المصفوفة المعكوسة: ما هي وكيف تجد التمارين

مفهوم مصفوفة معكوسة يقترب جدًا من مفهوم معكوس الرقم. لنتذكر أن معكوس عدد لا هو الرقم لا^-1، حيث يكون المنتج بين الاثنين مساويًا للعنصر المحايد لـ عمليه الضرب، هذا هو الرقم 1. سابقا معكوس المصفوفة M هو المصفوفة M^-1حيث المنتج M · M^-1 يساوي مصفوفة الهوية أنا_لا، وهو ليس أكثر من العنصر المحايد لضرب المصفوفة.

لكي يكون للمصفوفة معكوس ، يجب أن تكون مربعة ، بالإضافة إلى أن محددها يجب أن يكون مختلفًا عن الصفر ، وإلا فلن يكون هناك معكوس. لإيجاد معكوس المصفوفة ، نستخدم معادلة المصفوفة.

اقرأ أيضا: المصفوفة الثلاثية - نوع خاص من المصفوفة المربعة

لكي يكون للمصفوفة معكوس ، يجب أن تكون مربعة.

مصفوفة الهوية

لفهم معكوس المصفوفة ، من الضروري أولاً معرفة مصفوفة الوحدة. نعرف كمصفوفة متطابقة المصفوفة المربعة I._لا حيث تكون جميع عناصر القطر الرئيسي مساوية لـ 1 والمصطلحات الأخرى تساوي 0.

ال مصفوفة الهوية هي العنصر المحايد للضرب بين المصفوفات.، وهذا هو ، نظرا ل مقر M من الرتبة n ، حاصل الضرب بين المصفوفة M والمصفوفة I_لا تساوي المصفوفة M.

م · أنا_لا = م

كيفية حساب معكوس المصفوفة

لإيجاد معكوس المصفوفة M ، من الضروري حل معادلة مصفوفة:

 مم^-1 = أنا_لا

مثال

أوجد المصفوفة العكسية لـ M.

بما أننا لا نعرف معكوس المصفوفة ، فلنمثل هذه المصفوفة جبريًا:

نحن نعلم أن حاصل الضرب بين هاتين المصفوفتين يجب أن يكون مساويًا لـ I₂:

لنحل الآن معادلة المصفوفة:

من الممكن فصل المشكلة إلى قسمين أنظمة المعادلات. الأول يستخدم العمود الأول من المصفوفة M · M^-1 والعمود الأول من مصفوفة الوحدة. لذلك علينا أن:

لحل النظام ، دعنا نعزل₂₁ في المعادلة II واستبدالها في المعادلة الأولى.

بالتعويض في المعادلة I ، علينا أن:

كيف نجد قيمة₁₁، ثم سنجد قيمة a₂₁:

معرفة قيمة أ₂₁ و ال₁₁، الآن سنجد قيمة المصطلحات الأخرى من خلال إعداد النظام الثاني:

عزل₂₂ في المعادلة الثالثة ، علينا أن:

الثالث₁₂ + الأول₂₂ = 0

ال₂₂ = - الثالث₁₂

الاستبدال في المعادلة الرابعة:

الخامس₁₂ + الثاني₂₂ =1

الخامس₁₂ + 2 · (- الثالث₁₂) = 1

الخامس₁₂ - السادس₁₂ = 1

- أ₁₂ = 1 ( – 1)

ال₁₂ = – 1

معرفة قيمة أ₁₂، سنجد قيمة₂₂ :

ال₂₂ = - الثالث₁₂

ال₂₂ = – 3 · ( – 1)

ال₂₂ = 3

الآن بعد أن عرفنا جميع حدود المصفوفة M.^-1من الممكن تمثيلها:

اقرأ أيضا: جمع وطرح المصفوفات

خصائص المصفوفة العكسية

هناك خصائص ناتجة عن تحديد معكوس المصفوفة.

• الملكية الأولى: معكوس المصفوفة م^-1 تساوي المصفوفة M. دائمًا ما يكون معكوس المصفوفة المصفوفة نفسها ، أي (M^-1)^-1 = م ، لأننا نعلم أن م^-1 · م = أنا_لا، لذلك م^-1 هو معكوس M وكذلك م هو معكوس م^-1.
• الملكية الثانية: معكوس مصفوفة الهوية نفسها: أنا^-1 = أنا ، لأن حاصل ضرب مصفوفة الوحدة في حد ذاته ينتج مصفوفة الوحدة ، أي أنا_لا · أنا_لا = أنا_لا.
• الملكية الثالثة: معكوس حاصل ضرب اثنين من المصفوفاتهل أنت يساوي حاصل ضرب المقلوب:

(م × ح)^-1 = م^-1 · أ^-1.

• الملكية الرابعة: المصفوفة المربعة لها معكوس إذا وفقط إذا كانت محدد يختلف عن 0 ، أي det (M) ≠ 0.

تمارين حلها

1) بالنظر إلى المصفوفة A والمصفوفة B ، مع العلم أنهما مقلوبان ، فإن قيمة x + y هي:

أ) 2.

ب) 1.

ج) 0.

د) -1.

هـ) -2.

القرار:

البديل د.

بناء المعادلة:

أ · ب = أنا 

في العمود الثاني ، الذي يساوي الشروط ، يتعين علينا:

3 س + 5 ص = 0 → (أنا)

2x + 4y = 1 → (II)

عزل x في I:

استبدال في معادلة ثانياً ، علينا أن:

بمعرفة قيمة y ، سنجد قيمة x:

الآن لنحسب x + y:

السؤال 2

تحتوي المصفوفة على معكوس فقط عندما يختلف محددها عن 0. بالنظر إلى المصفوفة أدناه ، ما هي قيم x التي تجعل المصفوفة لا تدعم معكوسًا؟

أ) 0 و 1.

ب) 1 و 2.

ج) 2 و - 1.

د) 3 و 0.

هـ) - 3 و - 2.

القرار:

البديل ب.

بحساب محدد A ، نريد القيم حيث det (A) = 0.

det (A) = x · (x - 3) - 1 · (- 2)

det (A) = x² - 3x + 2

det (A) = x² - 3x + 2 = 0

حل معادلة الدرجة الثانية، يجب علينا:

• أ = 1
• ب = - 3
• ج = 2

Δ = ب² - 4 أ

Δ = (– 3) ² – 4·1·2

Δ= 9 – 8

Δ = 1

بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm