a Z.
Aritmetický průměr se vypočítá sečtením všech hodnot a vydělením počtem hodnot. V tomto případě sečteme známky každého studenta a vydělíme je pěti.
Vzhledem k tomu, že student uspěje se známkou rovnou nebo větší než 6, budou studenti X a Y úspěšní a student Z neprospěje.
Alternativa: b) pouze student Z.
3) Enem - 2017
Graf ukazuje míru nezaměstnanosti (v%) za období od března 2008 do dubna 2009, získanou na základě údaje pozorované v metropolitních oblastech Recife, Salvador, Belo Horizonte, Rio de Janeiro, São Paulo a Porto Šťastný.
Medián této míry nezaměstnanosti v období od března 2008 do dubna 2009 byl
a) 8,1%
b) 8,0%
c) 7,9%
d) 7,7%
e) 7,6%
Chcete-li zjistit střední hodnotu, musíme začít uvedením všech hodnot do pořádku. Poté identifikujeme pozici, která rozdělí rozsah na dvě části se stejným počtem hodnot.
Když je počet hodnot lichý, střední hodnota je číslo, které je přesně uprostřed rozsahu. Když je sudé, střední hodnota se rovná aritmetickému průměru dvou centrálních hodnot.
Podle grafu zjistíme, že existuje 14 hodnot souvisejících s mírou nezaměstnanosti. Protože 14 je sudé číslo, bude se medián rovnat aritmetickému průměru mezi 7. hodnotou a 8. hodnotou.
Tímto způsobem můžeme dát čísla do pořádku, dokud nedosáhneme těchto pozic, jak je znázorněno níže:
6,8; 7,5; 7,6; 7,6; 7,7; 7,9; 7,9; 8,1
Při výpočtu průměru mezi 7,9 a 8,1 máme:
Alternativa: b) 8,0%
4) Fuvest - 2016
Mezi dvěma městy v Serra da Mantiqueira jede vozidlo, které pokrylo první třetinu ostrova trasa průměrnou rychlostí 60 km / h, další třetina rychlostí 40 km / h a zbytek trasy rychlostí 20 km / h. Hodnota, která nejlépe odpovídá průměrné rychlosti vozidla na této cestě, v km / h, je
a) 32.5
b) 35
c) 37,5
d) 40
e) 42,5
Musíme najít střední hodnotu rychlosti a ne průměr rychlostí, v tomto případě nemůžeme vypočítat aritmetický průměr, ale harmonický průměr.
Harmonický průměr používáme, když jsou zúčastněné veličiny nepřímo úměrné, jako v případě rychlosti a času.
Harmonický průměr, který je inverzí aritmetického průměru inverzí hodnot, máme:
Nejbližší hodnota odpovědí je tedy 32,5 km / h
Alternativa: a) 32.5
5) Enem - 2015
Ve výběrovém řízení na finále na 100 metrů volný způsob plavání na olympiádě získali sportovci ve svých drahách následující časy:
Medián časů uvedených v tabulce je
a) 20,70.
b) 20,77.
c) 20,80.
d) 20,85.
e) 20,90.
Nejprve posuňte všechny hodnoty, včetně opakovaných čísel, vzestupně:
20,50; 20,60; 20,60; 20,80; 20,90; 20,90; 20,90; 20,96
Všimněte si, že existuje sudý počet hodnot (8krát), takže medián bude aritmetický průměr mezi hodnotou, která je na 4. pozici, a tou na 5. pozici:
Alternativa: d) 20,85.
6) Enem - 2014
Uchazeči K, L, M, N a P soutěží o jedno otevření pracovního místa ve společnosti a absolvovali testy z portugalštiny, matematiky, práva a IT. V tabulce jsou uvedeny výsledky získané pěti kandidáty.
Podle oznámení o výběru bude úspěšným uchazečem ten, u kterého je medián známek, které získal ve čtyřech předmětech, nejvyšší. Úspěšný kandidát bude
a) K.
b) L.
C)
d) Ne.
e) Q
Musíme najít medián každého kandidáta, abychom zjistili, který je nejvyšší. Abychom to mohli udělat, srovnejme hodnocení každého z nich a najdi medián.
Kandidát K:
Kandidát L:
Kandidát M:
Kandidát N:
Kandidát P:
Alternativa: d) N
Podívejte se taky Matematika v Enem a Matematické vzorce
7) Fuvest - 2015
Prohlédněte si graf.
