متعددات الوجوه (من اللاتينية بولي - كثير - و هيدرون - الوجه) هي الأرقامثلاثي الأبعاد يتكون من اتحاد المضلعات المنتظمة ، حيث تكون جميع الزوايا متعددة السطوح متطابقة. يشكل اتحاد هذه المضلعات العناصر التي تتكون منها متعدد السطوح ، وهي: الرؤوس, حواف و وجوه. ومع ذلك ، ليس كل شكل ثلاثي الأبعاد هو متعدد السطوح ، ومثال على ذلك الأشكال التي لها وجوه منحنية تسمى أجسام مستديرة.
هناك معادلة رياضية تسمى عناصر متعددة السطوح علاقة أويلر. بالإضافة إلى ذلك ، تنقسم المجسمات المتعددة السطوح إلى مجموعتين: ما يسمى متعددة السطوح محدب و ال غير محدب. بعض متعدد الوجوه يستحق اهتماما خاصا ، ويطلق عليهم متعددات الوجوه لأفلاطون: رباعي الوجوه, المكعب, المجسم الثماني, ثنائي الوجوه و عشروني الوجوه.
اقرأ أيضا: الاختلافات بين الأشكال المسطحة والمكانية
متعدد الوجوه محدب
سيكون متعدد الوجوه محدبًا عند تكوينه المضلعات محدب، حتى يتم قبول الشروط التالية:
- اثنين من المضلعات مطلقا إنهم متحدون المستوى ، أي أنهم لا ينتمون إلى نفس المستوى.
- ينتمي كل جانب من هذه المضلعات إلى مضلعين فقط.
- المستوى الذي يحتوي على أي من هذه المضلعات يترك المضلعات الأخرى في نفس نصف المسافة.
اقرأ أيضا:مجموع الزوايا الداخلية والخارجية لمضلع محدب
عناصر محدب متعدد السطوح
ضع في اعتبارك هذا متعدد السطوح المحدب:
أنت رباعي الأضلاع في الشكل تسمى وجوه من متعدد الوجوه.
أنت خماسيات هي الوجوه وقاعدة متعدد السطوح المسمى متعدد السطوح قاعدة خماسية.
يتم استدعاء الأجزاء التي تشكل كل وجه حواف من متعدد الوجوه.
يتم استدعاء النقاط التي تلتقي فيها الحواف الرؤوس.
سيتم استدعاء قطعة خط JC قطري من متعدد الوجوه ، يُرمز إليه بـ:
نحن نفهم أن JC هو أحد الأقطار قطري من متعدد الوجوه القطعة المستقيمة التي تربط رأسين لا ينتميان إلى نفس الوجه.
لدينا أيضًا زاوية متعددة السطوح ، تتشكل بين الحواف ، ويُشار إليها بـ:
تسمى الزاوية متعددة السطوح a ثلاثي السطوح متي ثلاثة تنشأ الحواف من قمة الرأس. وبالمثل ، يطلق عليه رباعي السطوح قضية أربعة تنشأ الحواف من قمة الرأس ، وما إلى ذلك.
من الآن فصاعدًا ، سنضع بعض الرموز ، وهي:
تعرف أكثر: تخطيط المواد الصلبة الهندسية
خصائص مجسم محدب متعدد السطوح
خاصية 1
مجموع حواف كل الوجوه يساوي ضعف عدد حواف متعدد السطوح.
مثال
متعدد الوجوه له 6 وجوه مربعة. دعنا نحدد عدد الحواف.
وفقًا للخاصية ، فقط اضرب عدد حواف الوجه في عدد الوجوه ، وهذا يساوي ضعف عدد الحواف. هكذا:
خاصية 2
مجموع رؤوس كل الوجوه يساوي مجموع حواف كل الوجوه ، وهو ما يساوي ضعف عدد الأضلاع.
مثال
متعدد الوجوه بخمس زوايا رباعية السطوح و 4 زوايا سداسية السطوح. دعنا نحدد عدد الحواف.
على غرار المثال السابق ، تقول الخاصية الثانية أن مجموع حواف كل الوجوه يساوي ضعف عدد الحواف. عدد الأضلاع مُعطى بحاصل ضرب 5 × 4 و 4 × 6 ، حيث إنهما عبارة عن 5 زوايا رباعية السطوح و 4 زوايا سداسية السطوح. هكذا:
متعدد السطوح مقعرة (غير محدبة)
متعدد الوجوه غير محدب ، أو مقعر ، عندما نأخذ نقطتين على وجوه مختلفة والمستقيم ص الذي يحتوي على هذه النقاط ليست كلها واردة في متعدد الوجوه.
لاحظ أن الخط المستقيم (باللون الأزرق) غير مكتمل في متعدد السطوح ، لذا فإن متعدد السطوح (باللون الوردي) مقعر أو غير محدب.
متعددات الوجوه العادية
نقول أن متعدد السطوح يكون منتظمًا عندما وجوهكم مضلعات منتظمة متساوية مع بعضها البعض ومع الزوايا متعددة السطوح.
انظر بعض الأمثلة:
لاحظ أن كل وجوهك عبارة عن مضلعات منتظمة. تتكون وجوهها من مربعات والحواف كلها متطابقة ، أي أن لها نفس القياس.
اقرأأيضا: ما هي المضلعات المنتظمة والمحدبة؟
علاقة أويلر
يُعرف أيضًا باسم نظرية أويلر ، تم إثبات النتيجة بواسطة Leonhard Euler (1707 - 1783) ويضمن ذلك في كل متعدد السطوح محدب مغلق العلاقة التالية صحيحة:
متعدد السطوح أفلاطون
أي متعدد الوجوه يستوفي الشروط التالية يسمى متعدد السطوح أفلاطون:
علاقة أويلر صحيحة
كل الوجوه لها نفس عدد الحواف
جميع الزوايا متعددة السطوح لها نفس عدد الحواف
ثبت أن هناك فقط خمسة مجسمات منتظمة ومحدبة ، أو متعددات وجوه أفلاطون ، هي:
منتظم رباعي السطوح
رباعي الوجوه له 4 وجوه مثلثة مطابق و 4 زوايا ثلاثية السطوح تتطابق.
سداسي الوجوه العادية
السداسي الوجوه 6 وجوه مربعة مطابق و 8 زوايا ثلاثية السطوح تتطابق.
ثماني السطوح العادية
الثماني له 8 وجوه مثلثة مطابق و 6 زوايا رباعية السطوح تتطابق.
العادية الاثني عشر الوجوه
له 12 وجه خماسي مطابق و 20 زاويةثلاثي السطوح تتطابق.
عشروني الوجوه العادية
عشروني الوجوه لها 20 وجه مثلثي مطابق و 12 زوايا خماسية السطوح تتطابق.
تمارين حلها
1) (العدو) تم قطع جوهرة على شكل متعدد السطوح محدب 32 وجهًا ، 20 منها سداسية الوجوه والباقي خماسي الأضلاع. ستكون هذه الجوهرة هدية لسيدة تحتفل بعيد ميلادها ، وتكمل عمرًا يكون رقمه هو عدد رؤوس هذا متعدد السطوح. هذه السيدة تكمل:
أ) 90 سنة
ب) 72 سنة
ج) 60 سنة
د) 56 سنة
هـ) 52 سنة
حل:
يعطي الملكية 1 من متعددات الوجوه المحدبة نعلم أن:
الآن كيف نعرف عدد الحواف انها ال عدد الوجوه يمكننا استخدام علاقة أويلر.
بما أن العمر الذي تكمله يساوي عدد الرؤوس ، فهذه 60 سنة. البديل ج.
2) (PUC-SP) ما هو عدد الأضلاع في شكل متعدد السطوح محدب ذو أوجه مثلثة حيث يكون عدد الرؤوس ثلاثة أخماس عدد الوجوه؟
أ) 60
ب) 30
ج) 25
د) 20
هـ) 15
حل:
من خصائص متعدد السطوح المحدب وبيان التمرين لدينا:
باستبدال هذه القيم في علاقة أويلر ، لدينا ما يلي:
تنظيم المعادلة السابقة وحل المعادلة في F يتبع ذلك:
باستبدال قيمة عدد الوجوه الموجودة في معادلة الحواف ، سيكون لدينا:
البديل ب
بواسطة روبسون لويز
مدرس مادة الرياضيات