ما هي المجموعات الرقمية؟

المجموعات العددية هي مجموعات من الأرقام التي لها خصائص متشابهة. لقد ولدوا نتيجة لاحتياجات البشرية في فترة تاريخية معينة. انظر ما هم!

مجموعة الأعداد الطبيعية

طقم من الأعداد الطبيعية كان أول ما سمع. لقد ولدت من مجرد الحاجة إلى القيام بحسابات ، لذا فإن عناصرها مجرد أعداد صحيحة وليست سالبة.

تمثل مجموعة الأعداد الطبيعية التي يمثلها N ، العناصر التالية:

ن = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}

مجموعة من الأعداد الصحيحة

طقم من الأعداد الكلية إنه امتداد لمجموعة الأعداد الطبيعية. يتم تشكيلها من خلال ضم مجموعة الأعداد الطبيعية مع الأعداد السالبة. بمعنى آخر ، فإن مجموعة الأعداد الصحيحة ، التي يمثلها Z ، تحتوي على العناصر التالية:

ض = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

تعيين الأرقام المنطقية

طقم من أرقام نسبية ولد من الحاجة إلى قسمة الكميات. إذن هذه مجموعة الأعداد التي يمكن كتابتها في صورة كسر. ممثلة بـ Q ، تحتوي مجموعة الأرقام المنطقية على العناصر التالية:

س = {x ∈ Q: x = a / b، a Z and b ∈ N}

يقرأ التعريف أعلاه على النحو التالي: x ينتمي إلى الأساس المنطقي ، مثل أن x يساوي ال مقسومًا على ب، مع ال ينتمون إلى الأعداد الصحيحة و ب ينتمون إلى الطبيعة.

بعبارة أخرى ، إذا كان كسرًا أو رقمًا يمكن كتابته في صورة كسر ، فإنه رقم نسبي.

الأرقام التي يمكن كتابتها في صورة كسر هي:

1 - جميع الأعداد الصحيحة ؛

2 - الكسور العشرية المنتهية ؛

3 - العشور الدورية.

الكسور العشرية المحدودة هي تلك التي تحتوي على عدد محدود من المنازل العشرية. يشاهد:

1,1

2,32

4,45

الكسور العشرية الدورية هي أعداد عشرية لا نهائية ، لكنها تكرر التسلسل النهائي لأماكنها العشرية. يشاهد:

2,333333...

4,45454545...

6,758975897589...

مجموعة الأعداد غير النسبية

تعريف أرقام غير منطقية يعتمد على تعريف الأعداد المنطقية. لذلك ، تنتمي جميع الأرقام التي لا تنتمي إلى مجموعة الأسباب المنطقية إلى مجموعة الأرقام غير المنطقية.

بهذه الطريقة ، إما أن يكون الرقم منطقيًا أو غير منطقي. لا توجد إمكانية لأن ينتمي عدد إلى هاتين المجموعتين في وقت واحد. بهذه الطريقة ، تكون مجموعة الأعداد غير المنطقية مكملة لمجموعة الأعداد المنطقية داخل كون الأعداد الحقيقية.

هناك طريقة أخرى لتعريف مجموعة الأعداد غير المنطقية وهي كما يلي: الأعداد غير المنطقية هي تلك لا يمكن كتابتها في شكل كسر. هل هم:

1 - الكسور العشرية اللانهائية

2 - الجذور ليست دقيقة

الكسور العشرية اللانهائية هي أرقام لها منازل عشرية لا نهائية وليست عشورًا دورية. على سبيل المثال:

0,12345678910111213...

π

√2

مجموعة من الأعداد الحقيقية

طقم من أرقام حقيقية يتكون من جميع الأرقام المذكورة أعلاه. يتم تعريفه من خلال الاتحاد بين مجموعة الأرقام المنطقية ومجموعة الأرقام غير المنطقية. يمثلها R ، يمكن كتابة هذه المجموعة رياضياً على النحو التالي:

ر = Q U I = {Q + I}

أنا هي مجموعة الأعداد غير المنطقية. بهذه الطريقة ، جميع الأرقام المذكورة أعلاه هي أيضًا أرقام حقيقية.

مجموعة الأرقام المعقدة

طقم من ارقام مركبة لقد ولدت من الحاجة إلى إيجاد جذور غير حقيقية لمعادلات من الدرجة أكبر من أو تساوي 2. عند محاولة حل معادلة x² + 2x + 10 = 0 ، على سبيل المثال ، من خلال صيغة Bhaskara ، سيكون لدينا:

x² + 2 س + 10 = 0

أ = 1 ، ب = 2 ، ج = 10

? = 2² – 4·1·10

? = 4 – 40

? = – 36

ما معادلات الدرجة الثانية لديهم؟ <0 ليس له جذور حقيقية. للعثور على جذورهم ، تم إنشاء مجموعة الأعداد المركبة ، بحيث √ – 36 = √36 · (–1) = 6 · √– 1 = 6i.

تُعرَّف عناصر مجموعة الأعداد المركبة ، ممثلة بـ C ، على النحو التالي:

z هو عدد مركب إذا كان z = a + bi ، حيث a و b عددان حقيقيان و i = √– 1.

العلاقة بين المجموعات العددية

بعض المجموعات الرقمية هي مجموعات فرعية من مجموعات أخرى. تم تسليط الضوء على بعض هذه العلاقات في جميع أنحاء النص ، ومع ذلك ، سيتم شرحها جميعًا أدناه:

1 - مجموعة الأعداد الطبيعية هي مجموعة فرعية من مجموعة الأعداد الصحيحة ؛

2 - مجموعة الأعداد الصحيحة هي مجموعة فرعية من مجموعة الأعداد المنطقية ؛

3 - مجموعة الأعداد المنطقية هي مجموعة فرعية من مجموعة الأعداد الحقيقية ؛

4 - مجموعة الأعداد غير النسبية هي مجموعة فرعية من مجموعة الأعداد الحقيقية ؛

5 - لا تشترك مجموعة الأعداد غير النسبية ومجموعة الأعداد المنطقية في أي عنصر مشترك ؛

6 - مجموعة الأعداد الحقيقية هي مجموعة فرعية من مجموعة الأعداد المركبة.

بشكل غير مباشر ، من الممكن إقامة علاقات أخرى. من الممكن أن نقول ، على سبيل المثال ، أن مجموعة الأعداد الطبيعية هي مجموعة فرعية من مجموعة الأعداد المركبة.

من الممكن أيضًا إجراء القراءة المعاكسة للعلاقات المذكورة أعلاه والعلاقات غير المباشرة التي يمكن بناؤها. للقيام بذلك ، يكفي أن نقول ، على سبيل المثال ، أن مجموعة الأعداد الصحيحة تحتوي على مجموعة الأعداد الطبيعية.

باستخدام رموز نظرية المجموعات ، يمكن كتابة هذه العلاقات على النحو التالي:

بقلم لويز باولو موريرا
تخرج في الرياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-conjuntos-numericos.htm