الجيب وجيب التمام والظل هي الأسماء المعطاة ل النسب المثلثية. يتم حل معظم المشكلات التي تنطوي على حسابات المسافة باستخدام علم المثلثات. ولهذا ، من المهم جدًا فهم أساسياته ، بدءًا من مثلث قائم.
النسب المثلثية مهمة جدًا أيضًا ، لأنها تتعلق بالقياسات على جانبي مثلث بإحدى الزوايا الحادة ، مع ربط هذه العلاقة بـ a عدد حقيقي.
شاهد المزيد: تحديد أرباع الدورة المثلثية
ملامح المثلث القائم
يتكون المثلث القائم من a زاوية 90 درجة (زاوية قائمة). الزوايا الأخرى أصغر من 90 درجة ، أي أنها حادة ، بالإضافة إلى ذلك ، نعلم أن الأضلاع الأكبر تقابل الزوايا الأكبر دائمًا. في المثلث الأيمن ، يُطلق على الضلع الأكبر اسم وتر و "أمام" الزاوية اليمنى ، تسمى الجوانب الأخرى البيكاري.
في المثلث أعلاه ، لدينا الضلعان اللذان يقيسان c و b هما الضلعان ، والضلع الذي يقيس a هو الوتر. في كل مثلث قائم الزاوية ، عرفت العلاقة باسم نظرية فيثاغورس صالح.
ال2 = ب2 + ج2
من الآن فصاعدًا ، سيتم إعطاء البقري ذو الياقات أسماء خاصة. ستعتمد تسميات الأرجل على الزاوية المرجعية. بالنظر إلى الزاوية باللون الأزرق في الصورة أعلاه ، لدينا أن الجانب الذي يقيس b هو
الساق المعاكسة والضلع المجاور للزاوية ، أي الذي يقيس c هو الساق المجاورة.شرط
قبل تحديد صيغة جيب الزاوية ، دعونا نفهم فكرة الجيب. تخيل منحدرًا يمكننا تحديد السبب بين الارتفاع والطول ، أليس كذلك؟ ستسمى هذه النسبة بجيب الزاوية α.
هكذا،
الخطيئة α = ارتفاع
طريق
جيب التمام
على غرار فكرة الجيب ، لدينا الإحساس بجيب التمام ، ومع ذلك ، في المنحدر ، فإن جيب التمام هو النسبة بين المسافة من الأرض والمسار على طول المنحدر.
هكذا:
كوس α = إزالة
طريق
الظل
كما هو الحال أيضًا مع أفكار الجيب وجيب التمام ، فإن الظل هو النسبة بين ارتفاع ومسافة المنحدر.
هكذا:
tg α = ارتفاع
إزالة
الظل يعطينا معدل الصعود.
اقرأ أيضا: علم المثلثات في أي مثلث
العلاقة بين الجيب وجيب التمام والظل
بشكل عام ، يمكننا بعد ذلك تحديد الجيب وجيب التمام والظل في أي مثلث قائم الزاوية باستخدام الأفكار السابقة. انظر أدناه:
أولا أخذ زاوية α كمرجع لدينا:
الخطيئة α = الجانب المعاكس = ç
الوتر ل
كوس α = القطة المجاورة = ب
الوتر ل
tg α = الجانب المعاكس = ç
القطة المجاورة ب
الآن بأخذ الزاوية β كمرجع ، لدينا:
الخطيئة β = الجانب المعاكس = ب
الوتر ل
كوس β = القطة المجاورة = ç
الوتر ل
tg β = الجانب المعاكس = ب
القسطرة المجاورة ج
الجداول المثلثية
هناك ثلاث قيم للزاوية يجب أن نعرفها. هل هم:
القيم الأخرى معطاة في بيانات التمارين أو يمكن التحقق منها في الجدول التالي ، لكن لا تقلق ، ليس من الضروري حفظها (باستثناء تلك الموجودة في الجدول السابق).
زاوية (°) |
شرط |
جيب التمام |
ظل |
زاوية (°) |
شرط |
جيب التمام |
ظل |
1 |
0,017452 |
0,999848 |
0,017455 |
46 |
0,71934 |
0,694658 |
1,03553 |
2 |
0,034899 |
0,999391 |
0,034921 |
47 |
0,731354 |
0,681998 |
1,072369 |
3 |
0,052336 |
0,99863 |
0,052408 |
48 |
0,743145 |
0,669131 |
1,110613 |
4 |
0,069756 |
0,997564 |
0,069927 |
49 |
0,75471 |
0,656059 |
1,150368 |
5 |
0,087156 |
0,996195 |
0,087489 |
50 |
0,766044 |
0,642788 |
1,191754 |
6 |
0,104528 |
0,994522 |
0,105104 |
51 |
0,777146 |
0,62932 |
1,234897 |
7 |
0,121869 |
0,992546 |
0,122785 |
52 |
0,788011 |
0,615661 |
1,279942 |
8 |
0,139173 |
0,990268 |
0,140541 |
53 |
0,798636 |
0,601815 |
1,327045 |
9 |
0,156434 |
0,987688 |
0,158384 |
54 |
0,809017 |
0,587785 |
1,376382 |
10 |
0,173648 |
0,984808 |
0,176327 |
55 |
0,819152 |
0,573576 |
1,428148 |
11 |
0,190809 |
0,981627 |
0,19438 |
56 |
0,829038 |
0,559193 |
1,482561 |
12 |
0,207912 |
0,978148 |
0,212557 |
57 |
0,838671 |
0,544639 |
1,539865 |
13 |
0,224951 |
0,97437 |
0,230868 |
58 |
0,848048 |
0,529919 |
1,600335 |
14 |
0,241922 |
0,970296 |
0,249328 |
59 |
0,857167 |
0,515038 |
1,664279 |
15 |
0,258819 |
0,965926 |
0,267949 |
60 |
0,866025 |
0,5 |
1,732051 |
16 |
0,275637 |
0,961262 |
0,286745 |
61 |
0,87462 |
0,48481 |
1,804048 |
17 |
0,292372 |
0,956305 |
0,305731 |
62 |
0,882948 |
0,469472 |
1,880726 |
18 |
0,309017 |
0,951057 |
0,32492 |
63 |
0,891007 |
0,45399 |
1,962611 |
19 |
0,325568 |
0,945519 |
0,344328 |
64 |
0,898794 |
0,438371 |
2,050304 |
20 |
0,34202 |
0,939693 |
0,36397 |
65 |
0,906308 |
0,422618 |
2,144507 |
21 |
0,358368 |
0,93358 |
0,383864 |
66 |
0,913545 |
0,406737 |
2,246037 |
22 |
0,374607 |
0,927184 |
0,404026 |
67 |
0,920505 |
0,390731 |
2,355852 |
23 |
0,390731 |
0,920505 |
0,424475 |
68 |
0,927184 |
0,374607 |
2,475087 |
24 |
0,406737 |
0,913545 |
0,445229 |
69 |
0,93358 |
0,358368 |
2,605089 |
25 |
0,422618 |
0,906308 |
0,466308 |
70 |
0,939693 |
0,34202 |
2,747477 |
26 |
0,438371 |
0,898794 |
0,487733 |
71 |
0,945519 |
0,325568 |
2,904211 |
27 |
0,45399 |
0,891007 |
0,509525 |
72 |
0,951057 |
0,309017 |
3,077684 |
28 |
0,469472 |
0,882948 |
0,531709 |
73 |
0,956305 |
0,292372 |
3,270853 |
29 |
0,48481 |
0,87462 |
0,554309 |
74 |
0,961262 |
0,275637 |
3,487414 |
30 |
0,5 |
0,866025 |
0,57735 |
75 |
0,965926 |
0,258819 |
3,732051 |
31 |
0,515038 |
0,857167 |
0,600861 |
76 |
0,970296 |
0,241922 |
4,010781 |
32 |
0,529919 |
0,848048 |
0,624869 |
77 |
0,97437 |
0,224951 |
4,331476 |
33 |
0,544639 |
0,838671 |
0,649408 |
78 |
0,978148 |
0,207912 |
4,70463 |
34 |
0,559193 |
0,829038 |
0,674509 |
79 |
0,981627 |
0,190809 |
5,144554 |
35 |
0,573576 |
0,819152 |
0,700208 |
80 |
0,984808 |
0,173648 |
5,671282 |
36 |
0,587785 |
0,809017 |
0,726543 |
81 |
0,987688 |
0,156434 |
6,313752 |
37 |
0,601815 |
0,798636 |
0,753554 |
82 |
0,990268 |
0,139173 |
7,11537 |
38 |
0,615661 |
0,788011 |
0,781286 |
83 |
0,992546 |
0,121869 |
8,144346 |
39 |
0,62932 |
0,777146 |
0,809784 |
84 |
0,994522 |
0,104528 |
9,514364 |
40 |
0,642788 |
0,766044 |
0,8391 |
85 |
0,996195 |
0,087156 |
11,43005 |
41 |
0,656059 |
0,75471 |
0,869287 |
86 |
0,997564 |
0,069756 |
14,30067 |
42 |
0,669131 |
0,743145 |
0,900404 |
87 |
0,99863 |
0,052336 |
19,08114 |
43 |
0,681998 |
0,731354 |
0,932515 |
88 |
0,999391 |
0,034899 |
28,63625 |
44 |
0,694658 |
0,71934 |
0,965689 |
89 |
0,999848 |
0,017452 |
57,28996 |
45 |
0,707107 |
0,707107 |
1 |
90 |
1 |
ايضا اعلم: القاطع ، قاطع التمام وظل التمام
تمارين حلها
السؤال رقم 1 - أوجد قيمة x و y في المثلث التالي.
حل:
لاحظ في المثلث أن الزاوية المعطاة كانت 30 درجة. ما زلنا ننظر إلى المثلث ، لدينا الضلع الذي يقيس x انها ال الساق المعاكسة بزاوية 30 درجة والجانب الذي يقيسه ذ انها ال الساق المجاورة بزاوية 30 درجة. وبالتالي ، يجب أن نبحث عن النسبة المثلثية التي تربط ما نبحث عنه بما هو معطى (الوتر). هكذا:
الخطيئة 30 درجة = الجانب المعاكس
الوتر
cos 30 درجة = القطة المجاورة
الوتر
تحديد قيمة x:
الخطيئة 30 درجة = الجانب المعاكس
الوتر
الخطيئة 30 درجة = x
2
بالنظر إلى الطاولة ، علينا:
الخطيئة 30 درجة = 1
2
باستبدالها في المعادلة ، سيكون لدينا:
1 = x
2 2
س = 1
وبالمثل ، سوف ننظر
هكذا:
كوس 30 درجة = √3
2
cos 30 درجة = القطة المجاورة
الوتر
cos 30 درجة = ص
2
√3 = ص
2 2
ص = -3
السؤال 2 - (PUC-SP) ما هي قيمة x في الشكل التالي؟
حل:
بالنظر إلى المثلث الأكبر ، لاحظ أن y يقابل الزاوية 30 ° وأن 40 هو الوتر ، أي يمكننا استخدام نسبة الجيب المثلثية.
الخطيئة 30 درجة = ص
40
1 = ص
2 40
2 ص = 40
ص = 20
الآن بالنظر إلى المثلث الأصغر ، نرى أن لدينا قيمة الضلع المقابل ونبحث عن قيمة x ، وهو الضلع المجاور. العلاقة المثلثية التي تتضمن هذين الساقين هي الظل. هكذا:
tg 60 درجة = 20
x
√3= 20
x
√3 س = 20
س = 20 · √3
√3 √3
س = 20√3
3
بواسطة روبسون لويز
مدرس مادة الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente-angulos.htm