Na základě údajů v grafu lze správně určit, že věk
a) medián matek dětí narozených v roce 2009 byl vyšší než 27 let.
b) medián matek dětí narozených v roce 2009 byl méně než 23 let.
c) medián matek dětí narozených v roce 1999 byl vyšší než 25 let.
d) průměr matek dětí narozených v roce 2004 byl vyšší než 22 let.
e) průměr matek dětí narozených v roce 1999 byl méně než 21 let.
Začněme určením, v jakém rozsahu se nachází medián matek dětí narozených v roce 2009 (světle šedé pruhy).
Z tohoto důvodu vezmeme v úvahu, že medián věků se nachází v bodě, kde se frekvence zvyšuje až na 50% (uprostřed rozsahu).
Tímto způsobem vypočítáme akumulované frekvence. V následující tabulce uvádíme frekvence a kumulativní frekvence pro každý interval:
| věkové skupiny | Frekvence | Kumulativní frekvence |
| do 15 let | 0,8 | 0,8 |
| 15 až 19 let | 18,2 | 19,0 |
| 20 až 24 let | 28,3 | 47,3 |
| 25 až 29 let | 25,2 | 72,5 |
| 30 až 34 let | 16,8 | 89,3 |
| 35 až 39 let | 8,0 | 97,3 |
| 40 let a více | 2,3 | 99,6 |
| ignorovaný věk | 0,4 | 100 |
Všimněte si, že kumulativní účast dosáhne 50% v rozmezí 25 až 29 let. Písmena a a b jsou proto nesprávná, protože označují hodnoty mimo tento rozsah.
Stejným postupem použijeme i medián roku 1999. Údaje jsou uvedeny v následující tabulce:
| věkové skupiny | Frekvence | Kumulativní frekvence |
| do 15 let | 0,7 | 0,7 |
| 15 až 19 let | 20,8 | 21,5 |
| 20 až 24 let | 30,8 | 52,3 |
| 25 až 29 let | 23,3 | 75,6 |
| 30 až 34 let | 14,4 | 90,0 |
| 35 až 39 let | 6,7 | 96,7 |
| 40 let a více | 1,9 | 98,6 |
| ignorovaný věk | 1,4 | 100 |
V této situaci se medián vyskytuje v rozmezí 20 až 24 let. Proto je písmeno c také nesprávné, protože představuje možnost, která do rozsahu nepatří.
Pojďme nyní vypočítat průměr. Tento výpočet se provádí sečtením součinů frekvence o průměrný věk intervalu a vydělením nalezené hodnoty součtem frekvencí.
Pro výpočet nebudeme brát v úvahu hodnoty vztahující se k intervalům „do 15 let“, „40 let a více“ a „ignorovaný věk“.
Když tedy vezmeme hodnoty grafu pro rok 2004, máme následující průměr:
I kdybychom uvažovali o extrémních hodnotách, průměr by byl větší než 22 let. Tvrzení je tedy pravdivé.
Jen pro potvrzení, vypočteme průměr za rok 1999 pomocí stejného postupu jako dříve:
Protože zjištěná hodnota není kratší než 21 let, bude tato alternativa také nepravdivá.
Alternativa: d) průměr matek dětí narozených v roce 2004 byl vyšší než 22 let.
8) UPE - 2014
Ve sportovní soutěži pět sportovců zpochybňuje první tři místa v soutěži ve skoku do dálky. Klasifikace bude v sestupném pořadí aritmetického průměru získaných bodů po třech po sobě jdoucích skokech v testu. V případě rovnosti bodů bude přijatým kritériem vzestupné pořadí hodnoty odchylky. Skóre každého sportovce je uvedeno v následující tabulce:
Na základě předložených informací obsadili první, druhé a třetí místo v této soutěži sportovci
a) A; C; A
b) B; D; A
c) AND; D; B
d) B; D; C
a; B; D
Začněme výpočtem aritmetického průměru každého sportovce:
Protože jsou všichni vázáni, vypočítáme rozptyl:
Vzhledem k tomu, že klasifikace se provádí v sestupném pořadí, bude na prvním místě sportovec A, následovaný sportovcem C a E.
Alternativa: a) A; C; A
Získejte více znalostí s obsahem:
- Standardní odchylka
- Rozptyl a směrodatná odchylka
- Pravděpodobnostní cvičení
