Jako reálná čísla známe všechna racionální čísla a iracionální. Studiem číselné množiny, je důležité si uvědomit, že sledují potřeby a historii lidstva, numerické sady jsou:
- sada přirozených čísel
- celé číslo
- množina racionálních čísel
- sada iracionálních čísel
- množina reálných čísel
Vy reálná čísla mají vlastnosti jako jsou: asociativní, komutativní, existence neutrálního prvku pro sčítání a násobení, existence inverzního prvku v násobení a distributivní. skutečná čísla mohou být zastoupeny na skutečné linii - jak je řádně reprezentovat.
Přečtěte si také: Co jsou prvočísla?
Jaká jsou skutečná čísla?
Známe množinu tvořenou reálnými čísly spojení racionálních a iracionálních čísel. Je docela běžné s nimi pracovat, ale množina reálných čísel nebyla první, která se v historii objevila.
přirozená čísla
Ó první číselná množina to bylo tvořeno přirozenými čísly. Byly vytvořeny ze základní potřeby lidských bytostí počítat a počítat předměty svého každodenního života. Vy přirozená čísla oni jsou:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...}
celá čísla
S vývojem společnosti se měnící se touhy lidské bytosti a potřeba pracovat se zápornými čísly. Operace jako 4 - 6, které v množině přirozených čísel nedávaly smysl, začaly dělat se vznikem této nové množiny. Sada celá čísla přišel s přidáním záporných čísel do množiny přirozených čísel, to znamená je tvořen přirozenými čísly a jejich opakem.
Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
racionální čísla
Ukazuje se, že i tak s přidáním záporných čísel sada celých čísel nestačila, protože od starověký Egypt, je zcela běžné používat čísla, která nejsou celá čísla. Tehdy došlo k potřebě formalizovat nový soubor: soubor vytvořený všemi čísla, která lze reprezentovat zlomkem je známá jako racionální čísla.
Na rozdíl od množiny celých čísel, v racionálním není možné sepsat seznam pojmů s jejich předchůdci a následníky, protože vzhledem k racionálním číslům bude vždy existovat další racionální číslo mezi nimi. Například mezi 1 a 2 je 1,5; mezi 1 a 1,5 je 1,25; a tak dále. Proto k reprezentaci racionálních čísel používáme následující zápis:
V této notaci je racionální číslo číslo, které lze reprezentovat zlomkem The pod B, o tom, co The je celé číslo a B je nenulové celé číslo.
V množině racionálních čísel byla zahrnuta všechna celá čísla které již byly známy, protože je lze kromě přesných desetinných čísel a znaku uvést i jako zlomek periodické desátky, pozitivní a negativní.
Podívejte se také: Co jsou pořadová čísla?
iracionální čísla
Na rozdíl od definice racionálních čísel existují čísla, která nelze reprezentovat jako zlomek. Někteří matematici je studovali včas, ve snaze učinit toto vyjádření, ale není to možné. Tato čísla jsou neperiodické desátky a kořeny není přesné, které ve výsledku generují neperiodické desátky. Například číslo π je iracionální číslo, které je v běžném životě zcela běžné. Sada iracionálních čísel není vypsatelná, stejně jako racionální čísla, a je reprezentována písmenem Já.
Příklady:
- √2 → nepřesné kořeny jsou iracionální čísla;
- -√5 → kořeny nejsou přesné, i když záporné jsou iracionální čísla;
- 3.123094921… → neperiodická desetinná místa jsou iracionální čísla.
reálná čísla
Protože všechna přirozená a celá čísla jsou považována za racionální, čísla zatím mohou být klasifikovány do dvou velkých množin, množiny racionálních čísel a množiny čísel iracionální. Sada reálných čísel není nic jiného než spojení racionálních a iracionálních čísel.
R = {Q U I}
Zatím se všechna čísla, která známe, nazývají skutečná čísla.
