ال تحليل اندماجي هو مجال دراسة في الرياضيات مرتبط بقواعد العد. في بداية القرن الثامن عشر ، تسببت دراسة الألعاب التي تتضمن النرد والبطاقات في تطور كبير لنظريات العد.
عمل التوافقية تمكن من تحقيق حسابات دقيقة بشكل متزايد.المبدأ الأساسي للعد (PFC)والمضروب وأنواع التجميع هي أمثلة على المفاهيم التي تمت دراستها في التحليل التوافقي ، بالإضافة إلى توفيرها أكبر الدقة تساعد لاتطوير مجالات أخرى من الرياضيات ، مثل ال الاحتمال و ا ذات الحدين لنيوتن.
اقرأ أيضا: ترتيب أو çمزيج؟
ما هو التحليل الاندماجي ل؟
يرتبط التحليل التوافقي بعملية العد ، أي أن دراسة هذا المجال من الرياضيات تسمح لنا بتطوير الأدوات التي تساعدنا على الأداء يعد أكثر كفاءة. لنلقِ نظرة على مشكلة عد نموذجية ، انظر:
مثال 1
ضع في اعتبارك ثلاث مدن A و B و C متصلة بواسطة الطرق السريعة R.1، ر2، ر3، ر4 و ر5. حدد عدد الطرق التي يمكننا من خلالها الانتقال من المدينة "أ" إلى المدينة "ج" عبر المدينة "ب".
لاحظ أننا بحاجة إلى مغادرة المدينة "أ" والذهاب إلى المدينة "ب" ، وعندها فقط يمكننا السفر إلى المدينة "ج" ، لذلك دعونا نحلل كل الاحتمالات لتنفيذ الحدث بعد الطرق السريعة.
الطريقة الأولى: ص1 → ص3
الطريقة الثانية: ص1 → ص4
الطريقة الثالثة: ص1 → ص5
الطريقة الرابعة: ص2 → ص3
الطريق الخامس: ص2 → ص4
الطريق السادس: ص2 → ص5
لدينا ست طرق مختلفة للانتقال من المدينة أ إلى المدينة ج عبر المدينة ب. ومع ذلك ، لاحظ أن المشكلة المقترحة بسيطة نسبيًا وأن التحليل الذي تم إجراؤه كان شاقًا إلى حد ما. لذا ، من الآن فصاعدًا ، سنقوم بدراسة أدوات أكثر تعقيدًا تجعل من الممكن حل المشكلات بجهد أقل.
مبدأ العد الأساسي (PFC)
ضع في اعتبارك حدثًا E يمكن إجراؤه في n خطوات مستقلة ومتتالية. الآن ، ضع في اعتبارك أن عدد الاحتمالات لأداء الخطوة الأولى يساوي P.1، تخيل أيضًا أن عدد الاحتمالات لتنفيذ المرحلة الثانية هو P.2وهكذا ، حتى نصل إلى المرحلة الأخيرة ، والتي تحتوي على P.لا الاحتمالات التي يتعين القيام بها.
ينص المبدأ الأساسي للعد (PFC) على أن إجمالي الاحتمالات لعقد الحدث E من خلال:
ص1 · ص2 ·... · صلا
وبالتالي ، يتم إعطاء الإجمالي بواسطة منتج إمكانيات كل خطوة من الخطوات التي تشكل الحدث E. لاحظ أنه من أجل تحديد الاحتمالات الإجمالية لعقد الحدث E ، من الضروري معرفة الاحتمالات الإجمالية لكل مرحلة من المراحل.
مثال 2
لنعد المثال 1 باستخدام مبدأ العد الأساسي.
خذ بعين الاعتبار الصورة في المثال 1.
لاحظ أنه يمكن تشغيل الحدث على مرحلتين ، الأولى تنتقل من المدينة أ إلى المدينة ب ، والثانية تنتقل من المدينة ب إلى المدينة ج. لتنفيذ الخطوة الأولى ، لدينا احتمالان (الطرق R1 و ر2) ، ولتنفيذ المرحلة الثانية ، لدينا ثلاثة احتمالات (R3، ر4 و ر5).
الخطوة الأولى → احتمالان
المرحلة الثانية → ثلاثة احتمالات
بالمبدأ الأساسي للعد ، يجب علينا تتضاعف الاحتمالات الإجمالية لكل خطوة.
2 · 3
6
لذلك ، للانتقال من المدينة أ إلى المدينة ج عبر المدينة ب ، لدينا إجمالي ستة احتمالات.
مثال 3
كم عدد الطرق التي يمكن بها توزيع الميداليات الأولمبية الثلاث في مسابقة دراجة جبلية مع خمسة متنافسين؟
تنظيم توزيع الميداليات هو حدث يمكن القيام به على ثلاث مراحل. الخطوة الأولى هي تحليل الاحتمالات الإجمالية لمن سيحصل على الميدالية الذهبية ، أي ، خمسة الاحتمالات.
الخطوة الثانية هي تحليل احتمالات من سيحصل على الميدالية الفضية ، أي ، أربعة لأن المقام الأول لا يدخل هذا الاختيار. الخطوة الثالثة هي تحليل الاحتمالات الإجمالية لمن سيحصل على الميدالية البرونزية ، أي ، ثلاثة، منذ أن تم اختيار الأولين بالفعل.
الخطوة الأولى → خمسة احتمالات
المرحلة الثانية → أربعة احتمالات
المرحلة الثالثة → ثلاثة احتمالات
لذلك ، وفقًا للمبدأ الأساسي للعد ، لدينا:
5 · 4 · 3
60 إمكانية
نرى أيضا: مبدأ العد الإضافي - اتحاد مجموعة واحدة أو أكثر
عاملي
ا عاملي هي طريقة تحلل عددًا طبيعيًا. لحساب مضروب رقم ما ، ما عليك سوى ضربه في جميع سابقاته حتى الرقم 1. يتم تمثيل العامل بعلامة التعجب - "!".
شاهد بعض الأمثلة حول كيفية حساب عاملي بعض الأرقام.
ال) 2! (يقرأ: عاملين)
للحساب ، ما عليك سوى ضرب الرقم المصاحب للمضروب بكل أسلافه حتى الرقم 1 ، مثل هذا:
2! = 2 ·1 = 2
ب) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
ç) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
د) 1! = 1
رسميًا يمكننا كتابة العامل على النحو التالي:
اعتبر عددًا طبيعيًا ن> 2. يتم الإشارة إلى مضروب n بواسطة n! ويتم الحصول عليها بضرب n بكل أسلافها الصحيحة الموجبة.
لا! = n (n - 1) · (n - 2) · (n - 3) ·... · 1
لاحظ العوامل التالية:
4! و 5!
الآن قم بتطوير كل من:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
لاحظ أنه في تطوير 5! يظهر تطوير 4!. حتى نتمكن من كتابة 5! هكذا:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
مثال 4
حساب مضروب ثانيةعواء:
انظر إلى أن الـ 15! تم تطويره حتى 13!. لاحظ أيضًا أنه في بسط الكسر ، يتم ضرب العناصر ، لذلك يمكننا "قص" 13! ، مما ينتج عنه 15 · 14 فقط.
ملاحظة:0! = 1
أنواع التجميع
بعض مشاكل العد أكثر تعقيدًا ويمكن حلها بسهولة باستخدام أدوات جديدة. تسمى هذه الأدوات بالتجميع لأنها تجمع العناصر بطرق مختلفة ، مما يجعل عملية العد أسهل. هذه المجموعات هي: الترتيب البسيط ، والتبديل ، والجمع البسيط.
ترتيب بسيط
ضع في اعتبارك مجموعة تحتوي على عدد n من العناصر المميزة. دعنا نسميها ترتيب من n العناصر المأخوذة من p إلى p وأي تسلسل مرتبة بواسطة p والعناصر المميزة المختارة من بين العناصر.
وبالتالي ، سيكون عدد المجموعات الفرعية المكونة من عناصر p هو ترتيب n من العناصر المأخوذة من p إلى p. يتم إعطاء الصيغة التي تسمح لنا بحساب عدد الترتيبات من خلال:
مثال 5
احسب قيمة A4,2 + أ5,2.
لحساب قيمة التعبير ، دعنا نحدد كل مصفوفة ثم نجمع هذه القيم معًا. لتحديد قيمة كل صفيف ، يجب أن نستبدل القيم الموجودة في الصيغة.
لاحظ أن n = 4 و p = 2 ، وكلاهما تم استبدالهما في الصيغة. الآن ، علينا حساب قيمة مصفوفة مكونة من خمسة عناصر مأخوذة من اثنين في اثنين.
لذلك علينا أن:
ال4,2 + أ5,2
12 + 20
32
مثال 6
كم عدد الأعداد الطبيعية المميزة المكونة من أربعة أرقام والتي يمكن تكوينها باستخدام الأعداد 2 و 3 و 4 و 5 و 6 و 7 و 8 و 9؟
في هذه المسألة يمكننا استخدام الترتيب البسيط ، منذ 2435 ≠ 4235. سنرى ، في بعض الحالات ، أن ترتيب العناصر لا يفرق بينها ، وبالتالي لا يمكننا استخدام الترتيب.
نظرًا لأننا نريد تحديد إجمالي الأرقام التي يمكن تكوينها ، لاحظ أن إجمالي العناصر يساوي ثمانية، ونريد تجميعها أربعة في أربعة ، لذلك:
تبديل بسيط
ضع في اعتبارك مجموعة تحتوي على n من العناصر. دعنا نسميها تبديل بسيط من ن العناصر كل ترتيب لعدد n من العناصر مأخوذ من n إلى n. لذلك علينا:
حتى لا يكون هناك خلط بين المفاهيم ، دعنا نشير إلى التقليب البسيط لعناصر n بواسطة P.لا. لذلك علينا:
صلا = ن!
مثال 7
احسب ص7 و ص3.
لحساب هذه التباديل ، يجب أن نستبدل القيم الموجودة في الصيغة. نظرة:
ص7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
ص7 = 5040
ص3 = 3 · 2 · 1
ص3 = 6
المثال 8
حدد عدد الجناس الناقصة في كلمة Brazil.
نحن نفهم الجناس الناقص جميع التبديلات الممكنة لأحرف الكلمة ، على سبيل المثال ، "Lisarb" هو a الجناس الناقص من كلمة البرازيل. لتحديد عدد الجناس الناقصة ، يجب أن نحسب تبديل الأحرف في الكلمة ، لذلك علينا:
ص6 = 6!
ص6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
ص6 = 720
لذلك ، فإن كلمة البرازيل بها 720 جناسًا.
الوصول أيضًا إلى: التقليب بالعناصر المتكررة
مزيج بسيط
ضع في اعتبارك مجموعة أ تحتوي على عدد ن من العناصر المميزة. دعنا نسميها مزيج من العناصر n مأخوذة من p إلى p أي مجموعة فرعية من A تتكون من عناصر p. يتم إعطاء صيغة حساب المجموعة من خلال:
المثال 9
احسب توليفة من 10 عناصر مأخوذة من أربعة إلى أربعة.
المثال 10
كم العدد رباعي الأضلاع مميز هل يمكننا تكوين رؤوس عند النقاط A و B و C و D و E و F؟
لاحظ أن الشكل الرباعي ABCD هو نفسه رباعي CDBA في هذا السياق ، لذلك يجب علينا استخدام المجموعة وليس المصفوفات. لدينا إجمالي ست نقاط ونريد أن نجمعها أربع في أربع ، على النحو التالي:
لذلك ، يمكننا تكوين 15 رباعي الأضلاع مميزًا.
التحليل التوافقي والاحتمالية
دراسةال الاحتمال وثيق الصلة بدراسة التحليل التوافقي.. في بعض مشاكل الاحتمالات ، من الضروري تحديد مساحة العينة ، والتي تتكون من مجموعة مكونة من جميع النتائج المحتملة لحدث معين.
في بعض الحالات ، تتم كتابة مساحة العينة E بشكل مباشر جدًا ، كما هو الحال في قلب عملة عادلة ، حيث تكون النتائج المحتملة هي الرؤوس أو الذيل ويُشار إليها على النحو التالي:
ه = {رؤوس ، ذيول}
تخيل الآن الموقف التالي: يتم إلقاء نرد ثلاث مرات متتالية ونحن مهتمون بتحديد مساحة العينة لهذه التجربة. لاحظ أن تدوين كل الاحتمالات لم يعد بالمهمة السهلة ، فنحن بحاجة لاستخدام مبدأ العد الأساسي (PFC). يمكن تأدية الحدث على ثلاث مراحل ، في كل منها ستة احتمالات ، لأن النرد له ستة وجوه ، على النحو التالي:
المرحلة الأولى → ستة احتمالات
المرحلة الثانية → ستة احتمالات
المرحلة الثالثة → ستة احتمالات
بواسطة PFC ، لدينا أن إجمالي الاحتمالات هو:
6 · 6 · 6
216
يمكننا القول إن مساحة العينة لهذا الحدث هي 216.
انظر إلى ذلك من أجل دراسة الاحتمالية مطلوب معرفة أساسية بالتحليل التوافقي.، لأنه بدون تحديد مساحة العينة للتجربة ، من المستحيل حل الغالبية العظمى من تمارين الاحتمالية. لمزيد من التفاصيل حول هذا المجال من الرياضيات ، اقرأ النص:احتمالا.
تمارين حلها
السؤال رقم 1 - تحديد عدد الجناس الناقصة لكلمة القلعة. ثم حدد عدد الجناس الناقصة التي تبدأ بالحرف ج.
القرار
لتحديد عدد الجناس الناقصة ، يجب أن نحسب تبديل عدد الأحرف ، مثل هذا:
ص7 = 7!
ص7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
ص7 = 5040
تحتوي الكلمة على 5040 جناسًا. الآن ، لتحديد عدد الجناس الناقصة التي تبدأ بالحرف c ، يجب أن نصلح الحرف ونحسب الجناس الناقص للآخرين ، انظر:
ج__ __ __ __ __ __
عندما نصلح الحرف c ، لاحظ أن هناك ستة حقول متبقية لحساب التقليب ، مثل هذا:
ص6 = 6!
ص6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
ص6 = 720
إذن لدينا 720 جناسًا لكلمة قلعة تبدأ بالحرف c.
السؤال 2 - يوجد في الفصل خمسة رجال وسبع نساء. كم عدد المجموعات التي يمكن تشكيلها من ثلاثة رجال وأربع نساء؟
القرار
أولاً ، لاحظ أن الترتيب الذي نختار به الأشخاص لا يهم ، على سبيل المثال المجموعة التي شكلها João ، ماركوس وخوسيه هي نفس المجموعة التي شكلها ماركوس وجواو وخوسيه ، لذلك ، يجب علينا استخدام المجموعة من أجل عملية حسابية.
دعونا نحسب بشكل منفصل عدد المجموعات التي يمكن تشكيلها من قبل الرجال والنساء ، وفي ثم دعونا نضرب هذه النتائج ، لأن كل مجموعة من الرجال يمكن أن تختلط مع كل مجموعة امرأة.
رجال
المجموع → 5
الكمية في المجموعة → 3
نساء
المجموع → 7
الكمية في المجموعة → 4
لذلك فإن إجمالي عدد المجموعات التي يمكن أن تتكون من ثلاثة رجال وأربع نساء هو:
ج5,3 · ج7,4
10 · 35
350
بواسطة روبسون لويز
مدرس مادة الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/analise-combinatoria.htm
