Trojúhelníková matice: typy, determinant, cvičení

Matice je trojúhelníková když prvky nad hlavní úhlopříčkou nebo prvky pod hlavní úhlopříčkou jsou všechny nulové. Existují dvě možné klasifikace pro tento typ matice: první je, když jsou prvky nad hlavní úhlopříčkou null, což nastavuje dolní trojúhelníkovou matici; druhým je, když jsou prvky pod hlavní úhlopříčkou nulové, což nastavuje horní trojúhelníkovou matici.

Chcete-li vypočítat determinant trojúhelníkové matice podle Sarrusova pravidla, proveďte pouze hlavní diagonální násobení, protože ostatní násobení se budou rovnat nule.

Přečtěte si také: Pole - co to je a existující typy

Trojúhelníková matice je zvláštní případ matice.

Typy trojúhelníkových matic

Abychom pochopili, co je trojúhelníková matice, je důležité si pamatovat, jaká je hlavní úhlopříčka čtvercové matice, což je matice, která má stejný počet řádků a sloupců. Hlavní úhlopříčkou matice jsou členy a._ij, kde i = j, to znamená, že jsou to termíny, ve kterých se číslo řádku rovná číslu sloupce.

Příklad:

Výrazy na hlavní úhlopříčce jsou zvýrazněny červeně.

Pochopení, co je čtvercová matice a jaká je její hlavní úhlopříčka, pojďme vědět, co je to trojúhelníková matice a její klasifikace. Existují dvě možné klasifikace pro trojúhelníkovou matici: Thedolní trojúhelníková matice a horní trojúhelníková matice.

• Dolní trojúhelníková matice: nastane, když jsou všechny členy nad hlavní úhlopříčkou rovny nule a členy pod hlavní úhlopříčkou jsou reálná čísla.

Numerický příklad:

• Horní trojúhelníková matice: nastane, když jsou všechny členy pod hlavní úhlopříčkou rovny nule a členy nad hlavní úhlopříčkou jsou reálná čísla.

Numerický příklad:

diagonální matice

Diagonální matice je a konkrétní případ trojúhelníkové matice. V něm jsou nenulové jediné výrazy, které jsou obsaženy v hlavní úhlopříčce. Výrazy nad nebo pod hlavní úhlopříčkou se rovnají nule.

Numerické příklady diagonální matice:

Determinant trojúhelníkové matice

Vzhledem k trojúhelníkové matici při výpočtu determinantu této matice pomocí Sarrusovo pravidlo, můžete vidět, že všechna násobení se rovnají nule, kromě násobení členu hlavní úhlopříčky.

det (A) = a₁₁ · A₂₂· A₃₃ +₁₂ · A₂₃ · 0 +₁₃ · 0 · 0 - (₁₃ ·₂₃ ·0 +₁₁ · A₂₃ · 0 +₁₂ · 0· A₃₃)

Všimněte si, že ve všech termínech kromě prvního je nula jedním z faktorů a vše násobení nulou se rovná nule, takže:

det (A) = a₁₁ · A₂₂· A₃₃

Všimněte si, že se jedná o součin mezi podmínkami hlavní úhlopříčky.

Bez ohledu na počet řádků a sloupců, které má trojúhelníková matice, je determinant bude vždy roven součinu podmínek hlavní úhlopříčky.

Podívejte se také: Determinant - prvek aplikovaný na čtvercové matice

Vlastnosti trojúhelníkové matice

Trojúhelníková matice má některé specifické vlastnosti.

• 1. vlastnost: determinant trojúhelníkové matice se rovná součinu členů hlavní úhlopříčky.
• 2. vlastnost: součin mezi dvěma trojúhelníkovými maticemi je trojúhelníková matice.
• 3. vlastnost: je-li jeden z členů hlavní úhlopříčky trojúhelníkové matice roven nule, bude jeho determinant roven nule a v důsledku toho nebude invertibilní.
• 4. vlastnost: inverzní matice trojúhelníkové matice je také trojúhelníková matice.
• 5. vlastnost: součet dvou horních trojúhelníkových matic je horní trojúhelníková matice; podobně součet dvou nižších trojúhelníkových matic je nižší trojúhelníková matice.

vyřešená cvičení

1) Vzhledem k matici A je hodnota determinantu A:

a) 2

b) 0

c) 9

d) 45

e) 25

Řešení

Alternativní d.

Tato matice je nižší trojúhelníková, takže její determinant je množení členů na hlavní úhlopříčce.

det (A) = 1,3 · 3,1 · 5 = 45

2) Posuďte následující prohlášení.

I → Každá čtvercová matice je trojúhelníková.

II → Součet horní trojúhelníkové matice se spodní trojúhelníkovou maticí je vždy trojúhelníková matice.

III → Každá diagonální matice identity je trojúhelníková matice.

Správné pořadí je:

a) V, V, V.

b) F, F, F.

c) F, V, F.

d) F, F, V.

e) V, V, F.

Řešení

Alternativní d.

I → False, protože každá trojúhelníková matice je čtvercová, ale ne každá čtvercová matice je trojúhelníková.

II → False, protože součet mezi horní a dolní trojúhelníkovou maticí nemusí vždy vést k trojúhelníkové matici.

III → Je pravda, že termíny odlišné od úhlopříčky se rovnají nule.

Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky

Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm