المعادلة: ما هي ، المفاهيم الأساسية ، الأنواع ، الأمثلة

واحد معادلة هي جملة رياضية لها مساواة وواحدة على الأقل غير معروفة ، أي عندما يكون لدينا مشاركة في التعبير الجبري والمساواة. تتطلب دراسة المعادلات معرفة مسبقة ، مثل دراسة تعابير رقمية. الغرض من المعادلة هو ابحث عن القيمة المجهولة الذي يحول المساواة إلى هوية ، أي مساواة حقيقية.

اقرأ أيضا:العمليات مع الكسور - كيف تحسب؟

المفاهيم الأساسية لدراسة المعادلة

المعادلة هي جملة رياضية لها أ غير معروف، على الأقل ، وأ المساواة ويمكننا تصنيفها بعدد المجهول. انظر بعض الأمثلة:

أ) 5 طن - 9 = 16

المعادلة لها مجهول ممثلة بالحرف ر.

ب) 5 س + 6 ص = 1

تحتوي المعادلة على مجهولين ، يتم تمثيلهما بالحروف x و ذ.

ج) ر⁴ - 8 ز = س

تحتوي المعادلة على ثلاثة مجاهيل ممثلة بالحروف نعم،ض و x.

مهما كانت المعادلة ، يجب أن نأخذ في الاعتبار مجموعة الكون ،يتكون من جميع القيم الممكنة التي يمكننا تخصيصها للمجهول، يتم تمثيل هذه المجموعة بالحرف يو.

• مثال 1

ضع في اعتبارك المعادلة x + 1 = 0 وحلها المحتمل x = –1. الآن ضع في اعتبارك أن مجموعة الكون من المعادلة هي طبيعي.

لاحظ أن الحل المفترض لا ينتمي إلى مجموعة الكون ، لأن عناصره هي جميع القيم الممكنة التي يمكن أن يأخذها المجهول ، لذا فإن x = –1 ليس هو حل المعادلة.

بالطبع ، كلما زاد عدد المجهول ، زادت صعوبة تحديد الحل الخاص بك. ال المحلول أو مصدر المعادلة هي مجموعة جميع القيم التي ، عند تعيينها للمجهول ، تجعل المساواة صحيحة.

• مثال 2

ضع في اعتبارك المعادلة غير المعروفة 5x - 9 = 16 ، تحقق من أن x = 5 هو الحل أو جذر المعادلة.

بحيث يمكن قول ذلك س = 5 هو حل المعادلة ، يجب أن نستبدل هذه القيمة في التعبير ، إذا وجدنا مساواة حقيقية ، فسيكون الرقم هو الحل المختبَر.

5x – 9 = 16

5(5) – 9 = 16

25 – 9 = 16

16 = 16

تأكد من أن المساواة الموجودة صحيحة ، لذلك لدينا هوية والرقم 5 هو الحل. لذلك يمكننا القول أن مجموعة الحلول معطاة من خلال:

S = {5}

• مثال 3

ضع في اعتبارك المعادلة t² = 4 وتحقق مما إذا كانت t = 2 أو t = –2 هي حلول للمعادلة.

وبالمثل ، يجب أن نستبدل قيمة t في المعادلة ، ومع ذلك ، لاحظ أن لدينا قيمتين للمجهول ، وبالتالي يجب علينا إجراء التحقق في خطوتين.

الخطوة 1 - بالنسبة إلى t = 2

ر²= 4

2² = 4

4 = 4

الخطوة 2 - بالنسبة إلى t = –2

ر² = 4

(–2)² = 4

4 = 4

انظر إلى أن t = 2 و t = - 2 نجد متطابقة ، لذلك هاتان القيمتان هما حلان للمعادلة. وبالتالي ، يمكننا القول أن مجموعة الحلول هي:

S = {2 ، –2}

أنواع المعادلات

يمكننا أيضًا تصنيف معادلة حسب الموضع الذي يشغله المجهول. انظر الأنواع الرئيسية:

• معادلات كثيرة الحدود

في معادلات كثيرة الحدود تتميز بوجود كثير حدود يساوي صفر. انظر بعض الأمثلة:

ال) 6ر³+ 5ر²–5ر = 0

الارقام6, 5 و –5 هي معاملات المعادلة.

ب) 9x – 9= 0

الارقام 9 و – 9 هي معاملات المعادلة.

ج) ذ²– ذ – 1 = 0

الارقام 1, – 1 و – 1 هي معاملات المعادلة.

• درجات المعادلة

يمكن تصنيف المعادلات متعددة الحدود حسب درجتها. وكذلك كثيرات الحدود، يتم إعطاء درجة المعادلة متعددة الحدود بواسطة أعلى قوة لها معامل غير صفري.

من الأمثلة السابقة أ ، ب ، ج ، لدينا أن درجات المعادلات هي:

أ) 6ر³ + 5 طن² –5t = 0 → معادلة متعددة الحدود لـ الدرجة الثالثة

ب) 9x - 9 = 0 → معادلة متعددة الحدود لـ الدرجة الأولى

ç) ذ² - ص - 1 = 0 ← معادلة متعددة الحدود لـ المدرسة الثانوية

اقرأ أيضا: معادلة من الدرجة الثانيةش: كيف تحسب ، أنواع ، أمثلة

• المعادلات المنطقية

تتميز المعادلات العقلانية بامتلاكها المجهول في مقام أ جزء. انظر بعض الأمثلة:

اقرأ أيضا: ما هي الأعداد المنطقية؟

• معادلات غير منطقية

في معادلات غير منطقية تتميز بامتلاكها مجهول داخل جذر ن، أي داخل جذري له مؤشر n. انظر بعض الأمثلة:

• المعادلات الأسية

في المعادلات الأسية لديك المجهول الموجود في الأس من أ الفاعلية. انظر بعض الأمثلة:

• معادلة لوغاريتمية

في المعادلات اللوغاريتمية تتميز بوجود واحد أو أكثر من المجهول في جزء ما من اللوغاريتم. سنرى أنه عند تطبيق تعريف اللوغاريتم تقع المعادلة في بعض الحالات السابقة. انظر بعض الأمثلة:

نرى أيضا: معادلة من الدرجة الأولى مع مجهول

كيف تحل معادلة؟

لحل معادلة ، يجب علينا دراسة الأساليب المستخدمة في كل نوع، أي لكل نوع من المعادلات ، هناك طريقة مختلفة لتحديد الجذور الممكنة. لكن كل هذه الأساليب مشتق من مبدأ التكافؤمع إمكانية حل الأنواع الرئيسية من المعادلات.

• مبدأ التكافؤ

مبدأ التكافؤ الثاني ، يمكننا أن نعمل بحرية على جانب واحد من المساواة طالما أننا نفعل الشيء نفسه على الجانب الآخر من المساواة. لتحسين التفاهم ، سنسمي هذه الجوانب.

لذلك ، ينص مبدأ التكافؤ على أنه ممكن تعمل على الطرف الأول بحرية طالما أن نفس العملية تتم على العضو الثاني.

من أجل التحقق من مبدأ التكافؤ ، ضع في اعتبارك المساواة التالية:

5 = 5

لنذهب الان لتضيف على كلا الجانبين الرقم 7 ، ولاحظ أن المساواة ستظل صحيحة:

5 =5

5 + 7= 5 + 7

12 = 12

لنذهب الان طرح او خصم 10 على جانبي المساواة ، لاحظ مرة أخرى أن المساواة ستظل صحيحة:

12 = 12

12 – 10 = 12 – 10

2 = 2

نرى أننا نستطيع تتضاعف أو شارك ورفع إلى أ الفاعلية أو حتى استخراج ملف مصدر، طالما يتم ذلك على العضو الأول والعضو الثاني ، فإن المساواة ستظل صحيحة دائمًا.

لحل معادلة ، يجب أن نستخدم هذا المبدأ مع معرفة العمليات المذكورة. من أجل تسهيل تطوير المعادلات ، دعنا نحذف العملية التي أجريت على العضو الأول ، معادلاً القول بأننا نمرر الرقم إلى العضو الآخر ، ونتبادل الإشارة بالعكس.

فكرة تحديد حل المعادلة دائمًا عزل المجهول باستخدام مبدأ التكافؤ، نظرة:

• مثال 4

باستخدام مبدأ التكافؤ ، أوجد مجموعة حل المعادلة 2x - 4 = 8 مع العلم أن مجموعة الكون معطاة بواسطة: U = ℝ.

2 س - 4 = 8

لحل معادلة كثيرة الحدود من الدرجة الأولى ، يجب أن نترك المجهول في العضو الأول معزولًا. لهذا ، سنأخذ الرقم –4 من العضو الأول ، مضيفًا 4 إلى كلا الجانبين ، نظرًا لأن –4 + 4 = 0.

2 س - 4 = 8

2x - 4+ 4 = 8+ 4

2 س = 12

لاحظ أن تنفيذ هذه العملية يعادل ببساطة تمرير الرقم 4 بالإشارة المعاكسة. إذن ، لعزل المجهول x ، لنمرر الرقم 2 إلى العضو الثاني ، لأنه يضرب x. (تذكر: العملية العكسية للضرب هي القسمة). سيكون الأمر مماثلاً لقسمة كلا الطرفين على 2.

لذلك ، يتم تقديم مجموعة الحلول من خلال:

S = {6}

• مثال 5

حل المعادلة 2^{x + 5} = 128 مع العلم أن مجموعة الكون مُعطاة بواسطة U = ℝ.

لحل المعادلة الأسية ، دعنا أولاً نستخدم ما يلي خاصية التقوية:

ال^{م + ن} = ال^م · أ^لا

سنستخدم أيضًا حقيقة أن 2² = 4 و 2⁵ = 32.

2^{x + 5} = 128

2^x · 2⁵ = 128

2^x · 32 = 128

لاحظ أنه من الممكن قسمة كلا الطرفين على 32 ، أي تمرير الرقم 32 إلى العضو الثاني عن طريق القسمة.

لذلك علينا:

2^x = 4

2^x = 2²

القيمة الوحيدة لـ x التي تحقق المساواة هي الرقم 2 ، لذا فإن x = 2 ومجموعة الحلول تعطى بواسطة:

S = {2}

المعادلات موجودة في العديد من مجالات العلوم.

تمارين حلها

السؤال رقم 1 - النظر في مجموعة الكون U = ℕ وتحديد حل المعادلة غير المنطقية التالية:

القرار

لحل هذه المعادلة ، يجب أن نهتم بإزالة جذر العضو الأول. لاحظ أنه ، لهذا ، نحتاج إلى رفع العضو الأول إلى نفس فهرس الجذر ، أي إلى المكعب. وفقًا لمبدأ التكافؤ ، يجب أيضًا رفع العضو الثاني من المساواة.

لاحظ أنه يجب علينا الآن حل معادلة كثيرة الحدود من الدرجة الثانية. دعنا نمرر الرقم 11 إلى العضو الثاني (اطرح 11 على طرفي المساواة) ، من أجل عزل x المجهول.

x² = 27 – 11

x² = 16

الآن لتحديد قيمة x ، لاحظ أن هناك قيمتين تحققان المساواة ، x '= 4 أو x' = –4 ، بمجرد:

4² = 16

و

(–4)² = 16

ومع ذلك ، لاحظ في بيان السؤال أن مجموعة الكون المعطاة هي مجموعة الأعداد الطبيعية ، وأن العدد –4 لا ينتمي إليها ، وبالتالي ، يتم تقديم مجموعة الحلول من خلال:

S = {4}

السؤال 2 - النظر في معادلة كثيرة الحدود x² + 1 = 0 مع العلم أن مجموعة الكون معطاة بواسطة U = ℝ.

القرار

لمبدأ التكافؤ ، اطرح 1 من كلا العضوين.

x² + 1 – 1= 0 – 1

x² = – 1

لاحظ أن المساواة ليس لها حل ، لأن مجموعة الكون هي الأرقام الحقيقية ، أي كل القيم التي يمكن أن يفترضها المجهول حقيقية ، ولا يوجد رقم حقيقي يكون عند تربيعه نفي.

1² = 1

و

(–1)² = 1

لذلك ، لا يوجد حل للمعادلة في مجموعة القيم الحقيقية ، وبالتالي يمكننا القول إن مجموعة الحلول فارغة.

S = {}

بواسطة روبسون لويز
مدرس مادة الرياضيات