المنتج الداخلي بين متجهين

ا حاصل الضرب النقطي بين متجهين هو رقم حقيقي يتعلق بحجم هذه المتجهات ، أي طولها والزاوية بينهما. لحسابها ، من الضروري معرفة أطوالها والزاوية التي تشكلها.

باستخدام المستوى كأساس ، يشير المتجه إلى الموقع والشدة والاتجاه والاتجاه. لذلك ، يتم استخدامه في دراسات الميكانيكا (الفيزياء) كممثل للقوة المطبقة على كائن.

التمثيل المعتاد للمتجه هو سهم ينتهي عند نقطة. يُقال أن إحداثيات هذه النقطة هي إحداثيات المتجه بدءًا من النقطة O (0،0). نكتب v = (a، b) لتمثيلها. وبالتالي ، يتم رسم المتجه v = (1،2) على النحو التالي:

مثال متجه يبدأ من الأصل

لحساب طول هذا المتجه ، ضع في اعتبارك المثلث الأيمن الذي شكله وإسقاطه على المحور السيني (أو المحور الصادي) ، كما هو موضح في الشكل التالي:

طول المتجه v

طول المتجه v يسمى الخامس ناقلات القاعدة أو وحدة مكافحة ناقلات ويمثله | v |. لاحظ أن قاعدة المتجه v = (أ ، ب) هي بالضبط قياس وتر المثلث الموضح في الشكل أعلاه. لحساب هذا المقياس ، نستخدم نظرية فيثاغورس:

| v |² = ال² + ب²

| v | = √ (أ² + ب² )

اثنان من حاصل الضرب النقطي المتجه

بالنظر إلى المتجهين u و v ، يتم تمثيل المنتج الداخلي بينهما بواسطة ويتم تعريفه على أنه:

= | u || v | · cosθ

هذا نوع من الضرب بين متجهين ، ومع ذلك ، فإنه لا يسمى منتجًا لأنه ليس عملية ضرب شائعة ، لأنه يتضمن الزاوية المكونة من هذين المتجهين.

الزاوية بين متجهين

النتيجة الأولى الناشئة عن التعريف أعلاه هي الزاوية بين متجهين. باستخدام الأرقام الحقيقية "حاصل الضرب النقطي" و "معيار المتجه u" و "معيار المتجه v" ، من الممكن حساب الزاوية بين المتجهين u و v. للقيام بذلك ، ما عليك سوى إجراء العمليات الحسابية:

= | u || v | · cosθ

= cosθ
| u || v |

لذلك ، بقسمة الناتج الداخلي على معايير المتجهين u و v ، نجد العدد الحقيقي الذي يشير إلى جيب التمام بين هذين المتجهين ، وبالتالي الزاوية بينهما.

لاحظ أنه إذا كانت الزاوية بين متجهين مستقيمة ، فإن cosθ يساوي صفرًا. لذلك ، سيكون للمنتج أعلاه النتيجة التالية:

= 0

من هذا ، يمكن استنتاج أنه ، بالنظر إلى المتجهين u و v ، سيكونان متعامدين إذا = 0.

المنتج الداخلي محسوب من إحداثيات المتجهات

بالنظر إلى المتجهين u = (أ ، ب) و v = (ج ، د) ، يتم إعطاء حاصل الضرب النقطي بين u و v بواسطة:

= = أ · ج + ب · د

خصائص المنتج الداخلية

بالنظر إلى المتجهات u و v و w والعدد الحقيقي α ، لاحظ:

أنا) =

هذا يعني أن المنتج الداخلي للناقلات هو "تبادلي".

ب) = +

هذه الخاصية قابلة للمقارنة مع توزيعية الضرب على الجمع.

iii) = = α

حساب المنتج الداخلي بين u و v مضروبًا في العدد الحقيقي α هو نفسه حساب المنتج الداخلي بين αv و u أو بين v و αu.

رابعا) = 0 <=> v = 0

الناتج الداخلي لـ v مع v يساوي صفرًا فقط إذا كانت v متجهًا فارغًا.

الخامس) ≥ 0 للجميع v.

سيكون الناتج الداخلي لـ v مع v دائمًا أكبر من أو يساوي صفرًا.

بقلم لويز باولو موريرا
تخرج في الرياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produto-interno-entre-dois-vetores.htm