المصفوفة: ما هي ، أنواعها ، عملياتها ، أمثلة

ال مقر يتم استخدامه بشكل شائع لتنظيم البيانات الجدولية لتسهيل حل المشكلات. يتم ترتيب معلومات المصفوفة ، سواء كانت رقمية أم لا ، بدقة في صفوف وأعمدة.

مجموعة المصفوفات المجهزة بعمليات إضافة, الطرح و عمليه الضرب والميزات ، كعنصر محايد ومعكوس ، تشكل بنية رياضية تمكن تطبيقه في مختلف المجالات من هذه المنطقة الكبيرة من المعرفة.

نرى أيضا: العلاقة بين المصفوفة والأنظمة الخطية

تمثيل المصفوفة

قبل البدء في دراسات المصفوفات ، من الضروري إنشاء بعض الرموز المتعلقة بتمثيلاتها. في يتم دائمًا تمثيل المصفوفات بأحرف كبيرة. (أ ، ب ، ج ...) ، مصحوبة بفهارس ، وفيها الرقم الأول يشير إلى عدد الصفوف ، والثاني يشير إلى عدد الأعمدة.

ال عدد الأسطر (الصفوف الأفقية) و الأعمدة (الصفوف العمودية) من المصفوفة تحدد لها ترتيب. المصفوفة A لها ترتيب m في n. يتم استدعاء المعلومات الواردة في المصفوفة عناصر وهي منظمة بين أقواس أو أقواس مربعة أو شريطين عموديين ، انظر الأمثلة:

تحتوي المصفوفة A على صفين وثلاثة أعمدة ، لذا فإن ترتيبها هو اثنان في ثلاثة → A_2x3.

تحتوي المصفوفة B على صف واحد وأربعة أعمدة ، لذا فإن ترتيبها واحد في أربعة ، لذا يطلق عليها مصفوفة الخط → ب_{1 × 4.}

تحتوي المصفوفة C على ثلاثة صفوف وعمود واحد ، وهذا ما يسمى مصفوفة العمود وترتيبها ثلاثة في واحد → ج_{3 × 1.}

يمكننا تمثيل عناصر المصفوفة بشكل عام ، أي يمكننا كتابة هذا العنصر باستخدام التمثيل الرياضي. اسيتم تمثيل العنصر العام بأحرف صغيرة (أ ، ب ، ج ...) ، وكما هو الحال في تمثيل المصفوفات ، فإنه يحتوي أيضًا على فهرس يشير إلى موقعه. يشير الرقم الأول إلى الصف الذي يوجد به العنصر ، ويشير الرقم الثاني إلى العمود الذي يوجد فيه.

بالنظر إلى المصفوفة التالية أ ، سنقوم بسرد عناصرها.

بمراقبة العنصر الأول الموجود في الصف الأول والعمود الأول ، أي في الصف الأول والعمود الأول ، لدينا الرقم 4. لتسهيل الكتابة ، سنشير إليها من خلال:

ال₁₁ → سطر واحد ، العمود الأول

إذن لدينا العناصر التالية للمصفوفة أ_2x3:

ال₁₁ = 4

ال₁₂ =16

ال₁₃ = 25

ال₂₁ = 81

ال₂₂ = 100

ال₂₃ = 9

بشكل عام ، يمكننا كتابة مصفوفة كدالة لعناصرها العامة ، وهذا هو مصفوفة عامة.

يتم تمثيل مصفوفة من صف m و n من الأعمدة بواسطة:

• مثال

حدد المصفوفة أ = [أ_{اي جاي} ]_{2 × 2 ،} التي لديها قانون التدريب التالي ل_{اي جاي} = ي² - 2 ط. من البيانات الموجودة في العبارة ، لدينا أن المصفوفة A من الرتبة اثنين في اثنين ، أي أنها تتكون من سطرين وعمودين ، لذلك:

بالإضافة إلى ذلك ، تم إعطاء قانون تكوين المصفوفة ، أي أن كل عنصر راضٍ عن العلاقة بـ_{اي جاي} = ي² - 2 ط. باستبدال قيم i و j في الصيغة ، لدينا:

ال₁₁ = (1)² - 2(1) = -1

ال₁₂ = (2)² - 2(1) = 2

ال₂₁ = (1)² - 2(2) = -3

ال₂₂ = (2)² - 2(2) = 0

لذلك ، المصفوفة أ هي:

أنواع المصفوفة

تستحق بعض المصفوفات اهتمامًا خاصًا ، انظر الآن هذه أنواع المصفوفات مع الأمثلة.

• مصفوفة مربعة

تكون المصفوفة مربعة عندما تكون المصفوفة عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة. نحن نمثل المصفوفة التي تحتوي على n من الصفوف و n من الأعمدة بواسطة A_لا (يقرأ: المصفوفة المربعة للطلب ن).

في المصفوفات المربعة ، لدينا عنصران مهمان للغاية ، وهما الأقطار: الرئيسية والثانوية. يتكون القطر الرئيسي من عناصر لها مؤشرات متساوية ، أي كل عنصر أ_{اي جاي} مع i = j. يتكون القطر الثانوي من عناصر أ_{اي جاي} مع i + j = n +1 ، حيث n هي ترتيب المصفوفة.

• مصفوفة الهوية

مصفوفة الوحدة هي مصفوفة مربعة بها الكلأنتعناصر قطري رئيسي تساوي 1 و ال عناصر أخرى تساوي 0قانون تشكيلها هو:

نشير إلى هذه المصفوفة بواسطة I ، حيث n هو ترتيب المصفوفة المربعة ، انظر بعض الأمثلة:

• مصفوفة الوحدة

إنها مصفوفة مربعة من الرتبة الأولى ، أي تحتوي على صف وعمود ، وبالتالي ، عنصر واحد فقط.

أ = [-1]_{1 × 1}، ب = أنا₁ = (1)_{1 × 1} و C = || 5 ||_{1 × 1}

هذه أمثلة على المصفوفات الوحدوية ، مع التركيز على المصفوفة B ، وهي أ مصفوفة هوية الوحدة.

• مصفوفة فارغة

يُقال أن المصفوفة لاغية إذا كانت جميع عناصرها تساوي صفرًا. نحن نمثل مصفوفة فارغة من الرتبة m على n على O_مكسن.

المصفوفة O خالية من الترتيب 4.

• المصفوفة المعاكسة

ضع في اعتبارك مصفوفتين متساويتين في الترتيب: A = [a_{اي جاي}]_مكسن و ب = [ب_{اي جاي}]_مكسن. سيتم استدعاء هذه المصفوفات في الاتجاه المعاكس إذا ، وفقط إذا ،_{اي جاي} = -ب_{اي جاي}. هكذا، يجب أن تكون العناصر المقابلة أرقام معاكسة.

يمكننا تمثيل المصفوفة B = -A.

• مصفوفة منقول

مصفوفتان أ = [أ_{اي جاي}]_مكسن و ب = [ب_{اي جاي}]_nxm هم انهم منقول إذا وفقط إذا كان_{اي جاي} = ب_جي ، أي ، بالنظر إلى المصفوفة A ، للعثور على منقولها ، ما عليك سوى أخذ الخطوط كأعمدة.

يتم الإشارة إلى مدور المصفوفة A بالرمز A^تي. انظر المثال:

شاهد المزيد: المصفوفة المعكوسة: ما هي وكيفية التحقق منها

عمليات المصفوفة

تمثيل عام لمصفوفة n x m.

مجموعة المصفوفات لها العمليات أإضافة وضرب محددين بشكل جيد، أي عندما نقوم بتشغيل مصفوفتين أو أكثر ، تظل نتيجة العملية تنتمي إلى مجموعة المصفوفات. لكن ماذا عن عملية الطرح؟ نحن نفهم هذه العملية على أنها معكوس الجمع (المصفوفة المقابلة) ، والتي يتم تعريفها جيدًا أيضًا.

قبل تحديد العمليات ، دعونا نفهم أفكار العنصر المقابل و المساواة في المصفوفات. العناصر المقابلة هي تلك التي تشغل نفس الموضع في مصفوفات مختلفة ، أي أنها موجودة في نفس الصف والعمود. من الواضح أن المصفوفات يجب أن تكون من نفس الترتيب حتى تتواجد العناصر المتطابقة. نظرة:

العنصران 14 و 14 هما عنصران متماثلان لمصفوفتين متقابلتين A و B ، حيث يشغلان نفس الموضع (نفس الصف والعمود).

سيقال إن مصفوفتين متساويتين إذا وفقط إذا كانت العناصر المقابلة متساوية. وبالتالي ، بالنظر إلى المصفوفات A = [a_{اي جاي}]_مكسن و ب = [ب_{اي جاي}]_مكسن، ستكون هذه هي نفسها إذا ، وفقط إذا ،_{اي جاي} = ب_{اي جاي} لأي شخص ي.

• مثال

مع العلم أن المصفوفتين A و B متساويتان ، حدد قيمتي x و t.

نظرًا لأن المصفوفتين A و B متساويتان ، فيجب أن تكون العناصر المقابلة متساوية ، لذلك:

س = -1 و ر = 1

• جمع وطرح المصفوفات

عمليات الجمع والطرح بين المصفوفات إنها بديهية تمامًا ، ولكن يجب أولاً استيفاء شرط. لإجراء هذه العمليات ، من الضروري أولاً التحقق من أن ملف أوامر الصفيف متساوية.

بمجرد التحقق من هذا الشرط ، تتم إضافة وطرح المصفوفة عن طريق إضافة أو طرح العناصر المقابلة من المصفوفات. ضع في اعتبارك المصفوفات A = [a_{اي جاي}]_مكسن و ب = [ب_{اي جاي}]_مكسن، ومن بعد:

أ + ب = [أ_{اي جاي} + ب_{اي جاي}] _مكسن

أ - ب = [أ_{اي جاي} - ب_{اي جاي}] _مكسن

• مثال

ضع في اعتبارك المصفوفتين A و B أدناه ، وحدد A + B و A - B.

اقرأ أيضا: عدد صحيح العمليات

• ضرب عدد حقيقي بالمصفوفة

يتم ضرب عدد حقيقي في مصفوفة (المعروف أيضًا باسم ضرب المصفوفة) بواسطة عدد قياسي بضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في العدد القياسي.

دعونا أ = [أ_{اي جاي}]_مكسن مصفوفة و t رقم حقيقي ، لذلك:

t · A = [t · a_{اي جاي}]_مكسن

انظر المثال:

• ضرب المصفوفة

إن عملية ضرب المصفوفات ليست تافهة مثل جمعها وطرحها. قبل إجراء الضرب ، يجب أيضًا استيفاء شرط فيما يتعلق بترتيب المصفوفات. النظر في المصفوفات أ_مكسن وب_nxr.

لإجراء الضرب ، فإن يجب أن يساوي عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى عدد الصفوف في المصفوفة الثانية. مصفوفة المنتج (التي تأتي من الضرب) لها ترتيب محدد بعدد الصفوف في الأول وعدد الأعمدة في الثاني.

لإجراء الضرب بين المصفوفتين A و B ، يجب أن نضرب كل صف في جميع الأعمدة كما يلي: العنصر الأول من A في العنصر الأول من B ثم يضاف إلى العنصر الثاني من A ويضرب في العنصر الثاني من B ، وهكذا على التوالي. انظر المثال:

اقرأ أيضا: نظرية لابلاس: تعرف كيف ومتى تستخدم

تمارين حلها

السؤال رقم 1 - (يو. و. Londrina - PR) اجعل المصفوفتين A و B ، على التوالي ، 3 x 4 و p x q ، وإذا كانت المصفوفة A · B لها ترتيب 3 × 5 ، فمن الصحيح أن:

أ) ص = 5 و ف = 5

ب) ص = 4 و ف = 5

ج) ص = 3 و ف = 5

د) ص = 3 و ف = 4

هـ) ص = 3 و ف = 3

حل

لدينا البيان أن:

ال_{3 × 4} · ب_pxq = ج_{3 × 5}

من الشرط لمضاعفة مصفوفتين ، لدينا أن المنتج موجود فقط إذا كان عدد الأعمدة في الأولى يساوي عدد الصفوف في الثانية ، لذا ف = 4. ونعلم أيضًا أن مصفوفة حاصل الضرب معطاة بعدد الصفوف في الأول وعدد الأعمدة في الثاني ، لذا ف = 5.

لذلك ، p = 4 و q = 5.

ج: البديل ب

السؤال 2 - (Vunesp) حدد قيم x و y و z ، بناءً على المساواة التالية ، بما في ذلك 2 × 2 من المصفوفات الحقيقية.

حل

دعونا نجري العمليات بين المصفوفات ثم المساواة بينهما.

لتحديد قيمة x و y و z ، سنحل النظام الخطي. في البداية ، دعونا نضيف المعادلتين (1) و (2).

2 س - 4 = 0

2 س = 4

س = 2

بالتعويض عن قيمة x الموجودة في المعادلة (3) ، لدينا:

2² = 2z

2 ز = 4

ض = 2

وأخيرًا ، بالتعويض عن قيم x و z الموجودة في المعادلة (1) أو (2) ، لدينا:

س + ص - ض = 0

2 + ص - 2 = 0

ص = 0

لذلك ، حل المشكلة معطى بواسطة S = {(2، 0، 2)}.

بواسطة روبسون لويز
مدرس مادة الرياضيات