الأرقام المنطقية: ما هي ، الخصائص ، الأمثلة

ومن المعروف باسم أ رقم منطقي كل رقم يمكن تمثيله ككسر غير قابل للاختزال. عبر تاريخ البشرية ، تطورت فكرة العدد تدريجياً وفقاً لاحتياجات الإنسان. تمثيل الأعداد في كسور ، على سبيل المثال ، حل المشاكل التي تم حلها فقط مع الأعداد الكلية.

يمكن تمثيل العدد المنطقي من كسر ، لذلك توجد طرق لتحويل الأعداد الصحيحة ، أرقام عشرية الكسور العشرية الدقيقة والدورية في الكسور.

اقرأ أيضا: العمليات مع الكسور - كيف نحل؟

ما هي الأعداد المنطقية؟

الأرقام المنطقية توسيع مجموعة الأعداد الصحيحةثم أضيفت بالإضافة إلى الأعداد الصحيحة كل الكسور. ا جلس من الأرقام المنطقية يتم تمثيلها بواسطة:

ما يقوله هذا التمثيل هو أن الرقم منطقي إذا كان يمكن تمثيله على أنه كسر ال حول ب، مثل ذلك ال هو عدد صحيح و ب هو عدد صحيح غير صفري. ولكن إذا أردنا تحديد الأعداد المنطقية بشكل أقل صرامة ، فيمكننا قول ما يلي:

الأرقام النسبية هي جميع الأرقام التي يمكن تمثيلها في صورة كسر.

تعرف على هذا التعريف:

• أنت أعداد صحيحةs ، على سبيل المثال: -10 ، 7 ، 0 ؛

• أنت الأعداد العشرية الدقيقة، على سبيل المثال: 1.25 ؛ 0,1; 3,1415;

• في العشور الدورية البسيطة، على سبيل المثال: 1.424242… ؛

• في العشور الدورية المركبة، على سبيل المثال: 1.0288888 ...

لا هي أرقام منطقية:

• في العشور غير الدورية، على سبيل المثال: 4،1239489201…؛

• في الجذورليس بالضبط، على سبيل المثال: ;

• ال ضفدعأناض مربع أرقام سالبة، على سبيل المثال: .

ملاحظة: يؤدي وجود الأرقام غير المنطقية إلى ظهور مجموعات أخرى ، مثل الأرقام غير المنطقية و ارقام مركبة.

تمثيل الأعداد المنطقية

فهم أن الكسر هو أ قطاع من عددين صحيحين ، ليكون عددًا نسبيًا ، يمكنك تمثيل هذا الرقم في صورة كسر. لذلك ، يمكن تمثيل كل حالة من الحالات المذكورة أعلاه كأرقام منطقية (أعداد صحيحة وكسور عشرية دقيقة وكسور عشرية دورية) في صورة كسر.

• أعداد صحيحة

هناك احتمالات لا حصر لها لتمثيل عدد صحيح ككسر ، حيث يمكن تمثيل كسر في شكل غير قابل للاختزال أم لا.

أمثلة:

• الكسور العشرية الدقيقة

لتحويل رقم عشري دقيق إلى أ جزء، نحسب عدد الأرقام في الجزء العشري ، أي بعد الفاصلة العشرية. إذا كان هناك رقم بعد الفاصلة ، فسنكتب الجزء الصحيح بالإضافة إلى الجزء العشري بدون الفاصلة فوق 10. إذا كان هناك رقمان في الجزء العشري يزيدان عن 100 ، فمن الناحية العملية ، سيكون مقدار الأرقام في الجزء العشري هو مقدار الأصفار الموجودة في المقام. انظر المثال:

• العشور الدورية

العثور على التمثيل الكسري للعشر ليس دائمًا مهمة سهلة ، ما نسميه توليد جزء. لتسهيل هذا العمل ، لوحظ أنه ، في المعادلة التي استخدمناها لإيجاد الكسر المولّد ، هناك انتظام ، مما سمح بتطوير طريقة عملية.

أولاً ، علينا أن نفهم أن هناك نوعين من العشور الدورية ، بسيطة ومركبة. واحد العشور بسيطة إذا كان ، في الجزء العشري ، هناك فقط الجزء المكرر ، أي الفترة. واحد العشر مركب إذا كان هناك جزء غير دوري في الجزء العشري.

مثال:

9،323232… → نظام عشري دوري بسيط
الجزء الصحيح يساوي 9.
الدورة تساوي 32.

8,7151515… ← العشور الدورية المركبة
الجزء الصحيح يساوي 8.
الجزء العشري غير الدوري يساوي 7.
الفترة تساوي 15.

نرى أيضا: الكسور المتكافئة - الكسور التي تمثل نفس المقدار

→ الحالة الأولى: إنشاء جزء من عدد عشري دوري بسيط

في الحالة الأولى ، إلى تحويل عدد عشري دوري بسيط إلى كسر بالطريقة العملية ، اكتب الجزء بالكامل بالإضافة إلى النقطة بدون الفاصلة في البسط. في المقام ، نضيف 9 لكل عنصر في الجزء الدوري.

مثال:

كسر التوليد 9.323232... ، كما رأينا ، له فترة تساوي 32 ، أي رقمان في هذه الفترة ، وبالتالي فإن المقام هو 99. العدد الصحيح بالإضافة إلى الجزء الدوري بدون فاصلة هو 932 ، وهو البسط. إذن ، الجزء المولِّد لهذا العشر هو:

→ الحالة الثانية: توليد جزء من عدد عشري دوري مركب

العشور المركبة الدورية هي أكثر شاقة بقليل. لنجد الجزء التوليدي للعشر الذي عملنا عليه في المثال.

8,7151515… → مركب عشري دوري.

الجزء الصحيح يساوي 8.

الجزء العشري غير الدوري يساوي 7.

الجزء العشري من الفترة يساوي 15.

سيكون البسط هو الطرح 8715 - 87 ، أي الفرق بين العدد الذي ينتقل من الجزء الكامل إلى الجزء الدوري مع الجزء غير المتكرر من العشور.

البسط سيساوي 8715 - 87 = 8628.

لإيجاد المقام ، دعنا نحلل الجزء العشري. دعونا أولاً نلقي نظرة على الجزء العشري غير الدوري والدوري. في هذه الحالة ، الجزء العشري من الرقم هو 715. لكل رقم موجود في الجزء الدوري ، دعنا نضيف 9 في بداية المقام. نظرًا لأن الجزء الدوري في هذه الحالة يحتوي على رقمين (15) ، فسيكون هناك 9s في المقام. لكل رقم غير دوري في الجزء العشري ، سنضيف a 0 في نهاية المقام الذي سيكون 990.

قريبا توليد جزء من العشور سيكون:

الأعداد النسبية هي كل تلك الأرقام التي يمكن تمثيلها بكسر.

خصائص الأعداد المنطقية

• بين رقمين منطقيين ، سيكون هناك دائمًا رقم نسبي آخر

من المثير للاهتمام التفكير في هذه الخاصية ، التي نوقشت كثيرًا من قبل الشعوب القديمة ، لتصبح مفارقة. باختيار رقمين منطقيين ، سيكون هناك دائمًا رقم بينهما.

مثال:

بين 1 و 2 هناك 1.5 ؛ بين 1 و 1.5 ، هناك 1.25 ؛ بين 1 و 1.25 ، هناك 1.125 وهكذا. بقدر ما اخترت رقمين منطقيين مع اختلاف بسيط بينهما ، فمن الممكن دائمًا العثور على رقم منطقي بينهما. هذه الخاصية تجعل من المستحيل تحديد الخلف والسلف بأرقام منطقية.

• تم إغلاق العمليات الأربع على مجموعة الأعداد المنطقية

نقول أن المجموعة مغلقة من أجل مجموع، على سبيل المثال ، إذا كان مجموع عددين منطقيين يولد دائمًا رقمًا منطقيًا آخر كإجابة. هذا ما يحدث للعمليات الأربع على Q.

ال الجمع والطرح والقسمة والضرب بين رقمين منطقيين سيؤدي دائمًا إلى رقم نسبي. في الواقع ، حتى التقوية من رقم منطقي سيولد دائمًا رقمًا منطقيًا استجابةً لذلك.

مجموعة الأعداد المنطقية ليس مغلقًا على إشعاع. هكذا، مبما أن 2 عدد نسبي ، فإن الجذر التربيعي للعدد 2 هو a عدد غير نسبي.

نرى أيضا: الكسور المتكافئة - الكسور التي تمثل نفس المقدار

مجموعات فرعية من الأرقام المنطقية

نحن نعرف كيف مجموعات فرعية أو علاقة التضمين المجموعات المكونة من العناصر التي تنتمي إلى مجموعة الأرقام المنطقية. هناك العديد من المجموعات الفرعية الممكنة، كمجموعة من الأعداد الصحيحة أو طبيعي، لأن كل عدد صحيح منطقي ، تمامًا كما أن كل عدد طبيعي منطقي.

مجموعات الأعداد الصحيحة والطبيعية واردة في مجموعة الأعداد المنطقية.

مثال:

مجموعة الأعداد الصحيحة: Z = {… -3، -2، -1، 0.1، 2، 3،…}.

عندما يحدث ذلك ، نقول ذلك Z ⸦ Q (يقرأ: Z موجود في Q أو أن مجموعة الأعداد الصحيحة موجودة في مجموعة الأرقام المنطقية.)

هناك بعض الرموز الضرورية لإنشاء مجموعات فرعية من Q ، وهي: + و - و * ، والتي تعني ، على التوالي ، موجبة وسالبة وغير خالية.

أمثلة:

س * → (يقرأ: مجموعة من الأرقام المنطقية غير الصفرية.)

س₊ → (يقرأ: مجموعة من الأرقام المنطقية الإيجابية.)

س_- → (يقرأ: مجموعة من الأرقام المنطقية السالبة.)

س^*₊ → (يقرأ: مجموعة من الأرقام المنطقية الموجبة وغير الصفرية.)

س^*_- → (يقرأ: مجموعة من الأرقام المنطقية السالبة وغير الصفرية.)

لاحظ أن كل هذه المجموعات عبارة عن مجموعات فرعية من Q ، حيث تنتمي جميع العناصر إلى مجموعة الأرقام المنطقية. بالإضافة إلى المجموعات المقدمة ، يمكننا العمل مع عدة مجموعات فرعية في Q ، مثل المجموعة المكونة من الأرقام الفردية ، أو بنات العم، أو أزواج ، أخيرًا ، هناك العديد والعديد من الاحتمالات لمجموعات فرعية.

بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm