Cvičení na komplexní číslo: Seznam vyřešených otázek a zpětné vazby

Vy komplexní čísla umožňují řešit matematické úlohy, které nemají řešení v množině reálná čísla.

V komplexním čísle napsaném jako $\ dpi {120} z = a + bi$ , říkáme to $\ dpi {120} až$ je skutečná část, $\ dpi {120} b$ je imaginární částí a $\ dpi {120} i = \ sqrt {-1}$ je to imaginární jednotka.

Vystupovat operace se složitými čísly, existují některé výrazy, které usnadňují výpočty. Zvážit $\ dpi {120} z_1 = a + bi$ a $\ dpi {120} z_2 = c + di$ .

Sčítací výraz mezi komplexními čísly:

$\ dpi {120} z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d) i$

Vyjádření odčítání mezi komplexními čísly:

$\ dpi {120} z_1 - z_2 = (a-c) + (b - d) i$

Vyjádření násobení mezi komplexními čísly:

$\ dpi {120} z_1 \ cdot z_2 = (ac - db) + (ad + cb) i$

Vyjádření rozdělení mezi komplexními čísly:

$\ dpi {120} \ frac {z_1} {z_2} = \ frac {(ac + bd)} {c ^ 2 + d ^ 2} + \ frac {(bc - reklama)} {c ^ 2 + d ^ 2 } i$

Níže je uveden seznam otázky řešené cvičeními na komplexních číslech. Naučte se používat každý z konceptů zahrnujících tato čísla!

Index

Seznam cvičení na komplexních číslech
Řešení otázky 1
Řešení otázky 2
Řešení otázky 3
Řešení otázky 4
Řešení otázky 5
Řešení otázky 6
Řešení otázky 7
Řešení otázky 8

Seznam cvičení na komplexních číslech

Otázka 1. Vzhledem ke složitým číslům $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ , $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ a $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ určit hodnotu $\ dpi {120} A$ , Když $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Otázka 2. Najděte hodnoty $\ dpi {120} x$ a $\ dpi {120} r$ takhle $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Otázka 3. Vzhledem ke složitým číslům $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ a $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ , určit hodnotu $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Když $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ a $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

Otázka 4. Vypočítejte hodnotu $\ dpi {120} str$ a $\ dpi {120} q$ proč $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Když $\ dpi {120} z_1 = 3 - pí$ a $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

instagram story viewer

Otázka 5. Určete hodnotu $\ dpi {120} až$ proč $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ být čisté imaginární číslo.

Otázka 6. Vypočítejte následující imaginární jednotkové síly $\ dpi {120} i$ :

The) $\ dpi {120} i ^ {16}$
B) $\ dpi {120} i ^ {200}$
C) $\ dpi {120} i ^ {829}$
d) $\ dpi {120} i ^ {11475}$

Otázka 7. Najděte řešení rovnice $\ dpi {120} x ^ 2 + 9 = 0$ v množině komplexních čísel.

Otázka 8. Určete řešení rovnice $\ dpi {120} x ^ 2 + x + 1 = 0$ v množině komplexních čísel.

Řešení otázky 1

My máme $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ a $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ a $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ a chceme určit hodnotu $\ dpi {120} A$ , Když $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Nejprve spočítáme $\ dpi {120} 4z_3$ a $\ dpi {120} 3z_1$ , samostatně:

$\ dpi {120} 4z_3 = 4. (- 1 + 4i) = -4 + 16i$

$\ dpi {120} 3z_1 = 3. (2 + 3i) = 6 + 9i$

Teď pojďme vypočítat $\ dpi {120} A$ :

$\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2 - 5i) + (- 4 + 16i) - (6 + 9i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2-4-6) + (-5 + 16-9) i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = -8 + 2i$

Řešení otázky 2

Chceme najít xay tak $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Vyjádřením součtu mezi dvěma komplexními čísly musíme:

$\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow (2 + y) + (x-5) i = 3-i$

Takže musíme $\ dpi {120} (2 + y) = 3$ a $\ dpi {120} (x-5) i = -i$ . Vyřešme tyto dvě rovnice, abychom našli x a y.

$\ dpi {120} (2 + y) = 3 \ Rightarrow y = 3-2 \ Rightarrow y = 1$

$\ dpi {120} (x-5) i = -i \ Rightarrow x- 5 = -1 \ Rightarrow x = -1 + 5 \ Rightarrow x = 4$

Řešení otázky 3

My máme $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ a $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ a chceme určit hodnotu $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Když $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ a $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

Nejprve spočítáme $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ .

$\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (-2 - 5i) \ cdot (-2 + 5i)$

Vyjádřením násobení mezi dvěma komplexními čísly musíme:

$\ dpi {120} A = [(- 2) \ cdot (-2) - (- 5) \ cdot 5] + [(- 2) \ cdot 5 + (-5) \ cdot (-2)]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = [4 +25] + [- 10 +10]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = 29$

Teď pojďme vypočítat $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

$\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = (1 + 3i) \ cdot (1-3i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 \ cdot 1-3 \ cdot (-3)] + [1 \ cdot (-3) +1 \ cdot 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 + 9] + [- 3 + 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = 10$

Proto, $\ dpi {120} A \ cdot B = 29 \ cdot 10 = 290$ .

Řešení otázky 4

Chceme vypočítat hodnotu $\ dpi {120} str$ a $\ dpi {120} q$ proč $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Když $\ dpi {120} z_1 = 3 - pí$ a $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Znamená to najít $\ dpi {120} str$ a $\ dpi {120} q$ aby:

Podívejte se na některé bezplatné kurzy

Bezplatný online kurz inkluzivního vzdělávání
Zdarma online knihovna hraček a výukové kurzy
Bezplatný online kurz matematických her ve vzdělávání v raném dětství
Bezplatný online kurz Pedagogické kulturní workshopy

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = q + 2i$

Vyjádřením rozdělení mezi dvěma komplexními čísly musíme:

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = \ frac {[3 \ cdot 1 + (- p) \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ frac {[ (-p) \ cdot 1-3 \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} i = \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i$

Spojíme-li tyto dvě podmínky, musíme mít:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i = q + 2i$

Tj:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q \: \: \ mathrm {e} \: \: \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

Vyřešme každou z těchto rovnic, počínaje druhou, která závisí pouze na p.

$\ dpi {120} \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {(- p-6)} {5} = 2$

$\ dpi {120} \ Rightarrow -p - 6 = 10$

$\ dpi {120} \ Rightarrow p = -16$

Nyní najdeme q druhou rovnicí:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {3 - 2 \ cdot (-16)} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow q = 7$

Řešení otázky 5

Chceme najít hodnotu $\ dpi {120} až$ proč $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ být čisté imaginární číslo.

Čisté imaginární číslo je číslo, jehož skutečná část se rovná nule.

Vzhledem k výrazu rozdělení mezi dvěma komplexními čísly máme toto:

$\ dpi {120} \ frac {a + 3i} {3 + 2i} = \ frac {a \ cdot 3 + 3 \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} + \ frac {3 \ cdot 3 - a \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} i = \ frac {3a + 6} {13} + \ frac {9-2a} {13} i$

Aby toto číslo bylo čistě imaginární, musíme mít:

$\ dpi {120} \ frac {3a + 6} {13} = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow 3a + 6 = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow a = -2$

Řešení otázky 6

Definováním mocnin a komplexních čísel musíme:

$\ dpi {120} i ^ 0 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 1 = i$
$\ dpi {120} i ^ 2 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 3 = -i$
$\ dpi {120} i ^ 4 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 5 = i$
$\ dpi {120} i ^ 6 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 7 = -i$

Sledujte vzorec, který se opakuje každé čtyři po sobě jdoucí síly: 1, i, -1 a -i.

Chcete-li tedy najít výsledek při jakékoli mocnině i, stačí vydělit exponent 4. Zbývající část dělení bude 0, 1, 2 nebo 3 a tato hodnota bude exponentem, který bychom měli použít.

The) $\ dpi {120} i ^ {16}$

16: 4 = 4 a zbytek je 0.

Pak, $\ dpi {120} i ^ {16} = i ^ 0 = 1$ .