Založili jsme obsazení když dáváme do souvislosti jedno nebo více veličin. Část přírodních jevů lze studovat díky vývoji v této oblasti matematiky. Studium funkcí je rozděleno do dvou částí, máme obecnou část, ve které studujeme konceptyVšeobecné, a konkrétní část, kde studujeme konkrétní případy, jako jsou polynomiální funkce a exponenciální funkce.
Podívejte se také: Jak graf funkce?
Co jsou funkce?
Funkce je aplikace, která souvisí prvky dvou sady není prázdný. Zvažte dvě neprázdné množiny A a B, kde je funkce F týkat se každý prvek od A do jen jeden prvek B.
Pro lepší pochopení této definice si představte jízdu taxíkem. Pro každou cestu, to znamená pro každou ujetou vzdálenost, existuje jiná a jedinečná cena, to znamená, že nemá smysl, aby cesta měla dvě různé ceny.
Tuto funkci, která bere prvky ze sady A do sady B, můžeme představit následujícími způsoby.
Všimněte si, že pro každý prvek množiny A existuje jediný související prvek s ním v sadě B. Koneckonců si můžeme myslet, kdy vztah mezi dvěma množinami nebude funkcí? Když prvek množiny A souvisí se dvěma odlišnými prvky B, nebo když existují prvky množiny A, které nesouvisejí s prvky B. Dívej se:
Obecně můžeme funkci napsat algebraicky takto:
F: A → B
x → y
Všimněte si, že funkce přebírá prvky ze sady A (reprezentované x) a přebírá je k elementům B (reprezentované y). Můžeme také říci, že prvky množiny B jsou uvedeny z hlediska prvků množiny A, takže můžeme reprezentovat y pomocí:
y = F(X)
Čte: (y se rovná f x)
Doména, doména a obraz role
Když máme roli F, související sady mají speciální názvy. Zvažte tedy funkci F který bere prvky ze sady A na prvky ze sady B:
F: A → B
Volá se množina A, ze které se vztahy odchylují doména funkce a je volána množina, která přijímá „šipky“ tohoto vztahu protidoména. Tyto sady označujeme takto:
DF = A → doména F
CDF = B → Counterdomain of F
Volá se podmnožina pultdomény funkce tvořené prvky, které se vztahují k prvkům množiny obraz funkce a je označen:
imF → Obrázek F
- Příklad
Zvažte funkci f: A → B znázorněnou v níže uvedeném diagramu a určete doménu, proti doménu a obrázek.
Jak již bylo řečeno, množina A = {1, 2, 3, 4} je doménou funkce F, zatímco množina B = {0, 2, 3, –1} je proti doménou stejné funkce. Nyní si všimněte, že množina tvořená prvky, které přijímají šipku (oranžově) tvořenou prvky {0, 2, –1}, je podmnožinou kontomény B, tato množina je obrazem funkce F, tím pádem:
DF = A = {1, 2, 3, 4}
CDF = B = {0, 2, 3, -1}
imF = {0, 2, –1}
Říkáme, že 0 je obrázek prvku 1 domény, stejně jako 2 je to obraz prvků 2 a 3 domény a –1 je obrázek prvku 4 domény. Chcete-li se dozvědět více o těchto třech konceptech, přečtěte si: Ddoména, doména a obrázek.
Surjektivní funkce
Funkce F: A → B bude surjektivní nebo surjektivní tehdy a jen tehdy, pokud se obrazová sada shoduje s protikladnou doménou, tj. pokud jsou všechny prvky protiklady obrazy.
Řekneme pak, že funkce je surjektivní, když všechny prvky pultdomény dostávají šipky. Chcete-li se tomuto typu funkcí věnovat hlouběji, navštivte náš text: Funkce overjet.
Injekční funkce
Funkce F: A → B bude injektivní nebo injektivní, a to pouze tehdy, mají-li odlišné prvky domény odlišné obrazy v protidoméně, tj. podobné obrázky jsou generovány stejnými prvky domény.
Všimněte si, že podmínkou je, že různé prvky domény se vztahují k různým prvkům protidomény, přičemž se zbývajícími prvky v protidoméně není problém. Abyste tomuto konceptu lépe porozuměli, můžete si přečíst text: Funkce vstřikovače.
Funkce bijektoru
Funkce F: A → B bude bijektivní, pokud a pouze pokud je injektor a surjektor současně, to znamená, že odlišné prvky domény mají odlišné obrázky a obraz se shoduje s protidoménou.
- Příklad
V každém případě zdůvodněte, zda je funkce f (x) = x2 je to injektor, surjektor nebo bijektor.
The) F: ℝ+ → ℝ
Všimněte si, že doménou funkce jsou všechny kladné reálné hodnoty a pultdoména jsou všechna reálná čísla. Víme, že funkce f je dána f (x) = x2, teď si představte všechna pozitivní reálná čísla vysoký na druhou, všechny obrázky budou také pozitivní. Můžeme tedy dojít k závěru, že funkce je vstřikovací a nikoli surjektivní, protože záporná reálná čísla nebudou dostávat šipky.
Je to vstřikování, jako každý prvek domény (ℝ+) se týká pouze jednoho prvku pultdomény (ℝ).
B) F: ℝ → ℝ+
Funkce, v tomto případě, má doménu jako všechny reals a counterdomain jako pozitivní reals. Víme, že každé reálné číslo na druhou je kladné, takže všechny prvky pultdomény získaly šipky, takže funkce je surjektivní. Nebude to vkládání, protože prvky domény se vztahují ke dvěma prvkům domény čítače, například:
F(–2) = (–2)2 = 4
F(2) = (2)2 = 4
C) F:ℝ+ → ℝ+
V tomto příkladu má funkce doménu a doménu jako kladná reálná čísla, takže funkce je bijektor, protože každé kladné reálné číslo se vztahuje k jedinému reálné číslo kladná proti doméně, v tomto případě druhá mocnina čísla. Všechna čísla proti doméně navíc obdržela šipky.
složená funkce
THE složená funkce je spojen s zkratka nápad. Zvažte tři neprázdné sady A, B a C. Zvažte také dvě funkce f a g, kde funkce f vezme prvky x ze sady A na prvky y = f (x) ze sady B a funkce g vezme prvky y = f (x) na prvky z ze sady C.
Složená funkce přijímá tento název, protože se jedná o aplikaci, která bere prvky ze sady A přímo na prvky ze sady C, aniž by procházela sadou B, prostřednictvím složení funkcí f a g. Dívej se:
Funkce označená (f o g) přebírá prvky z množiny A přímo do množiny C. Říká se tomu složená funkce.
- Příklad
Uvažujme funkci f (x) = x2 a funkce g (x) = x + 1. Najděte složené funkce (f o g) (x) a (g o f) (x).
Funkce f o g je dána funkcí g aplikovanou na f, to znamená:
(f o g) (x) = f (g (x))
K určení této složené funkce musíme vzít v úvahu funkci F, a místo proměnné x musíme napsat funkci G. Dívej se:
X2
(x + 1)2
(f o g) (x) = f (g (x)) = x2 + 2x + 1
Podobně pro určení složené funkce (g o f) (x) musíme funkci použít F v roli G, tj. zvažte funkci g a místo proměnné zapište funkci f. Dívej se:
(x + 1)
X2 + 1
Proto složená funkce (g o f) (x) = g (f (x)) = x2 + 1.
Rovnoměrná funkce
Zvažte funkci F: A → ℝ, kde A je podmnožina neprázdných realit. Funkce f bude sudá pouze pro všechna reálná x.
Příklad
Zvažte funkci F: ℝ → ℝ, dané f (x) = x2.
Všimněte si, že pro jakoukoli skutečnou hodnotu x, pokud je druhá mocnina, je výsledek vždy pozitivní, to znamená:
f (x) = x2
a
f (–x) = (–x)2 = x2
Takže f (x) = f (–x) pro jakoukoli skutečnou hodnotu x, tedy funkce F je to pár.
Přečtěte si také:Vlastnosti výkonus - co jsou zač a jak na použitívzduch?
jedinečná funkce
Zvažte funkci F: A → ℝ, kde A je podmnožina neprázdných realit. Funkce f bude lichá pouze pro všechna reálná x.
- Příklad
Zvažte funkci F: ℝ → ℝ, dané f (x) = x3.
Uvidíme, že pro jakoukoli hodnotu x můžeme napsat, že (–x)3 = -x3. Podívejte se na několik příkladů:
(–2)3 = –23 = –8
(–3)3 = –33 = –27
Můžeme tedy říci, že:
f (–x) = (–x)3 = –X3
f (–x) = (–x)3 = –f (x)
Takže pro libovolné reálné x f (–x) = –f (x), a tedy funkce f (x) = x3 je jedinečný.
zvýšení funkce
Funkce F é rostoucí v intervalu právě tehdy, když s růstem prvků domény rostou i jejich obrazy. Dívej se:
Všimněte si, že x1 > x2 a totéž se děje s obrazem, takže můžeme pro funkci vytvořit algebraickou podmínku F být rostoucí.
Sestupná funkce
Funkce F é klesající v intervalu právě tehdy, když s růstem prvků domény se jejich obrázky zmenšují. Dívej se:
Podívejte se, že ve funkční doméně máme to x1 > x2, k tomu však nedochází u funkčního obrazu, kde f (x1)
konstantní funkce
Jak název napovídá, a funkce je konstantní kdy, pro jakoukoli hodnotu doména, hodnota obrázku je vždy stejná.
související funkce
THE afinní funkce nebo polynom prvního stupně se píše ve tvaru:
f (x) = sekera + b
Kde a a b jsou reálná čísla, a je nenulová a váš graf je čára. Funkce má skutečnou doménu a také skutečnou doménu.
kvadratická funkce
THE kvadratická funkce nebo polynomiální funkce druhého stupně je dána vztahem A polynomiální stupně dva, tím pádem:
f (x) = sekera2 + bx + c
Kde a, bac jsou reálná čísla s nenulovou hodnotou a váš graf je a podobenství. Role má také skutečnou doménu a doménu pultu.
modulární funkce
THE modulární funkce s proměnná x najde--li uvnitř modulu a algebraicky je to vyjádřeno:
f (x) = | x |
Funkce má také skutečnou doménu a doménu čítače, to znamená, že můžeme vypočítat absolutní hodnotu libovolného reálného čísla.
exponenciální funkce
THE exponenciální funkcezobrazí proměnnou x v exponentu. Má také skutečnou doménu a skutečnou doménu a je algebraicky popsána:
f (x) = aX
Kde a je reálné číslo větší než nula.
logaritmická funkce
THE logaritmická funkce má proměnná v logaritmu a doména tvořená reálnými čísly většími než nula.
Trigonometrické funkce
Na trigonometrické funkce mít proměnná x zahrnující trigonometrické poměry, hlavní jsou:
f (x) = sin (x)
f (x) = cos (x)
f (x) = tg (x)
kořenová funkce
Kořenová funkce je charakterizována tím, že má proměnná uvnitř kořenePokud je index kořene sudý, stane se doménou funkce pouze kladná reálná čísla.
Robson Luiz
Učitel matematiky