To je známé jako racionální číslo každé číslo může být reprezentován jako neredukovatelný zlomek. V průběhu dějin lidstva se myšlenka počtu postupně vyvíjela v souladu s lidskými potřebami. Například reprezentace čísel ve zlomcích řešila problémy, které byly řešeny pouze pomocí celá čísla.
Racionální číslo lze vyjádřit zlomkem, takže existují metody pro transformaci celých čísel, desetinná čísla přesná a periodická desetinná místa ve zlomcích.
Přečtěte si také: Operace s frakcemi - jak řešit?
Co jsou to racionální čísla?
Racionální čísla jsou rozšíření množiny celých čísel, pak byly přidány kromě celých čísel všechny zlomky. Ó soubor racionálních čísel je reprezentováno:
Toto vyjádření říká, že číslo je racionální, pokud ho lze vyjádřit jako zlomek The o B, takový, že The je celé číslo a B je nenulové celé číslo. Pokud však máme racionální čísla definovat méně důsledně, můžeme říci následující:
Racionální čísla jsou všechna čísla, která lze reprezentovat jako zlomek. |
Seznamte se s touto definicí:
vy celá číslas, například: -10, 7, 0;
vy přesná desetinná čísla, například: 1,25; 0,1; 3,1415;
na jednoduché periodické desátky, například: 1.424242…;
na složené periodické desátky, například: 1,0288888…
Ne jsou racionální čísla:
Na neperiodické desátky, například: 4,1239489201…;
Na kořenynení přesné, například:
;- THE žábaiz čtverec z záporná čísla, například:
.
Pozorování: Existence neracionálních čísel způsobí vznik dalších sad, například iracionálních čísel a komplexní čísla.
Nepřestávejte... Po reklamě je toho víc;)
Reprezentace racionálních čísel
Pochopení, že zlomek je a divize ze dvou celých čísel, aby to bylo racionální číslo, je možné toto číslo představovat jako zlomek. Proto každý z výše uvedených případů jako racionální čísla (celá čísla, přesná desetinná místa a periodická desetinná místa) lze reprezentovat jako zlomek.
celá čísla
Existuje nekonečné možnosti reprezentace celého čísla jako zlomku, protože zlomek může být reprezentován v neredukovatelné formě nebo ne.
Příklady:
přesná desetinná místa
Chcete-li změnit přesné desetinné číslo na a zlomek, spočítáme počet čísel v jeho desetinné části, to znamená za desetinnou čárkou. Pokud je za čárkou číslo, zapíšeme celočíselnou část plus desetinnou část bez čárky nad 10. Pokud jsou v desítkové části dvě čísla nad 100, bude v praxi množství čísel v desítkové části množství nul, které máme ve jmenovateli. Viz příklad:
periodické desátky
Nalezení zlomkové reprezentace desátku není vždy snadný úkol, čemu říkáme generující zlomek. Pro usnadnění této práce bylo pozorováno, že v rovnici, kterou jsme použili k nalezení generující frakce, existují zákonitosti, které umožňovaly vývoj praktické metody.
Nejprve musíme pochopit, že existují dva typy periodických desátků, jednoduché a složené. Jeden desátek je jednoduchý pokud je v jeho desetinné části pouze část, která se opakuje, tj. tečka. Jeden desátek je sloučenina pokud je v jeho desítkové části neperiodická část.
Příklad:
9,323232… → jednoduché periodické desetinné místo
Celočíselná část se rovná 9.
Období se rovná 32.
8,7151515… → složený periodický desátek
Celočíselná část se rovná 8.
Neperiodická desetinná část se rovná 7.
Období se rovná 15.
Podívejte se také: Ekvivalentní zlomky - zlomky, které představují stejné množství
→ 1. případ: generování zlomku jednoduchého periodického desetinného místa
V prvním případě do přeměňte jednoduché periodické desetinné místo na zlomek praktickou metodou stačí do čitatele napsat celou část plus tečku bez čárky. Ve jmenovateli přidáme pro každý prvek v periodické části 9.
Příklad:
Generující zlomek 9.323232…, jak jsme viděli, má období rovné 32, tj. Dvě čísla v jeho období, takže jmenovatel je 99. Celočíselná část plus periodická část bez čárky je 932, což je čitatel. Takže generující zlomek této desátky je:
→ 2. případ: generování zlomku složeného periodického desetinného místa
Periodický složený desátek je trochu pracnější. Najdeme generující zlomek desátku, na kterém jsme pracovali v příkladu.
8,7151515… → složené periodické desetinné číslo.
Celočíselná část se rovná 8.
Neperiodická desetinná část se rovná 7.
Desetinná část období se rovná 15.
Čitatelem bude odčítání 8715 - 87, tedy rozdíl mezi počtem, který přechází z celé části na periodickou část s neopakující se částí desátku.
Čitatel bude roven 8715 - 87 = 8628.
Chcete-li najít jmenovatele, analyzujme desetinnou část. Nejprve se podívejme na neperiodickou a periodickou desetinnou část. V tomto případě je desetinná část čísla 715. Pro každé číslo, které je v periodické části, přidejme a 9 na začátku jmenovatele. Protože periodická část má v tomto případě dvě čísla (15), budou ve jmenovateli dvě 9s. Pro každé číslo v desetinné části, které není periodické, přidáme a 0 na konci jmenovatele, který bude 990.
Brzy se generující zlomek desátku bude:
Vlastnosti racionálních čísel
Mezi dvěma racionálními čísly bude vždy existovat další racionální číslo
Je zajímavé přemýšlet o tom, že se tato vlastnost, o níž starověké národy hodně diskutovaly, stala paradoxem. Při výběru dvou racionálních čísel bude vždy mezi nimi číslo.
Příklad:
Mezi 1 a 2 je 1,5; mezi 1 a 1,5 je 1,25; mezi 1 a 1,25 je 1,125 atd. I když si vyberu dvě racionální čísla s velmi malým rozdílem mezi nimi, vždy je možné najít racionální číslo mezi nimi. Tato vlastnost dělá nelze racionálně určit nástupce a předchůdce.
Čtyři operace na množině racionálních čísel jsou uzavřeny
Říkáme, že sada je pro součetnapříklad pokud součet dvou racionálních čísel vždy vygeneruje jako odpověď další racionální číslo. To se děje se čtyřmi operacemi na Q.
THE sčítání, odčítání, dělení a násobení mezi dvěma racionálními čísly bude vždy mít za následek racionální číslo. Ve skutečnosti dokonce potenciace racionálního čísla vždy vygeneruje racionální číslo jako odpověď.
Sada racionálních čísel není uzavřen do záření. Tím pádem, mprotože 2 je racionální číslo, druhá odmocnina z 2 je a iracionální číslo.
Podívejte se také: Ekvivalentní zlomky - zlomky, které představují stejné množství
Podmnožiny racionálních čísel
Víme jak podmnožiny nebo inkluzní vztah množiny tvořené prvky, které patří do množiny racionálních čísel. Existuje několik možných podmnožin, jako množina celých čísel nebo přírodní, protože každé celé číslo je racionální, stejně jako každé přirozené číslo je racionální.
Příklad:
Sada celých čísel: Z = {… -3, -2, -1, 0,1, 2, 3,…}.
Když se to stane, řekneme to Z ⸦ Q (Přečte: Z je obsažen v Q nebo množina celých čísel je obsažena v množině racionálních čísel.)
Existuje několik symbolů, které jsou nezbytné pro vytváření podmnožin Q, jsou to: +, - a *, což znamená pozitivní, negativní a nenulové.
Příklady:
Q * → (čte: sada nenulových racionálních čísel.)
Q+ → (čte: sada kladných racionálních čísel.)
Q- → (čte: sada záporných racionálních čísel.)
Q*+ → (čte: sada kladných a nenulových racionálních čísel.)
Q*- → (čte: sada záporných a nenulových racionálních čísel.)
Všimněte si, že všechny tyto sady jsou podmnožinami Q, protože všechny prvky patří do sady racionálních čísel. Kromě prezentovaných množin můžeme pracovat s několika podmnožinami v Q, jako je množina tvořená lichými čísly, nebo bratranci, nebo páry, konečně existuje několik a několik možností podmnožin.
Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky
