Mnohostěn (z latiny poly - mnoho - a hedron - tvář) jsou číslatrojrozměrný vytvořený spojením pravidelných mnohoúhelníků, ve kterých jsou mnohostěnné úhly shodné. Spojení těchto polygonů tvoří prvky, které tvoří mnohostěn, jsou to: vrcholy, hrany a tváře. Avšak ne každá trojrozměrná postava je mnohostěn, příkladem jsou postavy, které mají zakřivené tváře kulatá těla.
Existuje matematický vzorec, který souvisí s prvky mnohostěnu zvaného Eulerův vztah. Mnohostěny jsou navíc rozděleny do dvou skupin: tzv. Mnohostěn konvexní a ne konvexní. Některé mnohostěny si zaslouží zvláštní pozornost, říká se jim Platónova mnohostěna: čtyřstěn, šestistěn, osmistěn, dvanáctistěn a dvacetistěnu.
Přečtěte si také: Rozdíly mezi plochými a prostorovými čísly
konvexní mnohostěn
Mnohostěn bude konvexní, když bude tvořen mnohoúhelníky konvexní, aby byly přijaty následující podmínky:
- dva z polygonů Nikdy jsou koplanární, to znamená, že nepatří do stejné roviny.
- Každá strana jednoho z těchto polygonů patří pouze dvěma polygonům.
- Rovina obsahující kterýkoli z těchto polygonů ponechává ostatní polygony ve stejném poloprostoru.
Přečtěte si také:Součet vnitřních a vnějších úhlů konvexního mnohoúhelníku
Prvky konvexního mnohostěnu
Zvažte tento konvexní mnohostěn:
Vy čtyřúhelníky na obrázku jsou volány tváře mnohostěnu.
Vy pětiúhelníky jsou tváře a základna mnohostěnu, který je pojmenován pětiúhelníková základna mnohostěn.
Segmenty, které tvoří každou z ploch, se nazývají hrany mnohostěnu.
Body, kde se hrany setkávají, se nazývají vrcholy.
Bude vyvolán segment čáry JC úhlopříčka mnohostěnu, označeno:
JC je jedna z úhlopříček, rozumíme úhlopříčka mnohostěn jako bytost úsečka, která spojuje dva vrcholy, které nepatří ke stejné ploše.
Nepřestávejte... Po reklamě je toho víc;)
Máme také mnohostěnný úhel, vytvořený mezi okraji, označený:
Mnohostěnný úhel se nazývá a trihedral Když tři hrany pocházejí z vrcholu. Podobně se tomu říká čtyřboká případ čtyři hrany pocházejí z vrcholu atd.
Od této chvíle zavedeme některé notace, které jsou:
Vědět více: Plánování geometrických těles
Vlastnosti konvexního mnohostěnu
Majetek 1
Součet hran všech ploch se rovná dvojnásobku počtu hran mnohostěnů.
Příklad
Mnohostěn má 6 hranatých ploch. Určíme počet hran.
Podle vlastnosti stačí vynásobit počet hran tváře počtem tváří, a to se rovná dvojnásobku počtu hran. Tím pádem:
Nemovitost 2
Součet vrcholů všech ploch se rovná součtu hran všech ploch, který se rovná dvojnásobku počtu hran.
Příklad
Mnohostěn s 5 čtyřstěnnými úhly a 4 šestiúhelníkovými úhly. Určíme počet hran.
Analogicky k předchozímu příkladu druhá vlastnost říká, že součet hran všech ploch je roven dvojnásobku počtu hran. Počet hran je dán součinem 5 o 4 a 4 o 6, protože jde o 5 čtyřboká a 4 hexahedrální úhly. Tím pádem:
Konkávní (nekonvexní) mnohostěn
Mnohostěn je nekonvexní nebo konkávní, když vezmeme dva body na odlišných plochách a na přímce r obsahující tyto body není vše obsažené v mnohostěnu.
Všimněte si, že přímka (modře) není v mnohostěnu úplná, takže mnohostěn (růžově) je konkávní nebo nekonvexní.
pravidelný mnohostěn
Říkáme, že mnohostěn je pravidelný, když vaše tváře jsou pravidelné polygony jsou si navzájem rovny a polyhedrální úhly stejné.
Podívejte se na několik příkladů:
Všimněte si, že všechny vaše tváře jsou pravidelné mnohoúhelníky. Jeho tváře jsou tvořeny čtverci a hrany jsou shodné, to znamená, že mají stejnou míru.
čísttaky: Co jsou to pravidelné a konvexní polygony?
Eulerův vztah
Také známý jako Eulerova věta, výsledek prokázal Leonhard Euler (1707 - 1783) a zaručuje, že v r celý uzavřený konvexní mnohostěn následující vztah je platný:
Platónova mnohostěna
Jakýkoli mnohostěn, který splňuje následující podmínky, se nazývá Platónův mnohostěn:
Eulerův vztah je platný
Všechny tváře mají stejný počet hran
Všechny mnohostěnné úhly mají stejný počet hran
Je dokázáno, že existuje pouze pět pravidelných a konvexních mnohostěnů nebo Platónových mnohostěnů:
pravidelný čtyřstěn
čtyřstěn má 4 trojúhelníkové plochy shodné a 4 trihedrální úhly shodný.
pravidelný šestistěn
šestistěn má 6 čtvercových ploch shodné a 8 trihedrálních úhlů shodný.
pravidelný osmistěn
osmistěn má 8 trojúhelníkových ploch shodné a 6 čtyřbokých úhlů shodný.
pravidelný dvanáctistěn
dvanáctistěn má 12 pětiúhelníkových ploch shodné a 20 úhlůtrihedral shodný.
pravidelný dvacetistěn
Dvacetistěn má 20 trojúhelníkových ploch shodné a 12 pentahedrálních úhlů shodný.
vyřešená cvičení
1) (Enem) Klenot byl vyřezán ve formě konvexního mnohostěnu s 32 tvářemi, z nichž 20 je hexahedra a zbytek je pětiúhelník. Tento klenot bude dárkem pro dámu, která slaví své narozeniny a završuje věk, jehož počet je počet vrcholů tohoto mnohostěnu. Tato dáma dokončuje:
a) 90 let
b) 72 let
c) 60 let
d) 56 let
e) 52 let
Řešení:
Dává vlastnost 1 konvexních mnohostěnů víme, že:
Teď jak známe počet hran to je počet tváří, můžeme použít Eulerův vztah.
Jelikož věk, který dokončujete, se rovná počtu vrcholů, je to 60 let. Alternativní c.
2) (PUC-SP) Kolik hran má konvexní mnohostěn s trojúhelníkovými plochami, kde je počet vrcholů tři pětiny počtu ploch?
a) 60
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
Řešení:
Z vlastností konvexního mnohostěnu a prohlášení o cvičení máme:
Nahrazením těchto hodnot ve vztahu Euler máme následující:
Z organizace předchozí rovnice a řešení rovnice v F vyplývá, že:
Dosazením hodnoty počtu ploch nalezených v rovnici hran budeme mít:
Alternativa b
Robson Luiz
Učitel matematiky
Chcete odkazovat na tento text ve školní nebo akademické práci? Dívej se:
LUIZ, Robsone. „Mnohostěn“; Brazilská škola. K dispozici v: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/poliedros.htm. Přístup 27. června 2021.