Operace se skutečnými čísly
Operace zahrnující reálná čísla jsou ty, které jsou známé pro všechny předchozí sady čísel. Jsou oni:
- přidání
- odčítání
- divize
- násobení
- potenciace
- záření
Chcete-li provést některou z těchto operací mezi reálnými čísly, není žádný rozdíl od operací s předchozími čísly.
Vzhledem k těmto operacím je také důležité to zdůraznit existují vlastnosti v množině reálných čísel.
Vlastnosti reálných čísel
Je důležité si uvědomit, že vlastnosti reálných čísel jsou důsledky jeho definice a jsou užitečné pro provádění operací. Jsou oni:
- existence neutrálního prvku pro sčítání a množení
- komutativní vlastnost
- asociativní majetek
- distribuční vlastnictví
- existence inverze
neutrální prvek
Být The skutečné číslo.
Přidáno je číslo The, má za následek sám o sobě The:
The + 0 = The
0 je neutrální prvek součtu..
Po vynásobení existuje číslo The, má za následek sám o sobě The.
The · 1 = The
1 je neutrální prvek násobení.
Komutativní vlastnictví
Být The a B dvě reálná čísla.
Po přidání nebo násobení pořadí čísel nezmění výsledek.
The + B = B + The
a · b = b · a
asociativní majetek
Být The, B a C reálná čísla.
Při sčítání i násobení jsou obě operovaná čísla lhostejná k jakémukoli pořadí.
(The + B) + C = The + (B + C)
(a · b) · Ç = The· (před naším letopočtem)
distribuční vlastnictví
Být The, B a C reálná čísla.
Distribuční vlastnost ukazuje, že součet součtu se rovná součtu součinů.
C (a + b) = ca + cb
Existence inverze
Být The nenulové reálné číslo.
za každé skutečné číslo The liší se od nuly, existuje takové číslo, které produkt zadá The a toto číslo se rovná 1.
reprezentace na přímce
Můžeme reprezentovat množinu reálných čísel v řadě, protože existuje dobře definovaný princip řádu pro něj. Tato reprezentace na řádku je známá jako skutečná čára nebo reje to číselné a je to docela běžné, dokonce i při studiu karteziánské roviny.
Také přístup: Co je zlomek?
vyřešená cvičení
Otázka 1 - Posuďte prosím následující prohlášení:
I - Periodická desetinná místa jsou reálná čísla.
II - Každé skutečné číslo je racionální nebo iracionální.
III - Ne každé celé číslo je přirozené.
Analýzou těchto tvrzení můžeme říci, že:
A) pouze já je falešný.
B) pouze II je nepravdivé.
C) pouze III je nepravdivé.
D) všechny jsou pravdivé.
E) všechny jsou nepravdivé.
Řešení
Alternativa D.
Já - pravda, protože desátky jsou iracionální čísla, jsou to tedy skutečná čísla.
II - Je pravda, že množina reálných čísel je spojením reálných a iracionálních čísel.
III - Je pravda, že záporná čísla, například -2 a -5, jsou celá čísla, ale nejsou přirozená.
Otázka 2 - Podívejte se na následující vlastnosti:
I - komutativní majetek
II - distribuční majetek
III - sdružovací majetek
Analyzujte následující operace a označte je počtem příslušných vlastností:
1 - ( ) 3 (2 + 5) = 6 + 15
2 - ( ) 5 · 4 = 4 · 5
3 - ( ) (2 + 4) + 1 = 2 + (4 + 1)
4 - ( ) 1 + 5 = 5 + 1
Která z alternativ odpovídá správnému pořadí vlastností:
A) II - I - III - I
B) I - III - III - II
C) III - II - III - III
D) II - I - III - II
E) II - III - II - I
Řešení
Alternativa A.
1 - (II) V tomto případě došlo k distribučnímu majetku, protože si všimněte, že 3 byla vynásobena každým z faktorů operace.
2 - (I) V tomto případě pořadí faktorů nemění součin, komutativitu násobení.
3 - (III) Máme asociativní vlastnost, protože pořadí, ve kterém jsou tyto prvky přidány, nemění součet.
4 - (I) Zde máme opět komutativitu, protože pořadí balíků nemění součet.
