الأرقام غير المنطقية: ما هي ، العمليات ، الأمثلة

أنت أرقام غير منطقية تسبب في قلق كبير لدى علماء الرياضيات لفترة طويلة. اليوم ، تم تعريفنا جيدًا بالفعل ، نعرف كرقم غير منطقي هو الشخص الذي يمثل التمثيل العشري دائمًا عددًا عشريًا غير دوري. السمة الرئيسية لللاعقلانية ، وما يجعلها مختلفة عن الأعداد المنطقية ، هي أنها لا يمكن أن يمثله أ جزء.

تم تعميق دراسة الأعداد غير المنطقية عندما تم العثور على جذور غير دقيقة عند حساب المسائل التي تتضمن نظرية فيثاغورس. إن عملية البحث عن حل لهذه الجذور غير الدقيقة جعلت وجود العشور غير الدقيقة أمرًا رائعًا دوري ، أي للأرقام التي يكون الجزء العشري فيها لانهائيًا وليس له تسلسل جيد. معرف. الأرقام غير المنطقية الرئيسية هي الكسور العشرية غير الدورية والجذور غير الدقيقة و.

اقرأ أيضا: الجذر التربيعي - حالة التجذير حيث يكون الفهرس الجذري 2

مجموعة من الأعداد غير النسبية

الجذور غير الدقيقة هي أرقام غير منطقية.

قبل دراسة الأعداد غير المنطقية ، تمت دراسة مجموعات الأعداد طبيعيوالأعداد الصحيحة والعقلانية. عند التعمق في دراسة المثلث المستطيل ، اتضح ذلك هناك بعض الجذور التي ليس لها حل دقيق، على وجه الخصوص ، كان من الممكن رؤية أن الحلول الجذرية غير الدقيقة هي أرقام المعروفة باسم العشور غير الدورية.

في خضم هذه الاضطرابات ، حاول العديد من علماء الرياضيات إثبات أن الجذور غير الدقيقة هي أرقام منطقية و والتي يمكن تمثيلها على شكل كسر ، ولكن ما تم إدراكه هو أن هذه الأرقام لا يمكن تمثيلها في هذا شكل. نظرًا لأن مجموعة الأرقام المنطقية ، حتى الآن ، لم تتضمن هذه الأرقام ، نشأت الحاجة إلى إنشاء مجموعة جديدة ، تُعرف باسم مجموعة الأرقام غير المنطقية.

الرقم غير منطقي عندما يكون تمثيله العشري عددًا عشريًا غير دوري.

ما هي الأعداد غير المنطقية؟

لكي يكون رقمًا غير منطقي ، يجب أن يفي بالتعريف ، أي تمثيلها العشري هو عدد عشري غير دوري. السمة الرئيسية للأرقام العشرية غير الدورية هي أنه لا يمكن تمثيلها بواسطة كسر ، مما يدل على أن الأرقام غير المنطقية هي عكس الأرقام المنطقية.

الأرقام الرئيسية مع هذه الميزة هي الجذور ليست دقيقة.

أمثلة:

أ) √2

ب) √5

ج) √7

د) √13 

عند البحث عن حلول جذرية غير دقيقة ، أي إجراء التمثيل العشري لهذه الأرقام دائمًا سنجد عددًا عشريًا غير دوري ، مما يجعل هذه الأرقام عناصر من مجموعة غير منطقي.

بالإضافة إلى الجذور غير الدقيقة ، هناك كسور عشرية غير دورية نفسها ، على سبيل المثال ، إذا قمنا بحساب الجذور غير الدقيقة ، فسنجد عددًا عشريًا غير دوري.

√2 = 1,41421356...

√5= 2,23606797...

عادةً ما يتم تمثيل الأرقام غير المنطقية بأحرف يونانية، لأنه لا يمكن كتابة جميع منازلها العشرية.

أول واحد هو π (اقرأ: pi) ، موجود في حساب مساحة ومحيط الدوائر. له قيمة تساوي 3,1415926535…

بالإضافة إلى π ، هناك رقم شائع آخر هو ϕ (اقرأ: fi). وجد في المشاكل التي تنطوي على حجم ذهبي. لها قيمة تساوي 1.618033 ...

نرى أيضا: ما هي الأعداد الأولية؟

عدد منطقي وغير منطقي

عند تحليل مجموعات الأرقام ، من المهم التفريق بين الأعداد المنطقية والأرقام غير المنطقية. يشكل اتحاد هاتين المجموعتين واحدة من أكثر المجموعات المدروسة في الرياضيات ، مجموعة الحقائق ، أي مجموعة أرقام حقيقية إنه ضم الأرقام التي يمكن تمثيلها ككسور (عقلانية) بأرقام لا يمكن تمثيلها على أنها كسور (غير منطقية).

في مجموعة أرقام نسبية، هناك الأعداد الصحيحة ، والأعداد الطبيعية ، والأعداد العشرية الدقيقة ، والأعداد العشرية الدورية.

أمثلة على الأرقام المنطقية:

-60 → عدد صحيح

2.5 → عشري دقيق

5.1111111... ← نظام عشري دوري

الأعداد غير المنطقية هي كسور عشرية غير دورية ، لذلك لا يوجد رقم منطقي وغير منطقي في نفس الوقت.

مثال على الأعداد غير المنطقية:

1،123149... ← العشور غير الدورية

2.769235... ← العشور غير الدورية

العمليات بأرقام غير منطقية

• جمع وطرح

ال إضافة و ال الطرح من رقمين غير منطقيين هو عادة ممثلة فقط، ما لم يتم استخدام تقريب عشري لهذه الأرقام ، على سبيل المثال:

أ) √6 + 5

ب) √6 - √5

ج) 1.414213... + 3.1415926535 ...

لا يمكننا جمع أو طرح القيم بسبب الجذور ، لذلك تركنا العملية المشار إليها.

في التمثيلات العشرية ، لا يمكن أيضًا إجراء المجموع الدقيق ، لذلك لإضافة عددين غير نسبيين ، نحتاج إلى تقريب منطقي.، ويتم اختيار هذا التمثيل حسب الحاجة إلى دقة هذه البيانات. كلما زاد عدد الفواصل العشرية التي نضعها في الاعتبار ، كلما اقتربنا من المجموع الدقيق.

ملاحظة:مجموعة الأرقام غير المنطقية ليست مغلقة للجمع أو الطرح ، وهذا يعني أن مجموع عددين غير منطقيين يمكن أن ينتج عنه رقم غير منطقي. على سبيل المثال ، إذا قمنا بحساب الفرق بين رقم غير منطقي بعكسه ، فعلينا:

أ) √2 - √2 = 0

ب) π + (-π) = 0

نحن نعلم أن 0 ليس عددًا غير نسبي.

• الضرب والقسمة

الضرب و قطاع من الأعداد غير المنطقية يمكن القيام به إذا كان التمثيل أ إشعاعومع ذلك ، مثل الجمع ، في التمثيل العشري ، أي ضرب أو قسمة رقمين عشريين ، فإن التقريب المنطقي لهذا الرقم مطلوب.

أ) √7 · √5 = 35

ب) √32: √2 = 16 = 4

لاحظ أيضًا أنه في المثال ب ، 4 عبارة عن رقم منطقي ، مما يعني أنه لم يتم إغلاق ضرب وقسمة رقمين غير منطقيين ، أي أنه يمكن أن يكون لهما نتيجة منطقية.

تمارين حلها

السؤال رقم 1 - راجع الأرقام التالية:

ط) 3.1415926535

II) 4،1234510….

الثالث) 2π

رابعا) 1.123123123 ...

الخامس) √36

السادس) √12

هذه أرقام غير منطقية:

أ) فقط أنا ، الرابع والخامس

ب) فقط الثاني والثالث والسادس

ج) فقط الثاني والرابع والسادس

د) فقط الأول والثاني والثالث والسادس

هـ) فقط الثالث والرابع والخامس والسادس

القرار

البديل ب

أنا → الرقم هو بالضبط عشري ، منطقي.

II → الرقم هو عدد عشري غير دوري وغير منطقي.

III → غير منطقي ، ومضاعفته ، أي 2π ، غير منطقي أيضًا.

IV → الرقم هو عدد عشري دوري منطقي.

V → جذر دقيق وعقلاني.

السادس → الجذر ليس دقيقًا ، غير منطقي.

السؤال 2 - يرجى الحكم على العبارات التالية:

أنا - مجموعة الأعداد الحقيقية هي اتحاد العقلاني وغير العقلاني ؛

II - يمكن أن يكون مجموع عددين غير منطقيين عددًا منطقيًا ؛

III- العشور أعداد غير منطقية.

عند تحليل البيانات ، يمكننا القول:

أ) فقط البيان الأول هو الصحيح.

ب) العبارة II فقط هي صحيحة.

ج) فقط العبارة III صحيحة.

د) فقط العبارتان الأول والثاني صحيحان.

هـ) كل البيانات صحيحة.

القرار

البديل د

أنا → صحيح ، لأن تعريف مجموعة الأعداد الحقيقية هو الاتحاد بين العقلاني وغير المنطقي.

II → صحيح ، عندما نضيف رقمًا إلى عكسه ، سيكون لدينا نتيجة لذلك الرقم 0 ، وهو أمر منطقي.

III → العشور الزائفة غير الدورية هي غير منطقية.

بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm