THE aritmetický postup (AP) je číselná posloupnost kterou používáme k popisu chování určitých jevů v matematice. V PA je růst nebo rozpad je vždy konstantní, tj. od jednoho termínu k druhému, bude rozdíl vždy stejný a tento rozdíl je známý jako důvod.
V důsledku předvídatelné chování progrese, můžete to popsat podle vzorce známého jako obecný termín. Ze stejného důvodu je také možné vypočítat součet podmínek PA pomocí konkrétního vzorce.
Přečtěte si také: Geometrický postup - jak vypočítat?
Co je PA?
Pochopení, že PA je sled pojmů, ve kterých rozdíl mezi termínem a jeho předchozím je vždy konstantní, abychom popsali tento postup ze vzorce, musíme najít počáteční výraz, nebo tj. první člen progrese a jeho důvod, kterým je tento konstantní rozdíl mezi podmínky.
Obecně lze říci, že PA je napsán následovně:
(The1, a2, The3, a4, The5, a6, The7, a8)
První termín je a1 a od ní do přidat důvod r, pojďme najít nástupnické podmínky.
The1 + r = a2
The2 + r = a3
The3 + r = a4
...
Abychom mohli napsat aritmetický postup, potřebujeme vědět, kdo je jeho první člen a proč.
Příklad:
Napíšeme prvních šest členů AP s vědomím, že jeho první člen je 4 a jeho poměr se rovná 2. znát1 = 4 a r = 2, dospěli jsme k závěru, že tato progrese začíná na 4 a zvyšuje se ze 2 na 2. Proto můžeme popsat jeho pojmy.
The1 = 4
The2 = 4+ 2 = 6
The3 = 6 + 2 = 8
The4 = 8 + 2 = 10
The5= 10 + 2 = 12
The6 = 12 + 2 =14
Tento BP se rovná (4,6,8,10,12,14…).
Obecný termín PA
Popis PA ze vzorce nám usnadňuje nalezení kteréhokoli z jeho výrazů. K vyhledání libovolného výrazu AP použijeme následující vzorec:
TheNe= a1 + r · (n-1) |
N → je poloha termínu;
The1→ je první termín;
r → důvod.
Příklad:
Najdi to obecný termín PA (1,5,9,13,…) a 5., 10. a 23. období.
1. krok: najít důvod.
Chcete-li najít poměr, jednoduše spočítejte rozdíl mezi dvěma po sobě následujícími členy: 5 - 1 = 4; pak v tomto případě r = 4.
2. krok: najděte obecný termín.
Jak víme, že1= 1 a r = 4, dosadíme do vzorce.
TheNe= a1 + r (n - 1)
TheNe= 1 + 4 (n - 1)
TheNe= 1 + 4n - 4
TheNe= 4n - 3 → obecný termín PA
3. krok: známe obecný termín, pojďme vypočítat 5., 10. a 23. termín.
5. období → n = 5
TheNe= 4n - 3
The5=4·5 – 3
The5=20 – 3
The5=17
10. člen → n = 10
TheNe= 4n - 3
The10=4·10 – 3
The10=40 – 3
The10=37
23. termín → n = 23
TheNe= 4n - 3
The23=4·23 – 3
The23=92 – 3
The23=89
Typy aritmetických průběhů
Pro PA existují tři možnosti. Může být rostoucí, klesající nebo konstantní.
Rostoucí
Jak název napovídá, aritmetický postup se zvyšuje, když jak se termíny zvyšují, zvyšuje se také jejich hodnota., to znamená, že druhý člen je větší než první, třetí je větší než druhý, atd.
The1
Aby se to stalo, musí být poměr kladný, to znamená, že PA se zvyšuje, pokud r> 0.
Příklady:
(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)
klesající
Jak název napovídá, aritmetický postup klesá, když jak termíny rostou, jejich hodnota klesá, to znamená, že druhý člen je menší než první, třetí je menší než druhý, atd.
The1 >2 >3 >4 > …. >Ne
Aby k tomu došlo, musí být poměr záporný, to znamená, že PA se zvyšuje, pokud r <0.
Příklady:
(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)
Konstantní
Aritmetický postup je konstantní, když jak se termíny zvyšují, hodnota zůstává stejná., to znamená, že první člen se rovná druhému, který se rovná třetímu atd.
The1 =2 =3 =4 = …. = aNe
Aby byl PA konstantní, musí se poměr rovnat nule, tj. R = 0.
Příklady:
(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)
Podívejte se také: Součin podmínek PG - jaký je vzorec?
Vlastnosti PA
1. vlastnost
Vzhledem k libovolnému termínu PA se průměrný aritmetický mezi jeho nástupcem a předchůdcem se rovná tomuto pojmu.
Příklad:
Zvažte postup (-1, 2, 5, 8, 11) a termín 8. Průměr mezi 11 a 5 se rovná 8, to znamená, že součet nástupce s předchůdcem čísla v PA se vždy rovná tomuto číslu.
2. vlastnost
Součet podmínek ve stejné vzdálenosti je vždy stejný.
Příklad:
Součet podmínek PA
Předpokládejme, že chceme přidat šest výrazů BP uvedených výše: (16,13,10,7,4,1). Můžeme jednoduše přidat jejich termíny - v takovém případě existuje několik termínů, je to možné - ale pokud ano delší řetězec, měli byste použít vlastnost. Víme, že součet ekvidistantních členů je vždy stejný, jak jsme viděli ve vlastnosti, takže pokud to provedeme přidejte jednou a vynásobte polovinu počtu termínů, máme součet prvních šesti termínů z PÁNEV.
Všimněte si, že v příkladu bychom počítali součet prvního a posledního, který se rovná 17, vynásobený polovinou počtu členů, tj. 17 krát 3, což se rovná 51.
Vzorec součet podmínek PA vyvinul jej matematik Gauss, který tuto symetrii realizoval v aritmetických postupech. Vzorec je napsán takto:
sNe → součet n prvků
The1 → první termín
TheNe → poslední termín
n → počet termínů
Příklad:
Vypočítejte součet lichých čísel od 1 do 2000.
Řešení:
Víme, že tato sekvence je PA (1,3,5,…. 1997, 1999). Provedení součtu by bylo hodně práce, takže vzorec je docela pohodlný. Od 1 do 2000 je polovina čísel lichá, takže jich je 1000.
Data:
n → 1000
The1 → 1
TheNe → 1999
Také přístup: Součet konečných PG - jak na to?
Interpolace aritmetických průměrů
Znát dva po sobě jdoucí termíny aritmetické progrese je možné najít všechny termíny, které spadají mezi tato dvě čísla, co známe jako interpolace aritmetických průměrů.
Příklad:
Pojďme interpolovat 5 aritmetických průměrů mezi 13 a 55. To znamená, že existuje 5 čísel mezi 13 a 55 a tvoří postup.
(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).
K nalezení těchto čísel je nutné najít důvod. Známe první termín (1 = 13) a také sedmý termín (7= 55), ale víme, že:
TheNe =1 + r · (n - 1)
Když n = 7 → aNe= 55. Známe také hodnotu a1=13. Když to dosadíme do vzorce, musíme:
55 = 13 + r · (7 - 1)
55 = 13 + 6r
55 - 13 = 6r
42 = 6r
r = 42: 6
r = 7.
Známe-li důvod, můžeme najít výrazy mezi 13 a 55.
13 + 7 = 20
21 + 7 = 27
28 + 7 = 34
35 + 7 = 41
41 + 7 = 49
(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)
vyřešená cvičení
Otázka 1 - (Enem 2012) - Hraní karet je aktivita, která stimuluje uvažování. Tradiční hrou je Solitaire, která využívá 52 karet. Zpočátku je s kartami vytvořeno sedm sloupců. První sloupec má jednu kartu, druhý má dvě karty, třetí má tři karty, čtvrtý má čtyři karty atd postupně do sedmého sloupce, který má sedm karet, a co tvoří hromádku, což jsou nevyužité karty v sloupce.
Počet karet, které tvoří hromádku, je:
A) 21.
B) 24.
C) 26.
D) 28.
E) 31.
Řešení
Alternativa B.
Nejprve vypočítáme celkový počet použitých karet. Pracujeme s AP, jehož první člen je 1 a poměr je také 1. Takže při výpočtu součtu 7 řádků je poslední člen 7 a hodnota n také 7.
S vědomím, že celkový počet použitých karet byl 28 a že jich je 52, hromadu tvoří:
52 - 28 = 24 karet
Otázka 2 - (Enem 2018) Radnice malého městečka ve vnitrozemí se rozhodla umístit kolem osvětlovací stožáry po rovné silnici, která začíná na centrálním náměstí a končí u farmy v této oblasti. venkovský. Vzhledem k tomu, že náměstí již má osvětlení, bude první pól umístěn 80 metrů od náměstí, druhý ve vzdálenosti 100 metrů, třetí ve vzdálenosti 120 metrů atd. postupně vždy udržujte vzdálenost 20 metrů mezi sloupky, dokud nebude poslední sloupek umístěn ve vzdálenosti 1380 metrů od sloupu náměstí.
Pokud město může zaplatit maximálně 8 000,00 R za umístění příspěvku, nejvyšší částka, kterou můžete za umístění těchto příspěvků utratit, je:
A) 512 000,00 BRL.
B) 520 000,00 BRL.
C) 528 000,00 R $.
D) 552 000,00 BRL.
E) 584 000,00 BRL.
Řešení
Alternativa C.
Víme, že sloupky budou umístěny každých 20 metrů, tj. R = 20, a že první člen tohoto PA je 80. Víme také, že poslední člen je 1380, ale nevíme, kolik výrazů je mezi 80 a 1380. K výpočtu tohoto počtu výrazů použijeme obecný výrazový vzorec.
Data: aNe = 1380; The1=80; a r = 20.
TheNe= a1 + r · (n-1)
Bude umístěno 660 příspěvků. Pokud každý z nich bude stát maximálně 8 000 R $, nejvyšší částka, kterou lze utratit za umístění těchto příspěvků, je:
66· 8 000 = 528 000
Raul Rodrigues de Oliveira
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm