العمليات ذات الأعداد المركبة في الشكل المثلثي تسهل الحساب الذي يتضمن عناصر هذه المجموعة. يتم تنفيذ عمليات الضرب والقسمة للمجمعات الموجودة في الشكل المثلثي على الفور تقريبًا ، بينما في الشكل الجبري تتطلب العملية مزيدًا من الحسابات. يتم أيضًا تسهيل تقوية وإشعاع المجمعات في الشكل المثلثي باستخدام صيغ Moivre. دعونا نرى كيف يتم إجراء عملية تأصيل هذه الأرقام:
ضع في اعتبارك أي عدد مركب z = a + bi. الشكل المثلثي لـ z هو:
يتم إعطاء جذور الفهرس n لـ z بواسطة صيغة Moivre الثانية:
مثال 1. أوجد الجذور التربيعية لـ 2i.
الحل: أولاً ، يجب كتابة العدد المركب في الصورة المثلثية.
كل الأعداد المركبة على هيئة z = a + bi. لذلك علينا أن:
نحن نعلم أيضًا أن:
بقيمتي الجيب وجيب التمام يمكننا أن نستنتج ما يلي:
وبالتالي ، فإن الشكل المثلثي لـ z = 2i هو:
الآن ، لنحسب الجذور التربيعية لـ z باستخدام صيغة Moivre.
بما أننا نريد الجذور التربيعية لـ z ، فسنحصل على جذرين متميزين z0 و ض1.
بالنسبة إلى k = 0 ، سيكون لدينا
بالنسبة إلى k = 1 ، سيكون لدينا:
أو
مثال 2. احصل على الجذور التكعيبية لـ z = 1 ∙ (cosπ + i ∙ senπ)
الحل: نظرًا لأن العدد المركب موجود بالفعل في الصورة المثلثية ، فما عليك سوى استخدام صيغة Moivre. من البيان لدينا أن ø = π و | z | = 1. هكذا،
سيكون لدينا ثلاثة جذور مميزة ، z0، ض1 و ض2.
ل k = 0
ل k = 1
أو z1 = - 1 ، بما أن cos π = - 1 و sin π = 0.
ل k = 2
بقلم مارسيلو ريجوناتو
متخصص في الإحصاء والنمذجة الرياضية
فريق مدرسة البرازيل
ارقام مركبة - رياضيات - مدرسة البرازيل
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/radiciacao-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm
