Víme jak polynomiální výraz, který označuje algebraický součet monomiálů, které nejsou podobné, tj. polynom je jeden algebraický výraz mezi monomials. Monomium je algebraický výraz, který má koeficient a doslovnou část.
Pokud jsou mezi polynomy podobné výrazy, je možné provést snížení jeho podmínek při sčítání a odčítání dvou polynomů. Je také možné znásobit dva polynomy prostřednictvím distribuční vlastnosti. Dělení se provádí metodou klíčů.
Přečtěte si také: Polynomiální rovnice - Rovnice charakterizovaná polynomem rovným 0
Co jsou monomie?
Abychom pochopili, co je to polynom, je důležité nejprve pochopit význam monomia. Algebraický výraz je znám jako monomium, pokud má čísla a písmena a jejich exponenty oddělené pouze násobením. Číslo se označuje jako koeficient a písmena a jejich exponenty se označují jako doslovná část.
Příklady:
2x² → 2 je koeficient; x² je doslovná část.
√5ax → √5 je koeficient; sekera je doslovná část.
b³yz² → 1 je koeficient; b³yz² je doslovná část.
Nepřestávejte... Po reklamě je toho víc;)
Co je to polynom?
Polynom není nic víc než algebraický součet monomiálů, to znamená, že se jedná o více monomiálů oddělených sčítáním nebo odčítáním od sebe navzájem.
Příklady:
ax² + o + 3
5c³d - 4ab + 3c²
-2ab + b - 3xa
Obecně řečeno, polynom může mít několik termínů, je reprezentován algebraicky:
TheNeXNe +(n-1) X(n-1) +... +2x² + a1x + a
Podívejte se také: Jaké jsou třídy polynomů?
stupeň polynomu
Abychom zjistili stupeň polynomu, rozdělíme ho na dva případy, kdy má jednu proměnnou a má více proměnných. Stupeň polynomu je dán vztahem stupeň největší z jeho monomiálů v obou případech.
Je celkem běžné pracovat s polynomem, který má pouze jednu proměnnou. Když k tomu dojde, Ó větší monomium stupeň což označuje stupeň polynomu se rovná největšímu exponentu proměnné:
Příklady:
Jednotlivé proměnné polynomy
a) 2x² - 3x³ + 5x - 4 → všimněte si, že proměnná je x a největší exponent, který má, je 3, jedná se tedy o polynom stupně 3.
b) 2r5 + 4y² - 2y + 8 → proměnná je y a největší exponent je 5, jedná se tedy o polynom stupně 5.
Pokud má polynom v monomii více než jednu proměnnou, je nutné najít stupeň tohoto termínu přidat--li stupeň exponentů každé z proměnných. Míra polynomu se tedy v tomto případě stále rovná stupni největšího monomia, je však nutné dbát na přidání exponentů proměnných každého monomia.
Příklady:
a) 2xy + 4x²y³ - 5y4
Při analýze doslovné části každého semestru musíme:
xy → stupeň 2 (1 + 1)
x²y³ → stupeň 5 (2 + 3)
y³ → stupeň 3
Všimněte si, že největší člen má stupeň 5, takže se jedná o polynom 5. stupně.
b) 8a²b - ab + 2a²b²
Analýza doslovné části každého monomia:
a²b → stupeň 3 (2 + 1)
ab² → stupeň 2 (1 + 1)
a²b² → třída 4 (2 + 2)
Polynom má tedy stupeň 4.
Přidávání polynomů
Do sčítání mezi dvěma polynomy, provedeme redukce podobných monomiálů. Dva monomily jsou podobné, pokud mají stejné doslovné části. Když k tomu dojde, je možné polynom zjednodušit.
Příklad:
Nechť P (x) = 2x² + 4x + 3 a Q (x) = 4x² - 2x + 4. Najděte hodnotu P (x) + Q (x).
2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4
Hledání podobných výrazů (které mají stejné doslovné části):
2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4
Nyní přidáme podobné monomie:
(2 + 4) x² + (4-2) x + 3 + 4
6x² + 2x +7
Polynomiální odčítání
Odečítání se příliš neliší od sčítání. Důležitý detail je to nejprve musíme napsat opačný polynom než provedeme zjednodušení podobných pojmů.
Příklad:
Data: P (x) = 2x² + 4x + 3 a Q (x) = 4x² - 2x + 4. Vypočítejte P (x) - Q (x).
Polynom -Q (x) je opakem Q (x), abychom našli opak Q (x), stačí obrátit znaménko každého z jeho termínů, takže musíme:
-Q (x) = -4x² + 2x - 4
Poté vypočítáme:
P (x) + (-Q (x))
2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4
Zjednodušení podobných pojmů máme:
(2 - 4) x² + (4 + 2) x + (3 - 4)
-2x² + 6x + (-1)
-2x² + 6x - 1
Polynomiální násobení
Chcete-li provést násobení dvou polynomů, použijeme známé distribuční vlastnictví mezi dvěma polynomy, operující násobení monomiálů prvního polynomu těmi druhými.
Příklad:
Nechť P (x) = 2a² + b a Q (x) = a³ + 3ab + 4b². Vypočítejte P (x) · Q (x).
P (x) · Q (x)
(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)
Při použití distribučního majetku budeme mít:
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²
2. místo5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³
Nyní, pokud existují, můžeme podobné výrazy zjednodušit:
2. místo5 + 6a³b + 8a²b² + ab + 3ab² + 4b³
Všimněte si, že pouze podobné monomily jsou zvýrazněny oranžově, což zjednodušuje, že jako odpověď budeme mít následující polynom:
2. místo5 + (6 + 1) a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
2. místo5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
Také přístup: Jak udělat násobení algebraických zlomků?
polynomiální dělení
provést dělení polynomů může být docela pracné, používáme to, čemu se říká metoda klíčů, ale existuje několik metod. Dělení dvou polynomů je to možné, pouze pokud je stupeň dělitele menší. Vydělením polynomu P (x) polynomem D (x) hledáme polynom Q (x), který:
Podle algoritmu dělení tedy máme: P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).
P (x) → dividenda
D (x) → dělič
Q (x) → kvocient
R (x) → zbytek
Při provozu dělení je polynom P (x) dělitelný polynomem D (x), pokud je zbytek nulový.
Příklad:
Pojďme operovat dělením polynomu P (x) = 15x² + 11x + 2 polynomem D (x) = 3x + 1.
Chceme sdílet:
(15x² + 11x + 2): (3x + 1)
1. krok: rozdělili jsme první monomium z dividendy na první z dělitele:
15x²: 3x = 5x
2. krok: vynásobíme 5x · (3x + 1) = 15x² + 5x a odečteme výsledek P (x). Chcete-li provést odčítání, je nutné invertovat znaky výsledku násobení a najít polynom:
3. krok: provedeme dělení prvního členu výsledku odčítání prvním členem dělitele:
6x: 3x = 2
4. krok: takže máme (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.
Proto musíme:
Q (x) = 5x + 2
R (x) = 0
Přečtěte si také: Praktické zařízení Briot-Ruffini - rozdělení polynomů
vyřešená cvičení
Otázka 1 - Jaká musí být hodnota m, aby polynom P (x) = (m² - 9) x³ + (m + 3) x² + 5x + m měl stupeň 2?
A) 3
B) -3
C) ± 3
D) 9
E) -9
Řešení
Alternativa A
Aby P (x) měl stupeň 2, musí být koeficient x³ roven nule a koeficient x² musí být odlišný od nuly.
Uděláme tedy:
m² - 9 = 0
m² = 9
m = ± 9
m = ± 3
Na druhou stranu, máme m + 3 ≠ 0.
Takže, m ≠ -3.
Máme tedy jako řešení první rovnice m = 3 nebo m = -3, ale pro druhou máme m ≠ -3, takže jediné řešení, které způsobí, že P (x) bude mít stupeň 2, je: m = 3.
Otázka 2 - (IFMA 2017) Obvod obrázku lze zapsat polynomem:
A) 8x + 5
B) 8x + 3
C) 12 + 5
D) 12x + 10
E) 12x + 8
Řešení
Alternativa D
Z obrázku, když analyzujeme danou délku a šířku, víme, že obvod je součtem všech stran. Protože délka a výška jsou stejné, vynásobíme součet daných polynomů 2.
2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10
Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky
(Enem) Obdélníková textilní podšívka nese na štítku informaci, že se po prvním praní zmenší při zachování jeho tvaru. Následující obrázek ukazuje původní rozměry stropu a velikost smrštění (x) na délku a (y) na šířku. Algebraický výraz, který představuje plochu stropu po umytí, je (5 - x) (3 - y).
Za těchto podmínek bude ztracená plocha podšívky po prvním praní vyjádřena:
Vzhledem k polynomům p (x) = 2x³ + 3x² + 1 a q (x) = 3x² + 5x - 15 se součet p (-2) + q (2) rovná:
