الأعداد المركبة: التعريف ، العمليات ، الأمثلة

أنت ارقام مركبة تنشأ من الحاجة إلى حل المعادلات التي لديها جذر الرقم السالب، والتي ، حتى ذلك الحين ، لم يكن من الممكن حلها من خلال العمل بأرقام حقيقية. يمكن تمثيل الأعداد المركبة بثلاث طرق: أ شكل جبري (ض = أ + ثنائي) ، يتكون من جزء حقيقي ال وجزء وهمي ب; ال شكل هندسي ممثلة في المستوى المعقد المعروف أيضًا باسم طائرة Argand-Gauss ؛ وما تملكه شكل مثلثي ، يُعرف أيضًا باسم الشكل القطبي. بناءً على تمثيلهم ، نظرًا لأننا نعمل بمجموعة عددية ، فإن الأعداد المركبة لها عمليات محددة جيدًا: الجمع والطرح والضرب والقسمة والتقوية.

من خلال التمثيل الهندسي في المستوى المعقد ، نحدد أيضًا الوحدة النمطية (التي يمثلها |ض|) لعدد مركب - وهي المسافة من النقطة التي تمثل العدد المركب إلى الأصل - وما هي وسيطة رقم مركب - وهي الزاوية التي تتكون بين المحور الأفقي والمسار الذي يربط الأصل بالنقطة التي تمثل الرقم مركب.

التمثيل الجبري للأعداد المركبة

بحاجة إلى أعداد معقدة

في الرياضيات ، كان توسيع المجموعة العددية إلى مجموعة جديدة ، عبر التاريخ ، أمرًا شائعًا جدًا. اتضح ، في سياق ذلك ، أن الرياضيات تطورت ، وبعد ذلك ، إلى تلبية احتياجات الوقت

، فقد لوحظ أن هناك أرقامًا لا تنتمي إلى المجموعة العددية التي تشير إليها. هكذا كان الأمر مع ظهور مجموعات عددية الأعداد الصحيحة ، والأعداد المنطقية ، وغير المنطقية والحقيقية ، ولم يكن الأمر مختلفًا عندما كانت هناك حاجة لتوسيع مجموعة الأعداد الحقيقية إلى مجموعة الأعداد المركبة.

عندما نحاول حلها المعادلات التربيعية، فمن الشائع أن نجد الجذر التربيعي لعدد سالب، الذي يستحيل حله في مجموعة الأعداد الحقيقية ، ومن هنا تأتي الحاجة إلى الأعداد المركبة. تلقت بداية دراسة هذه الأرقام مساهمات من علماء رياضيات مهمين ، مثل جيرالمو كاردونو ، ولكن تم إضفاء الطابع الرسمي على مجموعتهم بواسطة Gauss و Argand.

اقرأ أيضا: التمثيل الهندسي لمجموع الأعداد المركبة

الشكل الجبري للعدد المركب

عند محاولة حل معادلة من الدرجة الثانية مثل x² = –25 ، قيل غالبًا أنها غير قابلة للحل. ومع ذلك ، في محاولة للجبر ، فإن التمثيل الجبري ، مما يجعل من الممكن إجراء العمليات باستخدام هذه الأرقام، على الرغم من أنه لا يمكنك حساب الجذر التربيعي لعدد سالب.

لتسهيل حل المواقف التي تعمل فيها مع الجذر التربيعي من رقم سالب ، فإن وحدة خيالية.

لذلك ، بتحليل المعادلة المعروضة x² = -25 ، لدينا ما يلي:

وبالتالي ، فإن حلول المعادلة هي -5أنا ه 5أنا.

لتعريف الشكل الجبري ، فإن خطاب أنا، معروف ك وحدة تخيلية لعدد مركب. يتم تمثيل الرقم المركب بواسطة:

ض = ال + بأنا

على ماذا ال و ب هي أرقام حقيقية.

ال: الجزء الحقيقي المشار إليه بـ a = Re (z) ؛

ب: الجزء التخيلي المشار إليه بـ Im (z) ؛

أنا: وحدة خيالية.

• أمثلة

ال) 2 + 3أنا

ب) -1 + 4أنا

ç) 5 – 0,2أنا

د) -1 – 3أنا

عندما الجزء الحقيقي باطل، يُعرف الرقم باسم محض وهمي، على سبيل المثال ، -5أنا و 5أنا هم محض خيال لأنه ليس لديهم دور حقيقي.

عندما يكون الجزء التخيلي فارغًا ، يكون الرقم المركب أيضًا رقمًا حقيقيًا.

العمليات ذات الأعداد المركبة

مثل أي مجموعة عددية ، يجب أن تكون العمليات محددة جيدالذلك ، من الممكن إجراء العمليات الأساسية الأربع للأعداد المركبة مع مراعاة الشكل الجبري المقدم.

• جمع عددين مركبين

لتنفيذ إضافة من عددين مركبين ض₁ ez₂، سنضيف الجزء الحقيقي من z₁ ez₂ ومجموع الجزء التخيلي على التوالي.

يكون:

ض₁ = أ + بأنا

ض₂ = ج + دأنا

ض₁ +ض₂ = (أ + ج) + (ب + د)أنا

• مثال 1

تحقيق مجموع ض₁ و ض_2.

ض₁ = 2 + 3أنا

ض₂ = 1 + 2أنا

ض₁ +ض₂= (2 + 1) + (3 + 2)أنا

ض₁ +ض₂= 3 + 5أنا

• مثال 2

تحقيق مجموع ض₁ و ض_2.

ض₁ = 5 – 2أنا

ض₂ = – 3 + 2أنا

ض₁+ض₂ = (5 + (–3)) + (–2 + 2)أنا

ض₁+ض₂ = (5 – 3) + 0أنا

ض₁ +ض₂= 3 + 0أنا = 3

نرى أيضا: التمثيل الهندسي لمجموع الأعداد المركبة

• طرح عددين مركبين

قبل أن نتحدث عنه الطرح، نحن بحاجة إلى تحديد ما هو معكوس العدد المركب أي z = a + bأنا. معكوس z ، الذي يمثله –z ، هو العدد المركب –z = –a –bأنا.

لإجراء عملية الطرح بين ض₁و -z₂، بالإضافة إلى ذلك ، سنفعل الطرح بين الأجزاء الحقيقية وبين الأجزاء التخيلية بشكل منفصل، ولكن من الضروري أن نفهم أن -z₂ إنه معكوس الرقم المركب ، مما يجعل من الضروري لعب لعبة الإشارة.

• مثال 1

إجراء عملية طرح z₁ و ض₂.

ض₁ = 2 + 3أنا

ض₂ = 1 + 2أنا

ض₁–ض₂ = (2 – 1) + (3 – 2)أنا

ض₁–ض₂= 1 + 1أنا = 1+ أنا

• مثال 2

إجراء عملية طرح z₁ و ض₂.

ض₁= 5 – 2أنا

ض₂ = – 3 + 2أنا

ض₁–ض₂= (5 – (–3)) + (–2 – 2)أنا

ض₁–ض₂= (5 + 3) + (–4)أنا

ض₁ –ض₂= 8 + (–4)أنا

ض₁ –ض₂= 8 –4أنا

• صلاحيات الوحدة التخيلية

قبل أن نتحدث عن الضرب ، علينا أن نفهم قوة الوحدة التخيلية. في البحث عن طريقة لحساب قوى أنا^لا، من الضروري إدراك أن هذه القوى تتصرف بطريقة دورية. لهذا ، دعونا نحسب بعض الفاعلية في أنا.

اتضح أن القوى التالية ليست أكثر من تكراره ، لاحظ أن:

أنا ⁴ = أنا ² · أنا ² = (–1) (–1) = 1

أنا ⁵ = أنا ² · أنا ³ = (–1) (–أنا) = أنا

بينما نواصل حساب القوى ، ستكون الإجابات دائمًا عناصر من المجموعة {1، i، –1، -أنا} ، ثم لإيجاد قوة الوحدة أنا^لا، سنقسم n (الأس) على 4 و راحةمن هذا التقسيم (ص = {0، 1، 2، 3}) سيكون الأس الجديد لـ أنا.

• مثال1

حساب أنا²⁵

عندما نقسم 25 على 4 ، سيكون حاصل القسمة 6 والباقي يساوي 1. لذلك علينا:

أنا ²⁵ = أنا¹ = أنا

• مثال 2

حساب أنا ⁴⁰³

عندما نقسم 403 على 4 ، سيكون حاصل القسمة 100 ، لأن 100 · 4 = 400 ، والباقي سيكون 3 ، لذلك علينا:

أنا ⁴⁰³ =أنا ³ = -أنا

• ضرب الأعداد المركبة

لإجراء عملية ضرب عددين مركبين ، دعنا نطبق خاصية التوزيع. يكون:

ض₁= أ + بأنا

ض₂= ج + دأناثم المنتج:

ض₁ · ض₂ = (أ + بأنا) (ج + دأنا) ، وتطبيق خاصية التوزيع ،

ض₁ · ض₂ = ac + إعلانأنا + cbأنا + دينارأنا ²ولكن كما رأينا ، أنا ² = -1

ض₁ · ض₂ = ac + إعلانأنا + cbأنا - دينار بحريني

ض₁ · ض₂= (ac – bd) + (ad + cb)أنا

باستخدام هذه الصيغة ، من الممكن إيجاد حاصل ضرب أي عددين مركبين ، لكن في a بشكل عام ، ليس من الضروري تزيينها ، لأننا نطبق الخاصية فقط للحساب المعني توزيعي.

• مثال

حساب حاصل ضرب (2 + 3أنا) (1 – 4أنا):

(2+3أنا) (1 – 4أنا) = 2 – 8أنا + 3أنا– 12أنا ² ، مع تذكر ذلك أنا² = -1:

(2 + 3أنا) (1 – 4أنا) = 2 – 8أنا + 3أنا+ 12

(2 + 3أنا) (1 – 4أنا) = (2 + 12) + (– 8 + 3)أنا

(2+3أنا) (1 – 4أنا) = 14 – 5أنا

الوصول أيضًا إلى: الجمع والطرح والضرب للأرقام المعقدة

• العدد المركب المترافق

قبل أن نتحدث عن القسمة ، علينا أن نفهم ماهية مرافق العدد المركب. المفهوم بسيط ، للعثور على اقتران عدد مركب ، فقط للتبادلموس علامة الجزء التخيلي.

• قسمة عددين مركبين

لتنفيذ قسمة عددين مركبين، نحتاج إلى ضرب الكسر في مرافق المقام بحيث يتم تحديد الجزء الحقيقي والجزء التخيلي جيدًا.

• مثال

حساب قسمة (6-4أنا): (4 + 2أنا)

نرى أيضا: عكس ، اقتران ومساواة الأعداد المركبة

طائرة معقدة أو طائرة Argand-Gauss

المعروفة باسم خطة معقدة أو خطةrgand-جاوس، فهو يسمح لـ التمثيل في شكل هندسي من رقم مركب ، هذه الخطة هي تكيف في فكرة مبدعة لتمثيل الأعداد المركبة. يُعرف المحور الأفقي باسم محور الجزء الحقيقي Re (z) ، والمحور العمودي معروف بـ محور الجزء التخيلي Im (z). إذن ، العدد المركب الذي يمثله أ + بأنا يولد النقاط في المستوى المركب المكونة من الزوج المرتب (أ ، ب).

• مثال
  تمثيل الرقم 3 + 2أنا في الشكل الهندسي Z (3،2).

• نموذج العدد المركب والحجة

مقياس العدد المركب هندسيًا هو المسافة من النقطة (أ ، ب) الذي يمثل هذا الرقم في المستوى المركب إلى الأصل، وهذا هو ، النقطة (0،0).

كما نرى ، | z | هو الوتر مثلث قائم، لذلك ، يمكن حسابه من خلال تطبيق نظرية فيثاغورس، لذلك علينا:

• مثال:

حساب معامل z = 1 + 3أنا

ا الجدال لعدد مركب ، هندسيًا ، هو زاوية يتكون من المحور الأفقي و | z |

لإيجاد قيمة الزاوية ، علينا:

الهدف هو إيجاد الزاوية θ = arg z.

• مثال:

أوجد وسيطة العدد المركب: z = 2 + 2أنا:

بما أن a و b موجبان ، فنحن نعلم أن هذه الزاوية تقع في الربع الأول ، لذلك دعونا نحسب | z |.

بمعرفة | z | ، من الممكن حساب الجيب وجيب التمام.

نظرًا لأن a و b في هذه الحالة يساويان 2 ، فعند حساب sinθ ، سنجد نفس الحل لجيب التمام.

معرفة قيم sinθ و cosθ بالرجوع إلى جدول الزوايا البارزة ومعرفة ذلك θ تنتمي إلى الربع الأول ، لذا يمكن إيجاد θ بالدرجات أو الراديان ، لذلك نستنتج ماذا او ما:

شكل مثلث أو قطبي

تمثيل العدد المركب في شكل مثلث هذا ممكن فقط بعد أن نفهم مفهوم الوحدة والحجة. بناءً على هذا التمثيل ، يتم تطوير مفاهيم مهمة لدراسة الأعداد المركبة على مستوى أكثر تقدمًا. لأداء التمثيل المثلثي ، سنتذكر صورته الجبرية z = a + bi ، ومع ذلك ، عند تحليل المستوى المعقد ، يتعين علينا:

بالتعويض ، في الصورة الجبرية ، قيم a = | z | كوس θ و ب = | ض | سين θ ، علينا أن:

ض = أ + بأنا

مع z = | z | كوس θ + | ض | senθ أنا، وضع | z | كدليل ، نصل إلى صيغة الشكل المثلثي:

ض = | ض | (كوس θ + أنا · خطيئة θ)

• مثال: اكتب الرقم بالصيغة المثلثية

للكتابة بالصورة المثلثية ، نحتاج إلى سعة z ومقياسه.

الخطوة الأولى - حساب | z |

بمعرفة | z | ، من الممكن إيجاد قيمة θ من خلال الرجوع إلى جدول الزوايا البارزة.

أصبح من الممكن الآن كتابة الرقم z في صورته المثلثية بالزاوية بالدرجات أو بالزاوية المقاسة بالراديان.

اقرأ أيضا: إشعاع الأعداد المركبة في الشكل المثلثي

تمارين حلها

السؤال رقم 1 - (UFRGS) بالنظر إلى الأعداد المركبة z₁ = (2 ، –1) و z₂ = (3، x) ، من المعروف أن حاصل الضرب بين z₁ و ض₂ هو رقم حقيقي. إذن x تساوي:

أ) -6

ب) -3/2

ج) 0

د) 3/2

هـ) 6

القرار

البديل د.

لكي يكون المنتج رقمًا حقيقيًا ، فإن الجزء التخيلي يساوي صفرًا.

بكتابة هذه الأرقام بالصيغة الجبرية ، علينا:

ض₁ = 2 – 1أنا و ض₂ = 3 + سأنا

ض₁ · ض₂ = (2 – 1أنا) (3 + سأنا)

ض₁ · ض₂ = 6 + 2xأنا –3أنا - xأنا ²

ض₁ · ض₂ = 6 + 2xأنا –3أنا + x

ض₁ · ض₂ = 6+ س + (2 س - 3)أنا

نظرًا لأن مصلحتنا هي أن الجزء التخيلي يساوي صفرًا ، فسنصل إلى 2 س - 3 = 0

السؤال 2 - (UECE) إذا كان i هو الرقم المركب الذي يساوي مربعه -1 ، فإن قيمة 5أنا ²²⁷ + أنا ⁶ – أنا ¹³ انها نفس:

ال) أنا + 1

ب) 4أنا –1

ج) -6أنا –1

د) -6أنا

القرار

البديل C.

لحل هذا التعبير ، من الضروري إيجاد باقي الأرقام في القسمة على 4.

ينتج عن 227: 4 خارج قسمة 56 وباقي 3.

أنا ²²⁷ = أنا ³ = –أنا

6: 4 ينتج عنه حاصل القسمة 1 والباقي 2.

أنا ⁶ = أنا ² = –1

ينتج في 13: 4 حاصل القسمة 3 والباقي 1.

أنا ¹³ = أنا¹ = أنا

لذلك علينا:

5أنا ²²⁷ + أنا ⁶ – أنا ¹³

5 (–أنا) + (–1) – أنا

–5أنا –1 – أنا

–6أنا – 1

بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات 

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm