مفاهيم مضاعفات و فواصل من عدد طبيعي تمتد إلى مجموعة الأعداد الكلية. عند التعامل مع موضوع المضاعفات والمقسومات فإننا نشير إليها مجموعات عددية التي تفي ببعض الشروط. يتم العثور على المضاعفات بعد الضرب في الأعداد الصحيحة ، والمقسومات هي أرقام قابلة للقسمة على رقم معين.
لهذا السبب ، سنجد مجموعات فرعية من الأعداد الصحيحة ، حيث أن عناصر مجموعات المضاعفات والمقسومات هي عناصر من مجموعة الأعداد الصحيحة. لفهم ماهية الأعداد الأولية ، من الضروري فهم مفهوم القواسم.
مضاعفات العدد
يكون ال و ب رقمين صحيحين معروفين ، الرقم ال من مضاعفات ب إذا وفقط إذا كان هناك عدد صحيح ك مثل ذلك ال = ب · ك. وهكذا ، فإن مجموعة من المضاعفات في اليتم الحصول عليها عن طريق الضرباللجميع الأعداد الصحيحة، نتائج هذه الضرب هي مضاعفات ال.
على سبيل المثال ، دعنا ندرج أول 12 مضاعفًا للعدد 2. لهذا علينا ضرب الرقم 2 في أول 12 عددًا صحيحًا ، على النحو التالي:
2 · 1 = 2
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
2 · 5 = 10
2 · 6 = 12
2 · 7 = 14
2 · 8 = 16
2 · 9 = 18
2 · 10 = 20
2 · 11 = 22
2 · 12 = 24
لذلك ، مضاعفات 2 هي:
م (2) = {2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10 ، 12 ، 14 ، 16 ، 18 ، 20 ، 22 ، 24}
لاحظ أننا قمنا بإدراج أول 12 رقمًا فقط ، ولكن كان من الممكن أن ندرج أكبر عدد ممكن حسب الحاجة ، نظرًا لأن قائمة المضاعفات تُعطى بضرب رقم في جميع الأعداد الصحيحة. هكذا، مجموعة المضاعفات لانهائية.
للتحقق مما إذا كان الرقم مضاعفًا للآخر أم لا ، يجب أن نجد عددًا صحيحًا بحيث ينتج عن الضرب بينهما الرقم الأول. انظر الأمثلة:
→ الرقم 49 هو من مضاعفات 7 ، لأن هناك عددًا صحيحًا ، مضروبًا في 7 ، ينتج عنه 49.
49 = 7 · 7
← العدد 324 هو من مضاعفات 3 ، حيث يوجد عدد صحيح ، مضروبًا في 3 ، ينتج عنه 324.
324 = 3 · 108
→ الرقم 523 لا هو من مضاعفات 2 لأن لا يوجد عدد صحيح والتي ، بضربها في 2 ، ينتج عنها 523.
523 = 2 · ?
اقرأ أيضا: خواص الضرب التي تسهل الحساب الذهني
مضاعفات 4
كما رأينا ، لتحديد مضاعفات الرقم 4 ، يجب علينا ضرب الرقم 4 في الأعداد الصحيحة. هكذا:
4 · 1 = 4
4 · 2 = 8
4 · 3 = 12
4 · 4 = 16
4 · 5 = 20
4 · 6 = 24
4 · 7 = 28
4 · 8 = 32
4 · 9 = 36
4 · 10 = 40
4 · 11 = 44
4 · 12 = 48
...
لذلك ، مضاعفات 4 هي:
م (4) = {4 ، 8 ، 12 ، 16 ، 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }
مضاعفات العدد 5
وبالمثل ، لدينا مضاعفات العدد 5.
5 · 1 = 5
5 · 2 = 5
5 · 3 = 15
5 · 4 = 20
5 · 5 = 25
5 · 6 = 30
5 · 7 = 35
...
ومن ثم ، فإن مضاعفات العدد 5 هي: م (5) = {5 ، 10 ، 15 ، 20 ، 25 ، 30 ، 35 ، 40 ، 45 ، ...}
فواصل عدد واحد
يكون ال و ب لنفترض رقمين صحيحين معروفين ب هو مقسم ال إذا كان الرقم ب من مضاعفات ال، وهذا هو قطاع ما بين أثنين ب و ال دقيق (يجب المغادرة راحة 0).
انظر بعض الأمثلة:
→ 22 هو من مضاعفات 2 ، إذن 2 هو القاسم على 22.
→ 63 هو مضاعف 3 ، لذا فإن 3 هو مقسوم على 63.
→ 121 ليس من مضاعفات 10 ، لذا فإن 10 ليس مقسومًا على 121.
لسرد القواسم على رقم ، يجب أن نبحث عن الأرقام التي تقسمها. نظرة:
- اكتب المقسمات 2 و 3 و 20.
د (2) = {1 ، 2}
د (3) = {1،3}
د (20) = {1 ، 2 ، 4 ، 5 ، 10 ، 20}
لاحظ أن الأرقام الموجودة في قائمة القواسم قابلة للقسمة دائمًا على الرقم المعني وذاك أعلى قيمة تظهر في هذه القائمة هي الرقم نفسه.، لأنه لا يوجد عدد أكبر منه يقبل القسمة عليه.
على سبيل المثال ، في القواسم على 30 ، أكبر قيمة في هذه القائمة هي 30 نفسها ، حيث لن يقبل القسمة على أي رقم أكبر من 30. هكذا:
د (30) = {1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 6 ، 10 ، 15 ، 30}
تعرف أكثر: حقائق ممتعة حول قسمة الأعداد الطبيعية
ملكية المضاعفات والمقسومات
هذه الخصائص مرتبطة بـ قطاع بين عددين صحيحين. لاحظ أنه عندما يكون عدد صحيح من مضاعفات آخر ، فإنه يمكن أيضًا القسمة على ذلك الرقم الآخر.
ضع في اعتبارك خوارزمية القسمة حتى نتمكن من فهم الخصائص بشكل أفضل.
N = d · q + r ، حيث q و r أعداد صحيحة.
تذكر ذلك ن يسمى من الأرباحد ، للمقسم ؛ف ، للحاصل ؛ و ص ، بالمناسبة.
→ خاصية 1: الفرق بين المقسوم والباقي (N - r) هو مضاعف للمقسوم عليه ، أو الرقم d هو القاسم (N - r).
→ الخاصية 2: (N - r + d) مضاعف d ، أي أن الرقم d هو مقسوم على (N - r + d).
انظر المثال:
- عند قسمة 525 على 8 ، نحصل على حاصل قسمة q = 65 والباقي r = 5. وبالتالي ، لدينا المقسوم N = 525 والمقسوم عليه d = 8. تأكد من استيفاء الخصائص لأن (525-5 + 8) = 528 قابلة للقسمة على 8 و:
528 = 8 · 66
الأعداد الأولية
أنت الأعداد الأولية هي تلك لديك كمقسوم في قائمتهم فقط الرقم 1 والرقم نفسه. للتحقق مما إذا كان الرقم أوليًا أم لا ، فإن إحدى الطرق البسيطة هي سرد مقسوم هذا الرقم. إذا ظهرت الأرقام أكثر من 1 والرقم المعني ، فهذا ليس عددًا أوليًا.
← تحقق من الأعداد الأولية بين 2 و 20. لذلك ، دعنا ندرج قواسم كل هذه الأعداد بين 2 و 20.
د (2) = {1 ، 2}
د (3) = {1،3}
د (4) = {1، 2، 4}
د (5) = {1 ، 5}
د (6) = {1، 2، 3، 6}
د (7) = {1 ، 7}
د (8) = {1، 2، 4، 8}
د (9) = {1، 3، 9}
د (10) = {1، 2، 5، 10}
د (11) = {1 ، 11}
د (12) = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12}
د (13) = {1 ، 13}
د (14) = {1، 2، 7، 14}
د (15) = {1 ، 3 ، 5 ، 15}
د (16) = {1 ، 2 ، 4 ، 16}
د (17) = {1 ، 17}
د (18) = {1 ، 2 ، 3 ، 6 ، 9 ، 18}
د (19) = {1 ، 19}
د (20) = {1 ، 2 ، 4 ، 5 ، 10 ، 20}
إذن ، الأعداد الأولية بين 2 و 20 هي:
{2 و 3 و 5 و 7 و 11 و 13 و 17 و 19}
لاحظ أن المجموعة من بعض الأعداد الأولية ، هذه القائمة تطول. لاحظ أنه كلما زاد الرقم ، أصبح من الصعب معرفة ما إذا كان عددًا أوليًا أم لا.
اقرأ أكثر: الأعداد غير النسبية: تلك التي لا يمكن تمثيلها في كسور
تمارين حلها
السؤال رقم 1 - (UMC-SP) عدد العناصر في مجموعة القواسم الأولية لـ 60 هو:
أ) 3
ب) 4
ج) 5
د) 10
حل
البديل أ
مبدئيًا ، سنكتب مقسومًا على 60 ، ثم ننظر إلى أي منها عدد أولي.
د (60) = {1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 6 ، 10 ، 12 ، 15 ، 20 ، 30 ، 60}
من بين هذه الأرقام ، لدينا عدد أولي:
{2, 3, 5}
إذن ، عدد قواسمه الأولية لـ 60 هو 3.
السؤال 2 - اكتب جميع الأعداد الطبيعية الأقل من 100 ومضاعفات العدد 15.
حل
نعلم أن مضاعفات العدد 15 هي نتيجة ضرب العدد 15 في جميع الأعداد الصحيحة. بما أن التمرين يتطلب كتابة الأعداد الطبيعية الأقل من 100 والتي هي مضاعفات العدد 15 ، فلا بد من ذلك اضرب 15 في كل الأعداد الأكبر من الصفر ، حتى نجد المضاعف الأكبر قبل 100 ، هكذا:
15 · 1 = 15
15 · 2 = 30
15 · 3 = 45
15 · 4 = 60
15 · 5 = 75
15 · 6 = 90
15 · 7 = 105
لذلك ، فإن الأعداد الطبيعية الأقل من 100 ومضاعفات العدد 15 هي:
{15, 30, 45, 60, 75, 90}
السؤال 3 - ما هو أكبر مضاعف للرقم 5 بين 100 و 1001؟
حل
لتحديد أكبر مضاعف للعدد 5 بين 100 و 1001 ، حدد ببساطة المضاعف الأول للعدد 5 من الخلف إلى الأمام.
1001 ليس من مضاعفات الرقم 5 ، حيث لا يوجد عدد صحيح ينتج عنه 1001 ، مضروبًا في 5.
1000 من مضاعفات 5 ، بما أن 1000 = 5.200.
إذن ، أكبر مضاعف للعدد 5 ، بين 100 و 1001 ، هو 1000.
بواسطة روبسون لويز
مدرس مادة الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplos-divisores.htm