الأعداد الأولية: ما هي ، ما هي ، التمارين

طقم من الأعداد الأولية هو موضوع الدراسة في الرياضيات من اليونان القديمة. لقد ناقش إقليدس ، في عمله الرائع "العناصر" ، الموضوع ، وتمكن من إثبات ذلك جلس إنه لانهائي. كما نعلم ، فإن الأعداد الأولية هي تلك التي تحتوي على الرقم 1 كمقسوم عليه وهي نفسها ، وبالتالي ، إن العثور على أعداد أولية كبيرة جدًا ليس بالمهمة السهلة ، ومنخل إراتوستينس يجعل الأمر سهلاً. لقاء.

الأعداد الأولية بين 1 و 100.

كيف تعرف متى يكون العدد أوليًا؟

نعلم أن العدد الأولي هو aمن لديه مثل مقسم الرقم 1 ونفسه، لذا فإن الرقم الذي في قائمة القواسم الخاصة به يحتوي على أرقام غير 1 ولن يكون في حد ذاته عددًا أوليًا ، انظر:

بإدراج الفواصل 11 و 30 لدينا:

د (11) = {1 ، 11}

د (30) = {1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 6 ، 10 ، 30}

لاحظ أن الرقم 11 يحتوي فقط على الرقم 1 ونفسه كمقسومات ، لذا فإن العدد 11 هو عدد أولي. الآن ، انظر إلى قواسم الرقم 30 ، فهو يحتوي ، بالإضافة إلى الرقم 1 ونفسه ، على الأعداد 2 و 3 و 5 و 6 و 10 بالمقسومات. لذلك، العدد 30 ليس عددًا أوليًا.

→ مثال: ضع قائمة بالأعداد الأولية الأقل من 15.

لهذا ، سنقوم بإدراج قواسم جميع الأعداد بين 2 و 15.

د (2) = {1 ، 2}

د (3) = {1،3}

د (4) = {1، 2، 4}

د (5) = {1 ، 5}

د (6) = {1، 2، 3، 6}

د (7) = {1 ، 7}

د (8) = {1، 2، 4، 8}

د (9) = {1، 3، 9}

د (10) = {1 ، 2 ، 5 ، 10}

د (11) = {1 ، 11}

د (12) = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12}

د (13) = {1 ، 13}

د (14) = {1، 2، 7، 14}

د (15) = {1 ، 3 ، 5 ، 15}

وبالتالي ، فإن الأعداد الأولية الأصغر من 15 هي:

2 و 3 و 5 و 7 و 11 و 13

دعونا نواجه الأمر ، لن تكون هذه المهمة ممتعة للغاية ، على سبيل المثال ، إذا كتبنا جميع الأعداد الأولية بين 2 و 100. لتجنب ذلك ، سوف نتعلم كيفية استخدام غربال إراتوستينس في الموضوع التالي.

لا تتوقف الان... هناك المزيد بعد الإعلان ؛)

منخل إراتوستينس

غربال إراتوستينس هو أ أداة تهدف إلى تسهيل تحديد الأعداد الأولية. يتكون الغربال من أربع خطوات ، ومن الضروري لفهمها أن تضع في اعتبارك معايير القسمة. قبل البدء خطوة بخطوة ، يجب علينا إنشاء جدول من الرقم 2 إلى الرقم المطلوب ، لأن الرقم 1 ليس أوليًا. ثم:

→ الخطوة 1: من معيار القابلية للقسمة على 2 ، لدينا أن جميع الأرقام الزوجية قابلة للقسمة عليها ، أي سيظهر الرقم 2 في قائمة القواسم ، لذلك لن تكون هذه الأرقام أولية ويجب علينا استبعادها من الطاولة. هل هم:

4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …

→ الخطوة 2: من معيار القابلية للقسمة على 3 ، نعلم أن الرقم قابل للقسمة على 3 إذا كان مجموع من ارقامه ايضا. وبالتالي ، يجب استبعاد هذه الأرقام من الجدول ، لأنها ليست أولية لأن هناك رقمًا بخلاف 1 ونفسه في قائمة المقسومات. لذلك ، يجب أن نستبعد الأرقام:

6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …

→ الخطوه 3: من معيار القابلية للقسمة على 5 ، نعلم أن جميع الأرقام المنتهية بـ 0 أو 5 قابلة للقسمة على 5 ، لذلك يجب استبعادها من الجدول.

10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…

→ الخطوة الرابعة: وبالمثل ، يجب أن نستبعد الأرقام التي تعد من مضاعفات الرقم 7 من الجدول.

14, 21, 28, …, 546, …

- بمعرفة منخل إراتوستينس ، دعنا نحدد الأعداد الأولية بين 2 و 100.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

→ ليسوا أبناء عمومة
→ الأعداد الأولية

لذا فإن الأعداد الأولية بين 2 و 100 هي:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}

اقرأ أيضا: حساب MMC و MDC: كيف نفعل ذلك؟

تحلل العامل الرئيسي

ال تحلل العامل الرئيسي يُعرف رسميًا باسم النظرية الأساسية في الحساب. تنص هذه النظرية على أن أي عدد صحيح يختلف عن 0 وأكبر من 1 يمكن تمثيله بحاصل ضرب الأعداد الأولية. لتحديد الشكل المُحلل إلى عوامل لعدد صحيح ، يجب علينا إجراء عمليات تقسيم متتالية حتى نصل إلى النتيجة التي تساوي 1. انظر المثال:

← حدد الصيغة المحللة إلى عوامل للأعداد 8 و 20 و 350.

لتحليل الرقم 8 ، يجب أن نقسمه على أول عدد أولي محتمل ، في هذه الحالة على 2. بعد ذلك ، نقوم بإجراء قسمة أخرى على عدد أولي ممكن ، تتكرر هذه العملية حتى نصل إلى الرقم 1 كإجابة على القسمة. نظرة:

8: 2 = 4

4: 2 = 2

2: 2 = 1

لذلك ، فإن الصيغة المحللة إلى عوامل للرقم 8 هي 2 · 2 · 2 = 2³. لتسهيل هذه العملية ، سوف نعتمد الطريقة التالية:

لذلك ، يمكن كتابة الرقم 8 على النحو التالي: 2³.

← لتحليل الرقم 20 ، سنستخدم نفس الطريقة ، أي: قسّمه على الأعداد الأولية.

لذا فإن الرقم 20 ، في صورته بعد تحليل العوامل ، هو: 2 · 2 · 5 أو 2² · 5.

→ وبالمثل ، سنفعل بالرقم 350.

لذلك ، فإن الرقم 350 ، في صورته بعد التحليل إلى عوامل ، هو: 2 · 5 · 5 · 7 أو 2 · 5² · 7.

نرى أيضا: التدوين العلمي: ما الغرض منه؟

تمارين حلها

السؤال رقم 1 - تبسيط التعبير:

حل

أولًا ، دعنا نحلل التعبير لتسهيل الأمر.

وبالتالي ، 1024 = 2¹⁰، وبالتالي يمكننا استبدال أحدهما بالآخر في تعبير التمرين. هكذا:

بواسطة روبسون لويز
مدرس مادة الرياضيات