Říkáme, že přirozené číslo je dokonalé, pokud se rovná součtu všech jeho faktorů (dělitelů), kromě sebe. Například 6 a 28 jsou dokonalá čísla, viz:
6 = 1 + 2 + 3 (faktory 6: 1, 2, 3 a 6), číslo 6 vylučujeme.
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (faktory 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28), 28 vylučujeme.
Mersennova čísla jsou čísla ve tvaru Mn = 2n - 1. Dokonce si myslel, že tento výraz bude schopen vypočítat možná prvočísla s ohledem na n = prvočísla, ale později se ukázalo, že měl téměř pravdu. Například:
M1 = 21 – 1 = 1
M2 = 22 - 1 = 3 → n = 2 (bratranec), M2 = 3 (bratranec)
M3 = 23 - 1 = 7 → n = 3 (bratranec), M3 = 7 (bratranec)
M4 = 24 – 1 = 15
M5 = 25 - 1 = 31 → n = 5 (bratranec), M5 = 31 (bratranec)
M6 = 26 – 1 = 63
M7 = 27 - 1 = 127 → n = 7 (bratranec), M7 = 127 (bratranec)
M8 = 28 – 1 = 255
M9 = 29 – 1 = 511
M10 = 210 – 1 = 1023
M11 = 211 - 1 = 2047 → n = 11 (bratranec), M11 = 2047 (není prime)
M13 = 213 - 1 = 8191 → n = 13 (bratranec), M13 = 8191 (bratranec)
V posloupnosti prvočísel existují prvky, které se ve vzorci Mersenne nevygenerují prvočísla, například číslo 11, při použití vzorce vzorec 2047, číslo ne bratranec.
Znalost dokonalých čísel se připisuje Euklidovi, slavnému řeckému matematikovi, který založil Geometry. Metoda, kterou používá, začíná 1 přidáním sil 2 k prvočíslu. Dokonalé číslo se pak získá vynásobením součtu poslední sílou 2.
Všimněte si vztahu mezi dokonalým číslem a Mersennovými prvočísly.
Mark Noah
Vystudoval matematiku
Tým brazilské školy
Numerické množiny - Matematika - Brazilská škola
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/mersenne-numeros-primos-numeros-perfeitos.htm