Hranolová oblast: jak vypočítat, příklady, cvičení

Hranoly jsou trojrozměrné postavy tvořené dvě shodné a paralelní základny, základny jsou zase tvořeny konvexní polygony. Ostatní plochy, které se jmenují boční plochy, jsou tvořeny rovnoběžníky. Pro určení oblasti hranolu je nutné provést jeho plánování a poté vypočítat plochu ploché postavy.

Přečtěte si také: Rozdíly mezi plochými a prostorovými čísly

Plánování hranolu

Myšlenka plánování je přeměnit trojrozměrnou postavu na a dvojrozměrná postava. V praxi by se jednalo o ekvivalent proříznutí hran hranolu. Níže je uveden příklad plánování trojúhelníkového hranolu.

Stejný postup lze přijmout pro každý hranolVšimněte si však, že jak zvyšujeme počet stran základních polygonů, je úkol stále obtížnější. Z tohoto důvodu provedeme zobecnění na základě plánování tohoto polygon.

Výpočet boční plochy

Při pozorování obrazu trojúhelníkového hranolu máme, že paralelogramy ABFC, ABFD a ACDE jsou boční plochy. Všimněte si, že boční plochy hranolu budou vždy rovnoběžníky bez ohledu na počet stran základních polygonů k tomu dochází, protože jsou rovnoběžné a shodné.

Při pohledu na trojúhelníkový hranolový útvar také vidíme, že máme tři boční plochy. Je to kvůli počtu stran základního polygonu, to znamená, že pokud jsou hranolové základny čtyřúhelník, budeme mít čtyři boční plochy, pokud jsou základny pětiúhelník, budeme mít pět bočních ploch atd. Tím pádem: počet stran základního polygonu ovlivňuje počet bočních ploch hranolu.

Proto boční plocha (A_L) libovolného hranolu je dána plochou boční plochy vynásobenou počtem bočních ploch, to znamená, že je to plocha rovnoběžníku vynásobená počtem stran tváře.

THE_L = (základna · výška) · počet stran obličeje

• Příklad

Vypočítejte boční plochu pravidelného šestihranného hranolu se základní hranou rovnou 3 cm a výškou rovnou 11 cm.

Daný hranol představuje:

Boční plocha se poté vypočítá jako plocha obdélníku krát počet stran základního polygonu, což je 6, takže:

THE_L = (základna · výška) · počet stran obličeje

THE_L = (3 · 11) · 6

THE_L = 198 cm²

Výpočet základní plochy

Hranoly mohou mít různé tvary.

THE základní plocha (THE_B) hranolu závisí na polygonu, který jej tvoří. Protože v hranolu máme dvě rovnoběžné a shodné plochy, je základní plocha dána součtem ploch paralelních polygonů, tj. Dvojnásobkem plochy polygonu.

THE_B = 2 · polygonová oblast

Přečtěte si také:Plochy plochého obrázku

• Příklad

Vypočítejte základní plochu pravidelného šestiúhelníkového hranolu se základní hranou rovnou 3 cm a výškou rovnou 11 cm.

Základem tohoto hranolu je pravidelný šestiúhelník a tento při pohledu shora vypadá takto:

Všimněte si, že trojúhelníky vytvořené uvnitř šestiúhelníku jsou rovnostranné, takže plocha šestiúhelníku je dána šestinásobkem rovnostranný trojúhelníkový prostor.

Všimněte si však, že v hranolu máme dva šestiúhelníky, takže základní plocha je dvakrát větší než plocha mnohoúhelníku.

Výpočet celkové plochy

THE celková plocha (A_T) hranolu je dána součtem boční plochy (THE_L) se základní plochou (THE_B).

THE_T = A_L + A_B

• Příklad

Vypočítejte celkovou plochu pravidelného šestihranného hranolu se základní hranou rovnou 3 cm a výškou rovnou 11 cm.

Z předchozích příkladů máme to A_L = 198 cm² a_B = 27√3 cm². Celková plocha je tedy dána vztahem:

Cvičení vyřešena

Otázka 1 - Bouda má tvar hranolu založeného na lichoběžníku, jak je znázorněno na obrázku.

Chcete malovat tento přístřešek a je známo, že cena barvy je 20 reaisů za metr čtvereční. Kolik bude stát malování této boudy? (Dáno: √2 = 1,4)

Řešení

Nejprve určíme oblast kůlny. Jeho základnou je hrazda, takže:

Základní plocha je tedy:

THE_B = 2 · A_trapéz

THE_B = 2 ·10

THE_B = 20 m²

Boční oblast v červené barvě je obdélník a my máme spodní část, takže tato oblast je:

THE_PROTI = 2 · 4· 14

THE_PROTI= 112 m²

Oblast v modré barvě je také obdélník, ale nemáme její základnu. Za použití Pythagorova věta v trojúhelníku tvořeném lichoběžníkem máme:

X² = 2² + 2²

X² = 8

x = 2√2

Takže oblast obdélníku v modré barvě je:

THE_THE = 2 ·14·2√2

THE_THE = 54√2 m²

Proto se boční plocha hranolu rovná:

THE_L = 112 + 54√2

THE_L = 112 + 75,6

THE_L = 187,6 m²

Celková plocha tohoto hranolu je tedy:

THE_T= 20 + 187,6

THE_T= 207,6 m²

Vzhledem k tomu, že cena barvy je 20 real za metr čtvereční, částka vynaložená na malování kůlny je:

20 207,6 = 4 152 reais

Odpověď: Částka vynaložená na malování kůlny je 4 152,00 R $

Robson Luiz
Učitel matematiky

Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calculo-area-um-prisma.htm