Jeden rovnice je matematická věta, která má rovnost a alespoň jednu neznámou, tj. když máme zapojení a algebraický výraz a rovnost. Studium rovnic vyžaduje předchozí znalosti, jako je studium číselné výrazy. Účel rovnice je najít neznámou hodnotu která promění rovnost v identitu, tj. skutečnou rovnost.
Přečtěte si také:Operace se zlomky - jak vypočítat?
Základní koncepty pro studium rovnic
Rovnice je matematická věta, která má a neznámýpřinejmenším a rovnost, a můžeme ji řadit podle počtu neznámých. Podívejte se na několik příkladů:
a) 5t - 9 = 16
Rovnice má neznámou, kterou představuje písmeno t.
b) 5x + 6y = 1
Rovnice má dvě neznámé, představovaná písmeny X a y.
c) t4 - 8z = x
Rovnice má tři neznámé představované písmeny OK,z a X.
Bez ohledu na rovnici musíme vzít v úvahu vaši vesmír set,složený ze všech možných hodnot, které můžeme přiřadit neznámému, tato sada je reprezentována písmenem U.
Příklad 1
Uvažujme rovnici x + 1 = 0 a její možné řešení x = –1. Nyní zvažte, že vesmírná rovnice je přírodní.
Všimněte si, že předpokládané řešení nepatří do množiny vesmírů, protože jeho prvky jsou všechny možné hodnoty, které mohou neznámé nabývat, takže x = –1 není řešením rovnice.
Čím větší je počet neznámých, tím je obtížnější určit vaše řešení. THE řešení nebo zdroj rovnice je sada všech hodnot, které při přiřazení neznámému činí rovnost pravdivou.
Příklad 2
Zvažte rovnici s neznámým 5x - 9 = 16, ověřte, že x = 5 je řešením nebo kořenem rovnice.
Aby bylo možné to říci x = 5 je řešením rovnice, musíme tuto hodnotu nahradit výrazem, pokud najdeme skutečnou rovnost, bude číslo testovaným řešením.
5X – 9 = 16
5(5) – 9 = 16
25 – 9 = 16
16 = 16
Podívejte se, že nalezená rovnost je pravdivá, takže máme identitu a číslo 5 je řešením. Můžeme tedy říci, že množina řešení je dána vztahem:
S = {5}
Příklad 3
Uvažujme rovnici t2 = 4 a zkontrolujte, zda t = 2 nebo t = –2 jsou řešení rovnice.
Analogicky bychom měli do rovnice dosadit hodnotu t, nezapomeňte však, že máme dvě hodnoty pro neznámé, a proto bychom měli provést ověření ve dvou krocích.
Krok 1 - Pro t = 2
t2= 4
22 = 4
4 = 4
Krok 2 - Pro t = –2
t2 = 4
(–2)2 = 4
4 = 4
Pro t = 2 a t = - 2 najdeme identitu, takže tyto dvě hodnoty jsou řešením rovnice. Můžeme tedy říci, že sada řešení je:
S = {2, –2}
Nepřestávejte... Po reklamě je toho víc;)
Typy rovnic
Můžeme také klasifikovat rovnici, pokud jde o pozici, kterou zaujímají neznámí. Zobrazit hlavní typy:
Polynomiální rovnice
Na polynomiální rovnice jsou charakterizovány polynomem rovným nule. Podívejte se na několik příkladů:
The) 6t3+ 5t2–5t = 0
Čísla6, 5 a –5 jsou koeficienty rovnice.
B) 9X – 9= 0
Čísla 9 a – 9 jsou koeficienty rovnice.
c) y2– y – 1 = 0
Čísla 1, – 1 a – 1 jsou koeficienty rovnice.
Rovnice
Polynomiální rovnice lze klasifikovat podle jejich stupně. Stejně jako polynomy, stupeň polynomické rovnice je dán vztahem nejvyšší výkon, který má nenulový koeficient.
Z předchozích příkladů a, b a c máme, že stupně rovnic jsou:
a) 6t3 + 5 t2 –5t = 0 → Polynomiální rovnice třetí stupeň
b) 9X - 9 = 0 → Polynomiální rovnice první stupeň
C) y2 - y - 1 = 0 → Polynomiální rovnice střední škola
Přečtěte si také: kvadratická rovniceu: jak počítat, typy, příklady
racionální rovnice
Racionální rovnice se vyznačují tím, že mají své neznámé ve jmenovateli a zlomek. Podívejte se na několik příkladů:
Přečtěte si také: Co jsou to racionální čísla?
iracionální rovnice
Na iracionální rovnice se vyznačují tím, že mají neznámé uvnitř n. kořene, tj. uvnitř radikálu, který má index n. Podívejte se na několik příkladů:
exponenciální rovnice
Na exponenciální rovnice mít neznámé v exponentu a potence. Podívejte se na několik příkladů:
logaritmická rovnice
Na logaritmické rovnice se vyznačují tím, že mají jedna nebo více neznámých v některé části EU logaritmus. Uvidíme, že při aplikaci definice logaritmu padne rovnice v některých předchozích případech. Podívejte se na několik příkladů:
Podívejte se také: Rovnice prvního stupně s neznámou
Jak vyřešit rovnici?
Abychom mohli vyřešit rovnici, musíme studovat metody používané v každém typu, to znamená, že pro každý typ rovnice existuje jiná metoda k určení možných kořenů. Všechny tyto metody však jsou odvozeno od principu ekvivalence, s ním je možné řešit hlavní typy rovnic.
Princip ekvivalence
Druhým principem rovnocennosti můžeme volně působit na jedné straně rovnosti, pokud to samé děláme na druhé straně rovnosti. Abychom lépe porozuměli, pojmenujeme tyto strany.
Princip ekvivalence proto říká, že je to možné operovat na první končetině volně, pokud stejná operace se provádí u druhého člena.
Za účelem ověření principu ekvivalence zvažte následující rovnost:
5 = 5
Pojďme teď přidat na obou stranách číslo 7 a všimněte si, že rovnost bude stále platit:
5 =5
5 + 7= 5 + 7
12 = 12
Pojďme teď odčítat 10 na obou stranách rovnosti si znovu povšimněte, že rovnost bude stále platit:
12 = 12
12 – 10 = 12 – 10
2 = 2
uvidíme, že můžeme násobit nebo podíl a zvýšit na a potence nebo dokonce extrahovat a zdroj, pokud se to děje u prvního a druhého člena, rovnost bude vždy platit.
K vyřešení rovnice musíme použít tento princip spolu se znalostí zmíněných operací. Abychom usnadnili vývoj rovnic, vypusťme operaci provedenou s prvním členem, je ekvivalentní tomu, že říkáme, že předáváme číslo druhému členu a směňujeme znaménko za opak.
Myšlenka určit řešení rovnice je vždy izolovat neznámé pomocí principu ekvivalence, Dívej se:
Příklad 4
Pomocí principu ekvivalence určete množinu řešení rovnice 2x - 4 = 8 s vědomím, že množina vesmíru je dána vztahem: U = ℝ.
2x - 4 = 8
Abychom vyřešili polynomiální rovnici prvního stupně, musíme nechat neznámého v prvním členu izolovaném. Z tohoto důvodu vezmeme číslo –4 od prvního člena a přidáme 4 na obě strany, protože –4 + 4 = 0.
2x - 4 = 8
2x - 4+ 4 = 8+ 4
2x = 12
Všimněte si, že provedení tohoto procesu je ekvivalentní prostému předání čísla 4 s opačným znaménkem. Abychom izolovali neznámé x, předejme číslo 2 druhému členu, protože vynásobí x. (Pamatujte: inverzní operací násobení je dělení). Bylo by to stejné jako dělení obou stran číslem 2.
Sada řešení je tedy dána:
S = {6}
Příklad 5
Vyřešte rovnici 2x + 5 = 128 s vědomím, že množina vesmíru je dána vztahem U = ℝ.
K vyřešení exponenciální rovnice použijeme nejprve následující potenciační vlastnost:
Them + n =m · ANe
Využijeme také skutečnost, že 22 = 4 a 25 = 32.
2x + 5 = 128
2X · 25 = 128
2X · 32 = 128
Všimněte si, že je možné rozdělit obě strany číslem 32, to znamená předat číslo 32 druhému členu dělením.
Musíme tedy:
2X = 4
2X = 22
Jedinou hodnotou x, která splňuje rovnost, je číslo 2, takže x = 2 a množina řešení je dána vztahem:
S = {2}
vyřešená cvičení
Otázka 1 - Zvažte nastavený vesmír U = ℕ a určete řešení následující iracionální rovnice:
Řešení
Abychom tuto rovnici vyřešili, musíme se zabývat eliminací kořene prvního člena. Z tohoto důvodu je nutné povýšit prvního člena na stejný index jako kořen, tedy na krychli. Principem rovnocennosti musíme také vychovat druhého člena rovnosti.
Všimněte si, že nyní musíme vyřešit polynomiální rovnici druhého stupně. Předejme číslo 11 druhému členu (odečtěte 11 na obou stranách rovnosti), abychom izolovali neznámé x.
X2 = 27 – 11
X2 = 16
Nyní k určení hodnoty x zjistěte, že existují dvě hodnoty, které splňují rovnost, x ‘= 4 nebo x’ ’= –4, jednou:
42 = 16
a
(–4)2 = 16
Ve výroku k otázce si však všimněte, že daná vesmírná množina je množina přirozených čísel a číslo –4 do ní nepatří, proto je množina řešení dána vztahem:
S = {4}
otázka 2 - Uvažujme polynomiální rovnici x2 + 1 = 0 s vědomím, že množina vesmíru je dána vztahem U = ℝ.
Řešení
Pro princip ekvivalence odečtěte 1 od obou členů.
X2 + 1 – 1= 0 – 1
X2 = – 1
Všimněte si, že rovnost nemá řešení, protože vesmírná sada je reálná čísla, tedy všechna hodnoty, které může neznámý předpokládat, jsou skutečné a neexistuje žádné reálné číslo, které, když je na druhou, je záporný.
12 = 1
a
(–1)2 = 1
Proto rovnice nemá řešení v množině real, a tedy můžeme říci, že množina řešení je prázdná.
S = {}
Robson Luiz
Učitel matematiky
(Enem 2009) Skupina 50 lidí vytvořila počáteční rozpočet na uspořádání večírku, který byl mezi ně rozdělen stejným dílem. Nakonec bylo zjištěno, že k pokrytí všech výdajů chybělo 510,00 R $ a do skupiny se přidalo 5 nových lidí. V osadě bylo rozhodnuto, že celkový náklad bude rozdělen rovnoměrně 55 lidmi. Ti, kteří doposud nepřispěli, zaplatí svůj podíl a každý z 50 lidí v původní skupině bude muset přispět dalšími R $ 7,00.
Jaká byla podle těchto informací hodnota kvóty vypočítané v konečné dohodě pro každého z 55 lidí?
(Vunesp - 2011) Pedrinhovi byly čtyři roky, když jeho matce porodila dvojčata. Dnes je součet věků tří sourozenců 52 let. Dnešní Pedrinho věk je:
