Trigonometrické funkce polovičního oblouku

Na trigonometrické funkce, sinus, kosinus a tangens, poloviny oblouku lze získat z trigonometrických funkcí dvojitého oblouku.

Vzhledem k oblouku míry $\ dpi {120} \ alfa$ , dvojitý luk je luk $\ dpi {120} 2 \ alfa$ a poloviční luk je luk $\ dpi {120} \ alfa / 2$ .

Podle dva vzorce pro přidání oblouku, máme trigonometrické funkce dvojitého oblouku:

Sinus:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen (2 {\ alpha}) = sen ({\ alpha + \ alpha}) = sin \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} + sin \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {sen (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = 2. (sen \, \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \, \ boldsymbol {\ alpha})}$

kosinus:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ({\ alpha + \ alpha}) = cos \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} - sin \, {\ alpha} \ cdot sin \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {cos (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = cos ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha} - sen ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha}}$

Tečna:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (2 {\ alpha}) = tan ({\ alpha + \ alpha}) = \ frac {tan \, {\ alpha} + tan \, {\ alpha}} {1 - tan \, {\ alpha} \ cdot tan \, {\ alpha}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {tan (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = \ frac {2 \ cdot tan \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 - tan ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alfa }}}$

Z těchto vzorců si ukážeme vzorce poloviční obloukové trigonometrické funkce.

Trigonometrické funkce polovičního oblouku

Jeden z základní vztahy trigonometrie je to:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} + cos ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} = 1}$

Odkud pocházíme:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$

$\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$

výměna $\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$ ve vzorci kosinu dvojitého oblouku musíme:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = cos ^ 2 \, {\ alpha} - (1 - cos ^ 2 \, {\ alpha})}$

Podívejte se na některé bezplatné kurzy

Bezplatný online kurz inkluzivního vzdělávání
Zdarma online knihovna hraček a výukové kurzy
Bezplatný online kurz matematických her ve vzdělávání v raném dětství
Bezplatný online kurz Pedagogické kulturní workshopy

$\ dpi {120} \ mathrm {= 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

Proto: $\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {cos ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1 + cos (2 \ alpha)} {2}}$

výměna $\ dpi {120} \ alfa$ za $\ dpi {120} \ alfa / 2$ ve výše uvedeném vzorci a extrahováním druhé odmocniny na obou stranách máme vzorec pro kosinus poloviny oblouku:

$\ dpi {120} \ mathbf {cos \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Poznámka: Znaménko ve vzorci bude kladné nebo záporné podle kvadrantu poloviny oblouku.

Nyní nahrazuje $\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$ ve vzorci kosinu dvojitého oblouku musíme:

instagram story viewer

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = (1 -sen ^ 2 \, {\ alpha}) - sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {= 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

Proto:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {sen ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1-cos (2 \ alpha)} {2}}$

výměna $\ dpi {120} \ alfa$ za $\ dpi {120} \ alfa / 2$ ve výše uvedeném vzorci a extrahováním druhé odmocniny na obou stranách máme vzorec pro sinusová polovina oblouku:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1-cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Poznámka: Znaménko ve vzorci bude kladné nebo záporné podle kvadrantu poloviny oblouku.

Nakonec můžeme získat tangens poloviny oblouku dělením sinusu poloviny oblouku kosinem poloviny oblouku:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (\ alpha / 2) = \ frac {sen (\ alpha / 2)} {cos (\ alpha / 2)} = \ frac {\ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {2}}} {\ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ alpha} {2}}} = \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {1 + cos \, \ alpha}}}$

Proto vzorec tečna polovičního oblouku é:

$\ dpi {120} \ mathbf {tan (\ boldsymbol {\ alpha} / 2) = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alfa}}}}$

Poznámka: Znaménko ve vzorci bude kladné nebo záporné podle kvadrantu poloviny oblouku.

Také by vás mohlo zajímat:

trigonometrický kruh
trigonometrická tabulka
Trigonometrické poměry
hříchový zákon
kosinový zákon

Heslo bylo zasláno na váš e-mail.

Trigonometrické funkce polovičního oblouku

Trigonometrické funkce polovičního oblouku

Jak napsat zprávu k narozeninám

13 nejlepších básní Olavo Bilac

Evropské země a jejich hlavní města