تبسيط الكسر الجبري

عندما يتم استخدام كلمة "جبري" للتعبير الرقمي ، فهذا يعني أن هذا التعبير لديه واحد غير معروف على الأقل ، أي حرف أو رمز يستخدم لتمثيل رقم غير معروف. وهكذا ، أ كسر جبري، بدوره ، ليس أكثر من كسر به واحد على الأقل غير معروف في المقام - صفة مشتركة - حالة (أسفل الكسر). لذلك ، فإن تبسيط الكسور الجبرية يتبع نفس الأساس مثل تبسيط الكسور العددية.

أمثلة على الكسور الجبرية:

1)

2x
4 س

2)

4 س² - 9x²
2y + 3x

تبسيط الكسور الجبرية

يتبع تبسيط الكسر الجبري الأساس نفسه لتبسيط الكسر العددي. من الضروري قسمة البسط والمقام على نفس الرقم. لاحظ مثالا على تبسيط الكسور:

 30  =  15  =  5 =  1
 60 30 10 2 

تم تبسيط الكسر أعلاه بمقدار 2 ثم 3 ثم 5. لدعم إجراء تبسيط الكسور الجبرية ، سنعيد كتابة الكسر الأول أعلاه بصيغته المحللة إلى عوامل:

30 =  2·3·5
60 2·2·3·5

لاحظ أن الأرقام 2 و 3 و 5 مكررة في البسط والمقام وأنها كانت بالضبط نفس الأرقام التي تم تبسيط الكسر بها. في سياق الكسور الجبرية، الإجراء مشابه ، كما هو ضروري لتحليل كثيرات الحدود الموجودة في البسط والمقام. بعد ذلك ، يجب علينا تقييم ما إذا كان من الممكن تبسيط بعضها.

أمثلة

1) تبسيط الكسر الجبري التالي:

4x²ذ³
16xy⁶

حلل كل من المجهول والأرقام الموجودة في الكسر إلى عوامل:

4x²ذ³
16xy⁶

2· 2 · x · x · y · y · y
2 · 2 · 2 · 2 · x · y · y · y · y · y · y

قم الآن بتنفيذ أكبر عدد ممكن من الأقسام ، كما فعلت سابقًا للكسر الرقمي: تختفي الأرقام التي تظهر في كل من البسط والمقام ، أي أنها كذلك "يقطع". من الممكن أيضًا كتابة أن نتيجة كل من هذه التبسيط هي 1. يشاهد:

2· 2 · x · x · y · y · y
2 · 2 · 2 · 2 · x · y · y · y · y · y · y

x
2 · 2 · ص · ص · ذ

x
4 س³

2) تبسيط الكسر الجبري التالي:

4 س² - 9x²
2y + 3x

لاحظ أن بسط هذا كسر جبري يقع في إحدى حالات المنتجات البارزة ، أي اثنين من الفرق. لتحليلها ، ما عليك سوى إعادة كتابتها في شكلها المحلل إلى عوامل. بعد ذلك ، من الممكن "قص" المصطلحات التي تظهر في كل من المقام والبسط كما في المثال السابق. يشاهد:

4 س² - 9x²
2y + 3x

= (2y + 3x) (2y - 3x)
2y + 3x

= 1 · (2y - 3x)

= 2y + 3x

3) تبسيط الكسر الجبري التالي:

ال²(ذ² - 16 ضعفًا²)
ay + 4ax

كما فعلنا سابقًا ، حلل كثيرات الحدود في البسط والمقام. بعد ذلك ، نفذ الانقسامات الممكنة.

ال²(ذ² - 16 ضعفًا²)
ay + 4ax

= ال·ال·(ص + 4x) (ص - 4x)
أ · (ص + 4x)

لاحظ أنه تم تحليل البسط إلى عوامل باستخدام اثنين من الفرق وتم تحليل المقام من خلال العامل المشترك. بالإضافة إلى ذلك ، فإن المصطلح أ² يمكن كتابته كمنتج أ · أ. أخيرًا ، قم بأداء أكبر عدد ممكن من الأقسام. وهي أ في أ و (ص + 4x) بواسطة (ص + 4x):

ال·ال·(ص + 4x) (ص - 4x)
أ · (ص + 4x)

= 1 · 1 · (ص - 4x)

= ص - 4x

حالات العوملة ذات أهمية قصوى لتبسيط الكسور الجبرية. فيما يلي قائمة بأهم الحالات وبعض الصفحات التي يمكن العثور عليها بمزيد من التفصيل.

تحليل التعبيرات الجبرية إلى عوامل

يمكن كتابة كثير الحدود في شكله المعامل إذا كان من الممكن التعبير عنه بأحد الأشكال الأربعة أدناه. النتائج المقدمة هي شكلها المعامل أو أمثلة على كيفية تحليلها:

1 - العامل المشترك

إذا كانت جميع مصطلحات كثيرة الحدود تحتوي على رقم غير معروف أو مشترك ، فمن الممكن وضعها في الدليل. على سبيل المثال ، في 4x كثير الحدود² + 2x يمكننا وضع 2x في الدليل. ستكون النتيجة:

4x² + 2 س = 2 س (2 س + 1)

لاحظ أنه عند إجراء الضرب المشار إليه في العضو الثاني (الجانب الأيمن من المساواة) ، ستكون النتيجة على وجه التحديد العضو الأول (الجانب الأيسر من المساواة) ، بسبب الخاصية التوزيعية لـ عمليه الضرب.

2 - التجميع

في ضوء الحالة السابقة ، يمكن تحليل كثير الحدود الذي يحتوي على أربعة مصطلحات من خلال التجميع والانضمام المصطلحات المشتركة اثنان في اثنين ، وبعد ذلك يتم تحليلها مرة أخرى إذا تركت النتائج هذا إمكانية. يمكن تحليل 2x + bx + 2y + بواسطة كثير الحدود ، على سبيل المثال ، على النحو التالي:

2x + bx + 2y +

س (2 + ب) + ص (2 + ب)

لاحظ أن (2 + ب) يتكرر في كلا المصطلحين الجديدين. لذلك ، يمكننا أن نضعها كدليل:

س (2 + ب) + ص (2 + ب)

(2 + ب) (س + ص)

3 - ثلاثي الحدود المربع الكامل

عندما تكون كثيرة الحدود عبارة عن ثلاثي حدود مربع كامل ، فسيتم كتابتها بما يعادل أحد التعبيرات الثلاثة التالية المرتبة على اليسار وباللون الأحمر.

x² + 2 س + أ² = (س + أ) (س + أ)

x² - 2x + أ² = (س - أ) (س - أ)

x² - أ² = (س + أ) (س - أ)

الجانب الأيمن هو الشكل المُحلل إلى عوامل لكثير الحدود ، والذي يمكن استخدامه لـ تبسيط الكسر الجبري.

4 - مجموع أو فرق مكعبين

عندما يكون كثير الحدود في الشكل التالي أو يمكن كتابته به ، سيكون مجموع المكعبين.

x³ + 3x²عند + 3x² + ال³ = (س + أ)³

x³ - 3x²عند + 3x² - أ³ = (س - أ)³

مرة أخرى ، الجانب الأيسر ، باللون الأحمر ، هو كثير الحدود الذي يمكن تحليله إلى عوامل وإعادة كتابته مثل التعابير الموجودة على الجانب الأيمن.

بقلم لويز باولو موريرا
تخرج في الرياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simplificacao-fracao-algebrica.htm