احسب عاملي من عدد يكون منطقيًا فقط عندما نتعامل مع الأعداد الطبيعية. هذه العملية شائعة جدًا في تحليل اندماجي، وتسهيل حساب الترتيبات والتباديل والتوليفات والمشاكل الأخرى التي تنطوي على العد. العامل هو ممثلة بالرمز "!". نعرّفها على أنها ن! (مضروب ن) إلى ضرب n بكل سابقاتها حتى تصل إلى 1. لا! = n · (n - 1) · (n - 2) ·... · 3 · 2 · 1.
اقرأ أيضا: المبدأ الأساسي للعد - المفهوم الرئيسي للتحليل التوافقي
ما هو عاملي؟
العامل هو عملية مهمة للغاية لدراسة وتطوير التحليل التوافقي. في الرياضيات ، الرقم متبوع بـ رمز تعجب (!) يُعرف باسم عاملي ، على سبيل المثال x! (مضروب x).
نعرف كمضروب a عدد طبيعي ال ضرب هذا الرقم في أسلافه باستثناء الصفر، بمعنى آخر:
لا! = n · (n-1) · (n-2)... 3 · 2 · 1 |
من الجدير بالذكر أنه لكي تكون هذه العملية منطقية ، n عدد طبيعيأي أننا لا نحسب مضروب عدد سالب أو حتى رقم عشري أو كسور.
حساب عاملي
لإيجاد مضروب الرقم ، ما عليك سوى حساب حاصل الضرب. لاحظ أيضًا أن العامل هو عملية عندما زيادة قيمة n ، ستزيد النتيجة أيضًا كثيرًا.
أمثلة:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
بحكم التعريف ، لدينا:
0! = 1
1! = 1
عمليات عاملية
لحل عمليات العوامل ، من المهم أن تكون حريصًا على عدم ارتكاب أي أخطاء. عندما سنقوم بإضافة أو طرح أو ضرب عاملين ، من الضروري حساب كل منهما على حدة. فقط القسم لديه طرق محددة لتنفيذ التبسيط. لا تخطئ في إجراء العملية والاحتفاظ بالمضروب، إما للجمع والطرح أو للضرب.
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
عند حل أي من هذه العمليات ، يجب أن نحسب كل عاملي.
أمثلة:
أ) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
ب) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
ج) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
نرى أيضا: كيف تحل المعادلة بالمضروب؟
تبسيط العوامل
الانقسامات متكررة تماما. في صيغ مزيجوالترتيب والتبديل مع التكرار ، سنلجأ دائمًا إلى التبسيط لحل المشكلات التي تنطوي على العوامل. لذلك ، دعنا نتبع بعض الخطوات.
مثال:
الخطوة الأولى: حدد أكبر العوامل - في هذه الحالة هي 8! والآن بالنظر إلى المقام وهو 5! فلنكتب ضرب 8 في سابقاتها حتى نصل إلى 5!.
يمكن إعادة كتابة مضروب الرقم n ، أي n !، كضرب n إلى k!. هكذا،
لا! = n · (n -1) · (n- 2) ·... · k !، لذلك دعونا نعيد كتابة 8! مثل الضرب من 8 إلى 5 !.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
لذلك دعونا نعيد كتابة السبب على النحو التالي:
الخطوة الثانية: بعد إعادة كتابة السبب، من الممكن تبسيط البسط بالمقام ، بما أن 5! إنه في كل من البسط والمقام. بعد التبسيط ، اضرب ببساطة.
المثال 2:
التحليل التوافقي والعامل
عند أداء ملف مزيد من الدراسة في التحليل التوافقي ، سيظهر دائمًا عاملي الرقم. تستخدم المجموعات الرئيسية في التحليل التجميعي ، والتي تتمثل في التقليب والجمع والترتيب ، عاملي الرقم في صيغها.
التقليب
ال التقليب و ال إعادة ترتيب جميع عناصر المجموعة. لحساب التقليب ، نلجأ إلى العامل ، حيث يتم حساب التقليب لعناصر n من خلال:
صلا = ن!
مثال:
كم العدد الجناس الناقصة هل يمكننا البناء باسم HEITOR؟
هذه مشكلة تبديل نموذجية. نظرًا لوجود 6 أحرف في الاسم ، لحساب عدد الجناس الناقصة الممكنة ، ما عليك سوى حساب P6.
ص6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
الوصول أيضًا إلى: التقليب بالعناصر المتكررة: كيف نحلها؟
ترتيبات
احسب ترتيبات يتطلب أيضًا إتقان عاملي الرقم. الترتيب ، مثل التقليب ، هو تشكيل إعادة الترتيب. والفرق هو، في الترتيب ، نقوم بإعادة ترتيب جزء من المجموعة، أي أننا نريد معرفة عدد عمليات إعادة الترتيب الممكنة التي يمكننا تشكيلها باختيار الكمية k لواحد جلس مع ن العناصر.
مثال:
في الشركة ، هناك 6 مرشحين لإدارة المؤسسة ، وسيتم اختيار اثنين لمنصبي المدير ونائب المدير. مع العلم أنه سيتم انتخابهم عن طريق التصويت ، كم عدد النتائج المحتملة هناك؟
في هذه الحالة ، سنحسب ترتيب 6 مأخوذ من 2 في 2 ، حيث يوجد 6 مرشحين لشغل وظيفتين شاغرتين.
مزيج
في المجموعة ، كما في المجموعات الأخرى ، من الضروري إتقان معامل الرقم. نحدد كمجموعة أنت مجموعات فرعية من مجموعة. الفرق هو أنه ، في المجموعة ، لا يوجد إعادة ترتيب ، لأن الترتيب غير مهم. لذا فإننا نحسب عدد المجموعات الفرعية التي تحتوي على عناصر k والتي يمكننا تكوينها في مجموعة من العناصر n.
مثال:
سيتم اختيار لجنة من 3 طلاب لتمثيل الفصل. مع العلم أن هناك 5 مرشحين ، كم عدد اللجان التي يمكن تشكيلها؟
اقرأ أيضا: الترتيب أم الجمع؟
تمارين حلها
السؤال رقم 1 - حول مضروب الرقم ، احكم على العبارات التالية.
أنا). 0! + 1! = 2
II). 5! - 3! = 2!
الثالث) 2! · 4! = 8
أ) أنا فقط هو الصحيح.
ب) أنا فقط هو الصحيح.
ج) فقط الثالث هو الصحيح.
د) فقط أنا و II صحيحان.
هـ) فقط II و II صحيحان.
القرار
البديل أ.
أنا صحيح.
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
II) خطأ.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
III) خطأ.
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
السؤال 2 - (UFF) هل المنتج 20 · 18 · 16 · 14... · 6 · 4 · 2 مكافئ؟
أ) 20: 2
ب) 2 · 10!
ج) 20: 210
د) 210· 10!
هـ) 20:10!
القرار
البديل د.
بالنظر إلى حاصل ضرب جميع الأعداد الزوجية من 2 إلى 20 ، نعلم أن:
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
لذا يمكننا إعادة كتابة 210 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات
