فهم مجموعات هو الأساس الرئيسي لدراسة الجبر ومفاهيم ذات أهمية كبيرة في الرياضيات ، مثل المهام وعدم المساواة. دائمًا ما يكون الترميز الذي نستخدمه للمجموعات حرفًا كبيرًا من الأبجدية (مثل المجموعة أ أو المجموعة ب).
من ناحية تمثيل مجموعات ، يمكن أن يتم ذلك عن طريق مخطط فين، ببساطة عن طريق وصف خصائص عناصرها ، من خلال تعداد العناصر أو من خلال وصف خصائصها. عند التعامل مع المشكلات التي تتضمن مجموعات ، هناك مواقف تتطلب أداء عمليات بين المجموعاتكونه الاتحاد والتقاطع والاختلاف. هل سنقوم بدراسة كل هذا بالتفصيل؟
نرى أيضا: التعبيرات الرقمية - تعلم كيفية حلها!
تدوين وتمثيل المجموعات
لتمثيل مجموعة ، نستخدم دائمًا حرف الأبجدية الكبيرة، والعناصر موجودة دائمًا بين مفاتيح ومفصولة بفاصلة. لتمثيل مجموعة الأرقام الزوجية الأكبر من 1 وأقل من 20 ، على سبيل المثال ، نستخدم الترميز التالي: P = {2،4،6،8،10،12،14،16،18}.
أشكال تمثيل المجموعات
التمثيل بالعد: يمكننا تعداد عناصرها ، أي عمل قائمة ، دائمًا بين الأقواس. شاهد مثالاً:
أ = {1،5،9،12،14،20}
وصف الميزات: يمكننا ببساطة وصف خصائص المجموعة. على سبيل المثال ، لنفترض أن X مجموعة ، فلدينا أن X = {x عدد موجب مضاعف لـ 5} ؛ Y: هي مجموعة أشهر السنة.
مخطط فين: يمكن أيضًا تمثيل المجموعات في شكل مخطط ، يُعرف باسم أ مخطط فين، وهو تمثيل أكثر كفاءة لأداء العمليات.
مثال:
بالنظر إلى المجموعة أ = {1،2،3،4،5} ، يمكننا تمثيلها في مخطط فين التالي:
عناصر علاقة المجموعة والعضوية
بالنظر إلى أي عنصر ، يمكننا القول أنه العنصر ينتمي إلى المجموعة أو لا ينتمي لتلك المجموعة. لتمثيل علاقة العضوية هذه بشكل أسرع ، نستخدم الرموز
(يُقرأ على أنه انتماء) و ∉ (يُقرأ على أنه لا ينتمي). على سبيل المثال ، لنفترض أن P هي مجموعة أرقام الزوج، يمكننا القول إن 7 ∉ P و 12 ص.
مساواة المجموعات
المقارنة بين المجموعات أمر لا مفر منه ، لذلك يمكننا القول إن مجموعتين متساويتين أم لا ، والتحقق من كل عنصر من عناصرها. لنفترض أن A = {0،1،3،4،8} و B = {8،4،3،1،0} ، حتى لو كانت العناصر بترتيب مختلف ، يمكننا القول أن المجموعتين A و B متساويتان: أ = ب.
علاقة الدمج
عند المقارنة بين مجموعتين ، يمكننا أن نصادف عدة علاقات ، إحداها هي علاقة الدمج. بالنسبة لهذه العلاقة ، نحتاج إلى معرفة بعض الرموز:
⊃ → يحتوي على ⊂→ تم احتواؤه
⊅ → لا يحتوي على ⊄→لا يتم احتواؤه
نصيحة: سيواجه الجانب الافتتاحي من الرمز المجموعة الأكبر دائمًا. |
عندما تنتمي جميع عناصر المجموعة A أيضًا إلى المجموعة B ، فإننا نقول ذلك ⊂ B أو أن A موجود في B. على سبيل المثال ، أ = {1،2،3} و ب = {1،2،3،4،5،6}. من الممكن أيضًا أداء التمثيل بواسطة مخطط فين, سيبدو مثل هذا:
أ وارد في ب:
أ ⊂ ب
مجموعات فرعية
عندما علاقة التضمين، أي أن المجموعة أ موجودة في المجموعة ب ، يمكننا القول أن أ مجموعة فرعية من ب. تبقى المجموعة الفرعية مجموعة ، و يمكن أن تحتوي المجموعة على مجموعات فرعية متعددة، مبنية من العناصر التي تنتمي إليها.
على سبيل المثال: A: {1،2،3،4،5،6،7،8} بها مجموعات فرعية المجموعات B: {1،2،3}؛ ج: {1،3،5،7} ؛ D: {1} وحتى المجموعة A {1،2،3،4،5،6،7،8} ، أي ، A هي مجموعة فرعية من نفسها.
مجموعة وحدوية
كما يوحي الاسم بالفعل ، هذا هو ما يحدد ذلك يحتوي على عنصر واحد فقط، مثل المجموعة D: {1} الموضحة سابقًا. بالنظر إلى المجموعة ب: {1،2،3} ، لدينا المجموعات الفرعية {1} و {2} و {3} ، وهي جميع مجموعات الوحدات.
الانتباه: المجموعة E: {0} هي أيضًا مجموعة أحادية ، حيث تحتوي على عنصر واحد ، "0" ، وهي ليست مجموعة فارغة.
اقرأ أيضا: مجموعة من الأعداد الصحيحة - العناصر والخصائص
مجموعة فارغة
مع وجود اسم موحي أكثر ، لا تحتوي المجموعة الفارغة على عناصر وهي مجموعة فرعية من أي مجموعة. لتمثيل المجموعة الفارغة ، يوجد تمثيلان محتملان ، هما V: {} أو الرمز Ø.
مجموعات الجزء
نحن نعرف كمجموعات من الأجزاء جميع المجموعات الفرعية الممكنة لمجموعة معينة. دعنا أ: {1،2،3،4} ، يمكننا سرد جميع المجموعات الفرعية لهذه المجموعة أ بدءًا من المجموعات التي لا تحتوي على عناصر (فارغة) ثم العناصر التي تحتوي على عنصر واحد واثنين وثلاثة وأربعة ، على التوالى.
مجموعة فارغة: { };
مجموعات الوحدة: {1}; {2};{3}; {4}.
مجموعات مع عنصرين: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
مجموعات مع ثلاثة عناصر: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
مجموعة من أربعة عناصر: {1,2,3,4}.
لذلك ، يمكننا وصف مجموعة أجزاء A بهذه الطريقة:
P: {{} ، {1} ، {2} ، {3} ، {4} ، {1 ، 2} ، {1،3} ، {1،4} ، {2،3} ، {2،4 } ، {3،4} ، {1،2،3} ، {1،3،4} ، {1،2،4} ، {2،3،4} ، {1،2،3،4}}
لمعرفة عدد الأجزاء التي يمكن تقسيم مجموعة ، نستخدم الصيغة:
ن [P (A)] = 2لا
يتم حساب عدد أجزاء A بواسطة أ الفاعلية رفعت القاعدة 2 إلى لاعلى ماذا لا هو عدد العناصر في المجموعة.
ضع في اعتبارك المجموعة أ: {1،2،3،4} ، التي تتكون من أربعة عناصر. إجمالي المجموعات الفرعية المحتملة لهذه المجموعة هو 24 =16.
اقرأ أيضا: ما هي مجموعة الأعداد غير النسبية؟
مجموعة محدودة ولانهائية
عند العمل مع مجموعات ، نجد مجموعات محدود (محدود) وأولئك الذين هم غير محدود (لانهائي). طقم من الأرقام الزوجية أو الفردية، على سبيل المثال ، لانهائية ، ولتمثيلها ، نصف بعض عناصرها بالتسلسل ، بحيث يكون من الممكن التنبؤ بما ستكون عليه العناصر التالية ، ونضع علامات الحذف في نهائي.
أنا: {1،3،5،7،9،11 ...}
ف: {2،4،6،8،10 ، ...}
ومع ذلك ، في مجموعة محدودة ، لا نضع علامات الحذف في النهاية ، لأن لها بداية ونهاية محددين.
ج: {1،2،3،4}.
مجموعة الكون
ا مجموعة الكون، التي يرمز إليها يو، يتم تعريفها على أنها المجموعة المكونة من جميع العناصر التي يجب أخذها في الاعتبار ضمن المشكلة. كل عنصر ينتمي إلى مجموعة الكون وكل مجموعة موجودة في مجموعة الكون.
عمليات مع مجموعات
العمليات مع المجموعات هي: الاتحاد والتقاطع والاختلاف.
تقاطع المجموعات
يحدث التقاطع عندما تنتمي العناصر في وقت واحد إلى مجموعة واحدة أو أكثر. عند كتابة A∩B ، نبحث عن العناصر التي تنتمي إلى كل من المجموعة A والمجموعة B.
مثال:
ضع في اعتبارك أ = {1،2،3،4،5،6} و ب = {2،4،6،7،8} ، العناصر التي تنتمي إلى كل من المجموعة أ والمجموعة ب هي: A∩B = {2 ، 4،6}. يتم تمثيل هذه العملية على النحو التالي:
A∩B
عندما لا تحتوي المجموعات على أي عناصر مشتركة ، تُعرف باسم مجموعات منفصلة.
A∩B = Ø
الفرق بين المجموعات
احسب الفرق بين مجموعتين هو البحث عن العناصر التي تنتمي إلى مجموعة واحدة فقط من المجموعتين. على سبيل المثال ، يحتوي A - B كإجابة على مجموعة مكونة من عناصر تنتمي إلى المجموعة A ولا تنتمي إلى المجموعة B.
مثال: أ: {1،2،3،4،5،6} و B: {2،4،6،7،8}. لاحظ أن A ∩ B = {2،4،6} ، لذلك لدينا ما يلي:
أ) أ - ب = {1،3،5}
ب) ب - أ = {7،8}
وحدة
اتحاد مجموعتين أو أكثر هو الانضمام لشروطك. إذا كانت هناك عناصر تكررت في كلتا المجموعتين ، فستتم كتابتها مرة واحدة فقط. على سبيل المثال: A = {1،2،3،4،5} and B = {4،5،6،7،10،14}. لتمثيل الاتحاد ، نستخدم الرمز (يقرأ: اتحاد مع B).
أ يو ب = {1،2،3،4،5،6،7،10،14}
لمعرفة المزيد حول هذه العمليات والاطلاع على العديد من التمارين التي تم حلها ، اقرأ: عمليات مع مجموعات.
قوانين مورغان
لنفترض أن A و B مجموعتان وليكن U هو مجموعة الكون ، فهناك خاصيتان تم توفيرهما بواسطة قوانين Morgan ، وهما:
(أ يو ب)ç = أç ∩ بç
(أ ، ب)ç = أç يو بç
مثال:
بالنظر إلى المجموعات:
U: {1،2،3،4،5،6،7،8،9،10،11،12،13،14،15،16،17،18،19،20}
ج: {2،4،6،8،10،12،14،16،18،20}
ب: {5.10،15،20}
دعنا نتحقق من أن (A U B)ç = أç ∩ بç. لذلك علينا أن:
أ يو ب = {2،4،5،6،8،10،12،14،15،16،18،20}
لذلك ، (أ يو ب)ç={1,3,7,9,11,13,17,19}
للتحقق من صحة المساواة ، دعنا نحلل العملية أç ∩ بç:
الç:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
بç:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
ثم، الç ∩ بç ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(أ يو ب)ç = أç ∩ بç
تمارين حلها
01) ضع في اعتبارك U: {1،2،3،4،5،6،7،8،9،10}، A: {1،2،3،4،5،6} and B: {4،5،6، 7،8،9}. أظهر أن (أ ، ب)ç = أç يو بç.
القرار:
الخطوة الأولى: أوجد (أ ∩ ب)ç. لذلك ، لدينا A ∩ B = {4،5،6} ، لذا (A ∩ B)ç ={1,2,3,7,8,9,10}.
الخطوة الثانية: إعثر علىç يو بç. الç: {7،8،9،10} و بç: {1،2،3،10} ، لذا أç يو بç = {1,2,3,7,8,9,19}.
يتضح أن (أ ، ب)ç = أç يو بç.
02) مع العلم أن A هي مجموعة الأعداد الزوجية من 1 إلى 20 ، ما هو العدد الإجمالي للمجموعات الفرعية التي يمكننا تكوينها من عناصر تلك المجموعة؟
القرار:
لنفترض أن P هي المجموعة الموصوفة ، لدينا ذلك P: {2،4،6،8،10،12،14،16،18،20}. إذن ، عدد عناصر P هو 10.
من خلال نظرية مجموعة الأجزاء ، يكون عدد المجموعات الفرعية المحتملة من P هو:
210=1024
بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات
