THE Charakterizuje se rovnice 2. stupně pro jednoho polynomiální stupně 2, tj. polynom typu axe2+ bx + c, kde The, B a C oni jsou reálná čísla. Při řešení rovnice stupně 2 nás zajímá zjištění hodnot pro neznámé. X což činí hodnotu výrazu rovnou 0, které se nazývají kořeny, to znamená osa2 + bx + c = 0.
Přečtěte si také: Rozdíly mezi funkcí a rovnicí
Typy rovnic 2. stupně
Rovnice 2. stupně může být představované ax² + bx + c = 0kde jsou koeficienty The, B a C jsou reálná čísla, s The ≠ 0.
→ Příklady
a) 2x2 + 4x - 6 = 0 → a = 2; b = 4 a c = - 6
b) x2 - 5x + 2 = 0 → a = 1; b = - 5 a c = 2
c) 0,5x2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 a c = -1
Rovnice 2. stupně je klasifikována jako kompletní když jsou všechny koeficienty odlišné od 0, to znamená, The ≠ 0, B ≠ 0 a C ≠ 0.
Rovnice 2. stupně je klasifikována jako neúplný když je hodnota koeficientů B nebo C jsou rovny 0, tj. b = 0 nebo c = 0.
→ Příklady
a) 2x2 - 4 = 0 → a = 2; b = 0 a c = - 4
b) -x2 + 3x = 0 → a = - 1; b = 3 a c = 0
c) x2 = 0 → a = 1; b = 0 a c = 0
Hlavy vzhůru: hodnota koeficientu The nikdy se nerovná 0, pokud k tomu dojde, rovnice již není 2. stupně.
Jak řešit rovnice 2. stupně?
Řešení rovnice 2. stupně nastane, když kořeny jsou nalezeny, tj. hodnoty přiřazené X. Tyto hodnoty X musí rovnost učinit pravdivou, tj. nahrazením hodnoty X ve výrazu musí být výsledek roven 0.
→ Příklad
Vzhledem k rovnici x2 - 1 = 0 máme, že x ’= 1 a x’ ’= - 1 jsou řešení rovnice, protože dosazením těchto hodnot do výrazu máme skutečnou rovnost. Dívej se:
X2 – 1 = 0
(1)2 - 1 = 0 a (–1)2 – 1 = 0
Chcete-li najít řešení a rovnice, je nutné analyzovat, zda je rovnice úplná a neúplná, a vybrat, která metoda bude použita.
Metoda řešení pro rovnice typu ax²+ c = 0
Metoda k určení řešení neúplných rovnic, které mají B=0spočívá v izolaci neznámého X, tím pádem:
→ Příklad
Najděte kořeny rovnice 3x2 – 27 = 0.
Pokud se chcete o této metodě dozvědět více, přejděte na: 2. stupeň neúplné rovnice s nulovým koeficientem b.
Metoda řešení pro rovnice typu sekera2 + bx = 0
Metoda pro stanovení možných řešení rovnice s C = 0, spočívá v použití důkazní factoring. Dívej se:
sekera2 + bx = 0
x · (ax + b) = 0
Při pohledu na poslední rovnost je patrné, že existuje násobení a že aby byl výsledek 0, je nutné, aby alespoň jeden z faktorů byl roven 0.
x · (ax + b) = 0
x = 0 nebo ax + b = 0
Řešení rovnice je tedy dáno vztahem:
→ Příklad
Určete řešení rovnice 5x2 - 45x = 0
Pokud se chcete o této metodě dozvědět více, přejděte na: neúplná rovnice 2. stupně s nulovým koeficientem c.
Metoda řešení pro úplné rovnice
Metoda známá jako Bhaskarova metoda nebo Bhaskara vzorec poukazuje na to, že kořeny rovnice 2. stupně typu ax2 + bx + c = 0 je dáno následujícím vztahem:
→ Příklad
Určete řešení rovnice X2 - x - 12 = 0.
Všimněte si, že koeficienty v rovnici jsou: a = 1; B= - 1 a C = – 12. Dosazením těchto hodnot do Bhaskarova vzorce máme:
Delta (Δ) je pojmenována po diskriminující a všimněte si, že je uvnitř a odmocnina a jak víme, bereme-li v úvahu reálná čísla, není možné získat druhou odmocninu ze záporného čísla.
Známe-li hodnotu diskriminátoru, můžeme učinit několik prohlášení o řešení rovnice 2. stupně:
→ pozitivní diskriminátor (Δ> 0): dvě řešení rovnice;
→ diskriminátor rovný nule (Δ = 0): řešení rovnice se opakují;
→ negativní diskriminační (Δ <0): nepřipouští skutečné řešení.
Systémy rovnic druhého stupně
Když současně uvažujeme dvě nebo více rovnic, máme a soustava rovnic. Řešení systému se 2 proměnnými je sada objednaných párů který současně splňuje všechny zúčastněné rovnice.
→ Příklad
Zvažte systém:
S hodnotami: x ‘= 2, x’ ’= - 2 a y’ = 2, y ’’ = - 2 můžeme sestavit uspořádané páry, které splňují systémové rovnice současně. Viz: (2, 2), (2, - 2), (- 2, 2), (- 2, - 2).
Připomeňme, že objednaný pár je zapsán ve tvaru (x, y).
Metody pro nalezení řešení soustavy rovnic jsou podobné metodě lineární systémy.
→ Příklad
Zvažte systém:
Z rovnice x - y = 0 izolujme neznámé X, tím pádem:
x - y = 0
x = y
Nyní musíme izolovanou hodnotu nahradit jinou rovnicí, například takto:
X2 - x –12 = 0
y2 - y –12 = 0
Pomocí Bhaskarovy metody musíme:
Protože x = y, budeme mít x ‘= y’ a x ’’ = y ’’. Tj:
x ‘= 4
x ‘“ = -3
Uspořádané páry jsou tedy řešením systému (4, 4) a (- 3, - 3).
Přečtěte si více: Systém rovnic 1. a 2. stupně
vyřešená cvičení
Otázka 1 - (ESPM -SP) Řešení níže uvedené rovnice jsou dvě čísla
a) bratranci.
b) pozitivní.
c) negativní.
d) páry.
e) zvláštní.
Řešení
Víme, že jmenovatelé zlomku se nemohou rovnat nule, takže x ≠ 1 a x ≠ 3. A protože máme rovnost zlomků, můžeme se množit křížením a získat:
(x + 3) · (x + 3) = (x - 1) · (3x +1)
X2 + 6x +9 = 3x2 - 2x - 1
X2 - 3x2 + 6x + 2x +9 +1 = 0
(– 1) - 2x2 + 8x +10 = 0 (– 1)
2x2 - 8x - 10 = 0
Vydělíme-li obě strany rovnice 2, máme:
X2 - 4x - 5 = 0
Z Bhaskarova vzorce vyplývá, že:
Všimněte si, že kořeny rovnice jsou lichá čísla.
Alternativní e.
otázka 2 - (UFPI) Chovatel drůbeže zjistil, že po umístění (n +2) ptáků do každé z n dostupných voliér zůstane jen jeden pták. Celkový počet ptáků pro jakoukoli přirozenou hodnotu n je vždy
a) sudé číslo.
b) liché číslo.
c) dokonalý čtverec.
d) číslo dělitelné 3.
e) prvočíslo.
Řešení
Počet ptáků lze zjistit vynásobením počtu voliér počtem ptáků umístěných v každé z nich. z nich, prohlášením cvičení po provedení tohoto procesu ještě zbývá jeden pták, můžeme toto vše napsat v následujícím textu způsob:
n · (n + 2) +1
Provedením distribuce získáme:
Ne2 + 2n +1
Z faktorování tohoto polynomu vyplývá, že:
(n + 1)2
Celkový počet ptáků je tedy vždy dokonalým čtvercem pro jakékoli přirozené číslo n.
Alternativa C.
Robson Luiz
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau.htm
