كثيرات الحدود: ما هي ، وكيفية حلها ، والأمثلة

نحن نعرف كيف متعدد الحدود تعبير يشير إلى مجموع جبري من المونومرات غير المتشابهة ، أي متعدد الحدود هو واحد تعبير جبري بين مونومال. المونوميوم هو مصطلح جبري له معامل وجزء حرفي.

عندما تكون هناك مصطلحات متشابهة بين كثيرات الحدود ، فمن الممكن تنفيذ تخفيض شروطه بالإضافة و / أو طرح اثنين من كثيرات الحدود. من الممكن أيضًا ضرب اثنين من كثيرات الحدود من خلال خاصية التوزيع. يتم إجراء القسمة باستخدام طريقة المفاتيح.

اقرأ أيضا: معادلة متعددة الحدود - معادلة تتميز بوجود كثير حدود يساوي 0

كثيرات الحدود هي تعبيرات جبرية ذات حدود أحادية مفصولة بالجمع أو الطرح.

ما هي المونومال؟

لفهم ماهية كثير الحدود ، من المهم أولاً فهم معنى المونومال. يُعرف التعبير الجبري بالمونوميوم عندما يكون كذلك الأرقام والحروف وأسسها مفصولة بالضرب فقط. يُعرف الرقم بالمعامل ، وتُعرف الأحرف وأسسها بالجزء الحرفي.

أمثلة:

• 2x² → 2 هو المعامل ؛ x² هو الجزء الحرفي.

• √5ax → √5 هو المعامل ؛ الفأس هو الجزء الحرفي.

• b³yz² → 1 هو المعامل ؛ b³yz² هو الجزء الحرفي.

ما هي كثيرة الحدود؟

كثير الحدود ليس سوى مجموع جبري من مونومال، أي أنها أكثر أحادية مفصولة عن طريق الجمع أو الطرح من بعضها البعض.

أمثلة:

• فأس² + في + 3

• 5c³d - 4ab + 3c²

• -2ab + b - 3xa

بشكل عام ، يمكن أن يكون لكثير الحدود عدة مصطلحات ، ويتم تمثيلها جبريًا بواسطة:

ال_لاx^لا + ال_{(ن -1)} x^{(ن -1)} +… + ال₂x² + أ₁x + أ

نرى أيضا: ما هي أصناف كثيرات الحدود؟

درجة كثيرة الحدود

لإيجاد درجة كثير الحدود ، دعنا نقسمها إلى حالتين ، عندما تحتوي على متغير واحد وعندما تحتوي على متغيرات أكثر. يتم إعطاء درجة كثير الحدود بواسطة درجة أكبر من monomials في كلتا الحالتين.

من الشائع جدًا العمل مع كثير الحدود الذي يحتوي على متغير واحد فقط. عندما يحدث ذلك، ا أكبر مونوميوم الدرجة العلمية مما يدل على الدرجة من كثير الحدود يساوي الأس الأكبر للمتغير:

أمثلة:

كثيرات حدود متغير واحد

أ) 2x² - 3x³ + 5x - 4 → لاحظ أن المتغير هو x ، وأكبر أس لديه هو 3 ، لذلك فهذه هي كثيرة الحدود من الدرجة 3.

ب) 2 ص⁵ + 4y² - 2y + 8 → المتغير y ، وأكبر الأس هو 5 ، لذا فهذه كثيرة الحدود من الدرجة 5.

عندما تحتوي كثير الحدود على أكثر من متغير واحد في أحادية الحدود ، لإيجاد درجة هذا المصطلح ، من الضروري يضيف-إذا الدرجة الأسس لكل من المتغيرات. وبالتالي ، فإن درجة كثير الحدود ، في هذه الحالة ، لا تزال مساوية لدرجة أكبر أحادية الحد ، ولكن من الضروري الحرص على إضافة الأسس لمتغيرات كل مونومال.

أمثلة:

أ) 2xy + 4x²y³ - 5y⁴

عند تحليل الجزء الحرفي لكل مصطلح ، يتعين علينا:

xy → الصف 2 (1 + 1)

x²y³ → الدرجة 5 (2 + 3)

y³ → الصف 3

لاحظ أن الحد الأكبر له درجة 5 ، لذا فهذه متعددة الحدود من الدرجة 5.

ب) 8a²b - ab + 2a²b²

تحليل الجزء الحرفي لكل مونوميوم:

a²b → الصف 3 (2 + 1)

ab² ← الدرجة 2 (1 + 1)

a²b² → الصف الرابع (2 + 2)

وبالتالي ، فإن كثير الحدود لديه الدرجة 4.

مضيفا كثيرات الحدود

الى الجمع بين اثنين من كثيرات الحدود، فلننفذ الحد من monomials مماثلة. يتشابه اثنان من الأحاديات إذا كان لديهم أجزاء حرفية متساوية عندما يحدث هذا ، من الممكن تبسيط كثير الحدود.

مثال:

دع P (x) = 2x² + 4x + 3 و Q (x) = 4x² - 2x + 4. أوجد قيمة الفوسفور (س) + س (س).

2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4

البحث عن مصطلحات متشابهة (لها نفس الأجزاء الحرفية):

2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4

الآن دعنا نضيف الأحاديات المماثلة:

(2 + 4) ײ + (4-2) x + 3 + 4

6 ײ + 2 × +7

الطرح متعدد الحدود

لا يختلف الطرح كثيرًا عن الجمع. التفاصيل المهمة هي ذلك نحتاج أولاً إلى كتابة كثير الحدود المعاكس قبل تبسيط المصطلحات المتشابهة.

مثال:

البيانات: P (x) = 2x² + 4x + 3 and Q (x) = 4x² - 2x + 4. احسب الفوسفور (س) - س (س).

كثير الحدود -Q (x) هو عكس Q (x) ، لإيجاد عكس Q (x) ، ما عليك سوى عكس إشارة كل من شروطها ، لذلك علينا:

-Q (x) = -4x² + 2x - 4

ثم نحسب:

P (x) + (-Q (x))

2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4

عند تبسيط المصطلحات المتشابهة ، لدينا:

(2-4) ײ + (4 + 2) × + (3-4)

-2x² + 6x + (-1)

-2x² + 6x - 1

الضرب متعدد الحدود

لإجراء عملية ضرب اثنين من كثيرات الحدود ، نستخدم المعلومة خاصية التوزيع بين كثيرات الحدود ، مما يؤدي إلى ضرب أحاديات كثير الحدود الأول بتلك الخاصة بالثاني.

مثال:

لنفترض أن P (x) = 2a² + b و Q (x) = a³ + 3ab + 4b². احسب P (x) · Q (x).

P (x) · Q (x)

(2 أ² + ب) (أ³ + 3 أب + 4 ب²)

بتطبيق خاصية التوزيع ، سيكون لدينا:

2 أ² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²

الثاني⁵ + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³

الآن ، إذا كانت موجودة ، فيمكننا تبسيط المصطلحات المتشابهة:

الثاني⁵ + 6a³b + 8 أ² ب² + أب + 3ab² + 4b³

لاحظ أنه تم تمييز الأحاديات المتشابهة فقط باللون البرتقالي ، مع تبسيطها ، سيكون لدينا كثير الحدود التالي كإجابة:

الثاني⁵ + (6 + 1) أ³ب + 8a²b² + 3ab² + 4b³

الثاني⁵ + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³

الوصول أيضًا إلى: كيفية القيام بضرب الكسر الجبري؟

تقسيم متعدد الحدود

أداء تقسيم كثيرات الحدود يمكن أن يكون شاقًا جدًا ، فنحن نستخدم ما يسمى طريقة المفاتيح، ولكن هناك عدة طرق لذلك. قسمة اثنين من كثيرات الحدود هذا ممكن فقط إذا كانت درجة المقسوم عليه أصغر. بقسمة كثير الحدود P (x) على كثير الحدود D (x) ، فإننا نبحث عن كثير الحدود Q (x) ، مثل:

وبالتالي ، من خلال خوارزمية القسمة ، لدينا: P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).

P (x) → المقسوم

D (x) → مقسم

س (س) → حاصل القسمة

R (x) → الباقي

عند تشغيل القسمة ، فإن كثير الحدود P (x) قابل للقسمة على كثير الحدود D (x) إذا كان الباقي صفرًا.

مثال:

لنعمل بقسمة كثير الحدود P (x) = 15x² + 11x + 2 على كثير الحدود D (x) = 3x + 1.

نريد أن نشارك:

(15x² + 11x + 2): (3x + 1)

الخطوة الأولى: نقسم المونوموم الأول من المقسوم على أول المقسوم عليه:

15x²: 3x = 5x

الخطوة الثانية: نضرب 5x · (3x + 1) = 15x² + 5x ونطرح نتيجة P (x). لإجراء عملية الطرح ، من الضروري عكس علامات نتيجة الضرب ، وإيجاد كثير الحدود:

الخطوة الثالثة: نقوم بقسمة الحد الأول من نتيجة الطرح على المصطلح الأول للمقسوم عليه:

6 س: 3 س = 2

الخطوة الرابعة: إذن لدينا (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.

لذلك علينا أن:

س (س) = 5 س + 2

ص (س) = 0

اقرأ أيضا: جهاز Briot-Ruffini العملي - تقسيم كثيرات الحدود

تمارين حلها

السؤال رقم 1 - ماذا يجب أن تكون قيمة m بحيث يكون كثير الحدود P (x) = (m² - 9) x³ + (m + 3) x² + 5x + m له درجة 2؟

أ) 3

ب) -3

ج) ± 3

د) 9

هـ) -9

القرار

البديل أ

لكي تحصل P (x) على الدرجة 2 ، يجب أن يساوي معامل x³ صفرًا ، ويجب أن يكون معامل x² مختلفًا عن الصفر.

لذلك سنفعل:

م² - 9 = 0

م² = 9

م = ± 9

م = ± 3

من ناحية أخرى ، لدينا م + 3 ≠ 0.

إذن م ≠ -3.

وبالتالي ، لدينا كحل للمعادلة الأولى م = 3 أو م = -3 ، ومع ذلك ، بالنسبة للمعادلة الثانية ، لدينا م ≠ -3 ، وبالتالي فإن الحل الوحيد الذي يجعل P (س) لها درجة 2 هو: م = 3.

السؤال 2 - (IFMA 2017) يمكن كتابة محيط الشكل بواسطة كثير الحدود:

أ) 8x + 5

ب) 8x + 3

ج) 12 + 5

د) 12 × + 10

هـ) 12 × + 8

القرار

البديل د

من الصورة ، عندما نحلل الطول والعرض المحددين ، نعلم أن المحيط هو مجموع كل الأضلاع. نظرًا لأن الطول والارتفاع متماثلان ، فإننا نضرب مجموع كثيرات الحدود المعطاة في 2.

2 · (2 ​​س + 1 + 4x + 4) = 2 · (6 س + 5) = 12 س + 10

بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات